N-皇后问题
1.算法衡量优劣之时间复杂度2.数据结构与算法之概念3.算法衡量优劣之空间复杂度4.数据结构之数组5.数据结构之链表6.数据结构之栈
7.N-皇后问题
8.算术表达式的表示法（即求值法）9.算术表达式求值法（表达式求值）之前序表示法求值10.算术表达式求值法（表达式求值）之后序表示法求值11.数据结构之队列（一般队列）12.数据结构之队列（循环队列）13.数据结构之队列（双向队列）14.数据结构之树（基本概念）15.数据结构之树（二叉树）16.数据结构之树（Huffman tree(赫夫曼树 / 霍夫曼树 / 哈夫曼树 / 最优二叉树)）17.数据结构之树（二叉树的存储方式之数组）18.数据结构之树（二叉树的存储方式之链表）19.数据结构之树（遍历）20.数据结构之树（二叉运算树）21.数据结构之树（二叉搜索树）22.数据结构之树（线索树）23.数据结构之树（树转化为二叉树也叫二叉化）24.确定唯一二叉树N-皇后问题是一个经典的计算机科学和数学问题，其目标是在一个N×N的棋盘上放置N个皇后，使得它们彼此之间互不攻击，即没有两个皇后在同一行、同一列或同一斜线上。
这个问题最早由卡尔·弗里德里希·高斯于1850年提出，它在计算机科学领域中被广泛研究，被用作算法和人工智能的基础问题。
问题描述
给定一个N×N的棋盘，要求在每一行放置一个皇后，以确保它们不会互相攻击。攻击的条件包括：
- 同一行：两个皇后不能在同一行上。
- 同一列：两个皇后不能在同一列上。
- 同一对角线：两个皇后不能在同一对角线上（包括正对角线和反对角线）。
解决方法
解决N-皇后问题的一种常见方法是使用回溯算法。回溯算法是一种深度优先搜索方法，它通过逐行尝试放置皇后，然后检查是否满足攻击条件来解决问题。
如果某个皇后的位置导致了冲突，就会回溯到前一行并尝试放置皇后的不同位置，直到找到一个合适的解决方案或确定无解。
示例
python
1 def solve_n_queens(n): 2 def is_safe(board, row, col): 3 # 检查同一列上是否有皇后 4 for i in range(row): 5 if board[i][col] == 'Q': 6 return False 7 8 # 检查左上方斜线是否有皇后 9 i, j = row, col 10 while i >= 0 and j >= 0: 11 if board[i][j] == 'Q': 12 return False 13 i -= 1 14 j -= 1 15 16 # 检查右上方斜线是否有皇后 17 i, j = row, col 18 while i >= 0 and j < n: 19 if board[i][j] == 'Q': 20 return False 21 i -= 1 22 j += 1 23 24 return True 25 26 def backtrack(row): 27 if row == n: 28 solutions.append(["".join(row) for row in board]) # 存放结果，每个结果通过""连接 29 return 30 31 for col in range(n): 32 if is_safe(board, row, col): 33 board[row][col] = 'Q' 34 backtrack(row + 1) 35 board[row][col] = '.' # 回溯 36 # 1. 初始化棋盘，都是. 37 board = [['.' for _ in range(n)] for _ in range(n)] 38 solutions = [] # 2. 存放所有结果 39 backtrack(0) 40 return solutions 41 42 43 def print_solutions(solutions): 44 for solution in solutions: 45 for row in solution: 46 print(row) 47 print() 48 49 50 n = 8 # 例如，解决8皇后问题 51 solutions = solve_n_queens(n) 52 print_solutions(solutions)
输出结果：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 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Q...........Q..........Q.....Q....Q...........Q..Q.........Q....Q............Q.........Q..Q...........Q....Q.....Q..........Q...Q.............Q....Q.........Q.........Q.Q..........Q.....Q.....Q.............Q.....Q..........Q.Q.........Q.........Q....Q......Q.........Q.........Q.........Q..Q.....Q.............Q.....Q....Q..........Q.........Q.Q.........Q............Q.....Q.....Q.....Q..........Q.........Q....Q....Q..............Q.....Q....Q......Q...........Q..Q.............Q....Q...........Q..Q.........Q....Q...........Q.........Q..Q.....Q..........Q..........Q.....Q....Q............Q...Q..........Q.........Q....Q...Q..........Q.....Q............Q.....Q..........QQ..........Q.........Q....Q......Q.............Q.....Q..Q.........Q.........Q.........Q....Q......Q.....Q.............Q.....Q..........Q.Q.........Q.........Q....Q.........Q....Q.............QQ.............Q....Q.........Q....Q.........Q....Q.............Q.....Q.....Q..........Q.Q.........Q.........Q.........Q.Q..........Q.....Q.............Q.....Q....Q.........Q..........Q...Q....Q.............Q..Q...........Q....Q..........Q...Q..........Q..........QQ.............Q....Q......Q..........Q...Q............Q.Q..........Q...........Q....Q.....Q..........Q...Q............Q.....Q...Q..............Q...Q......Q..........Q.....Q....Q..............Q....Q.........Q..Q........Q..........Q.....Q.....Q.............Q....Q.........Q.Q.........