最短路径-Dijkstra 算法

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前言

迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止

使用场景

• 有向图
• 没有负权边（邻接点之间的权重）

具体算法

变量说明

v_0：起始点；
w：邻接点之间的权重；
S：集合，所属其结点是已找到v0到该点的最短路径，称永久标号结点；
T ：集合，所属其结点是还未找到最短路径的结点，称临时标号