Q..........Q.........QQ..........Q..........Q.....Q....Q........Q..........Q.........QQ...........Q.........Q..Q.........Q......Q..........Q.........Q.Q.........Q....Q.............Q.....Q.....Q...........Q..Q.............Q....Q...Q..........Q.........Q....Q...........Q..Q.............Q.....Q.....Q....Q...........Q.....Q............Q...Q..........Q.Q............Q...Q..........Q......Q....Q...........Q..........Q.Q............Q...Q..........Q.....Q....Q...........Q..........Q.....Q....Q...........Q..Q.........Q.....Q..........Q..........Q.....Q..Q.........Q...........Q....Q.....Q............Q...Q..........Q.........QQ...........Q......Q.....Q............Q...Q..........Q.........Q....Q...Q..........Q.....Q............Q.....Q...Q..............Q.....Q....Q........Q.....Q.............Q....Q.........Q.Q.........Q..........Q.....Q.....Q.............Q.....Q..Q.........Q.........Q.........Q....Q.........Q..Q...........Q....Q.............Q..Q...........Q....Q.........Q.........Q.Q............Q.Q.........Q.........Q......Q.........Q.........Q..Q.....Q.............Q.....Q....Q.........Q..........Q.Q..............Q....Q....Q...........Q....Q........Q..........Q...Q............Q.Q..........Q...Q............Q.....Q..........Q.....Q....Q...........Q..Q.........Q............Q...Q..........Q.....Q.....Q.....Q............Q.........Q.Q.........Q...........QQ.........Q..........Q...Q............Q.....Q......Q...........QQ...........Q.........Q..Q...........Q....Q........Q...........Q....Q.....Q.....Q.............Q..Q...........Q......Q...Q..........Q.........Q.........Q.Q............Q...Q.........Q...Q..............Q...Q.....Q............Q...Q..........Q......Q...Q..............Q.....Q....Q...........Q..Q.........Q........Q....Q.........Q.........Q.........Q..Q.....Q.............Q.....Q....Q.........Q..........Q...Q............Q.....Q..Q...........Q....Q...........Q..Q.............Q....Q...........Q..Q.........Q....Q.............QQ..........Q..........Q...Q..........Q......Q.....Q.....Q............Q.........Q.Q.........Q..........Q.....Q.....Q.....Q.............Q..Q.............Q.....Q.....Q........Q.....Q............Q...Q..........Q.Q............Q...Q..........Q.........Q.Q.........Q............Q.....Q.....Q.....Q..........Q.........Q.Q..........Q.....Q.............Q.....Q....Q.........Q.........Q..Q.........Q...........QQ.........Q..........Q......Q.........Q..Q...........Q....Q.....Q..........Q...........Q....Q.........Q..Q...........Q....Q.....Q..............Q...Q........Q.........Q....Q....Q.........Q............Q.....Q...Q..........Q..........Q...Q....Q.........Q..........Q...Q............Q.....Q..........Q...Q....Q.............Q..Q...........Q....Q..........Q..Q...........Q....Q.............Q..Q...........Q....Q.........Q...Q............Q.Q.........Q.........Q..........Q...Q.........Q...Q............Q.Q..........Q...........Q....Q.....Q..........Q....Q.....Q.............Q.....Q..........Q.Q.........Q.........Q....Q.....Q..............Q...Q.....Q............Q.....Q........Q....Q.....Q..............Q....Q....Q.........Q..........Q......Q....Q.........Q.........Q.Q..........Q.....Q.............Q.....Q....Q.........Q..........QQ..........Q.....Q............Q......Q....Q...........Q..Q.........Q...........QQ...........Q........Q....Q...........Q..Q.............Q....Q...Q..........Q.........Q....Q...........Q....Q....Q..............Q.Q..........Q........Q.....Q....Q...........Q..........Q.Q............Q...Q..........Q.....Q.....Q.............Q....Q.........Q.Q.........Q..........Q.....Q..........Q.Q.........Q.........Q....Q.............Q.....Q..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这段代码定义了一个solve_n_queens函数，用于解决N-皇后问题。主要思路是使用回溯法，在每一行依次尝试放置皇后，如果当前位置是安全的（不受攻击），就放置皇后并继续递归下一行。如果无法放置皇后，就回溯到上一行，重新尝试其他位置。当放置了N个皇后时，就找到了一个解。
注意事项：
is_safe函数用于检查当前位置是否安全。它会检查同一列、左上方斜线和右上方斜线是否有皇后。- 使用一个二维数组
board来表示棋盘，其中'.'表示空白格，'Q'表示皇后。 backtrack函数是核心的回溯递归函数，它递归地尝试放置皇后并搜索解决方案。- 最终，函数返回所有的解决方案，并通过
print_solutions函数打印出来。
Javascript
1 function solveNQueens(n) { 2 const result = []; 3 // 二维数组，模拟棋盘 4 const board = new Array(n).fill('.').map(() => new Array(n).fill('.')); 5 6 function isSafe(row, col) { // 判断当前方法是否可行，true 可行，false不行 7 // 检查同一列是否有皇后 8 for (let i = 0; i < row; i++) { 9 if (board[i][col] === 'Q') { 10 return false; 11 } 12 } 13 14 // 检查左上对角线 15 for (let i = row, j = col; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) { 16 if (board[i][j] === 'Q') { 17 return false; 18 } 19 } 20 21 // 检查右上对角线 22 for (let i = row, j = col; i >= 0 && j < n; i--, j++) { 23 if (board[i][j] === 'Q') { 24 return false; 25 } 26 } 27 28 return true; 29 } 30 31 function backtrack(row) { 32 if (row === n) { 33 // 找到一种解决方案，将棋盘添加到结果中 34 result.push([...board.map(row => row.join(''))]); 35 return; 36 } 37 38 for (let col = 0; col < n; col++) { 39 if (isSafe(row, col)) { 40 board[row][col] = 'Q'; 41 backtrack(row + 1); 42 board[row][col] = '.'; // 重置 43 } 44 } 45 } 46 47 backtrack(0); 48 49 return result; 50 } 51 52 // 通过调用solveNQueens来解决N-皇后问题 53 const n = 4; // 4-皇后问题的示例 54 const solutions = solveNQueens(n); 55 56 // 打印解决方案 57 for (const solution of solutions) { 58 for (const row of solution) { 59 console.log(row); 60 } 61 console.log('\n'); 62 }
输出：
.Q.....QQ.....Q...Q.Q......Q.Q.. |
Java
1 package org.allen.data.structure.suanfa; 2 3 public class NQueens { 4 private int[] queens; // 存储每一行皇后的列索引 5 private int n; // 棋盘大小 6 7 public NQueens(int n) { 8 this.n = n; 9 this.queens = new int[n]; 10 } 11 12 // 检查在第row行和col列放置皇后是否合法 13 private boolean isSafe(int row, int col) { 14 for (int i = 0; i < row; i++) { 15 if (queens[i] == col || // 检查同一列 16 queens[i] - i == col - row || // 检查左上至右下对角线 17 queens[i] + i == col + row) { // 检查右上至左下对角线 18 return false; 19 } 20 } 21 return true; 22 } 23 24 // 递归求解N-皇后问题 25 private void solveNQueens(int row) { 26 if (row == n) { // 所有皇后都已放置完毕 27 printSolution(); 28 return; 29 } 30 31 for (int col = 0; col < n; col++) { 32 if (isSafe(row, col)) { 33 queens[row] = col; // 放置皇后 34 solveNQueens(row + 1); // 递归放置下一行的皇后 35 queens[row] = -1; // 回溯，撤销皇后的位置 36 } 37 } 38 } 39 40 // 打印解决方案 41 private void printSolution() { 42 for (int i = 0; i < n; i++) { 43 for (int j = 0; j < n; j++) { 44 if (queens[i] == j) { 45 System.out.print("Q "); 46 } else { 47 System.out.print(". "); 48 } 49 } 50 System.out.println(); 51 } 52 System.out.println(); 53 } 54 55 public void solve() { 56 solveNQueens(0); // 从第一行开始解决问题 57 } 58 59 public static void main(String[] args) { 60 int n = 4; // 棋盘大小 61 NQueens solver = new NQueens(n); 62 solver.solve(); 63 } 64 }
输出：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | . Q . . . . . Q Q . . . . . Q . . . Q . Q . . . . . . Q . Q . . |
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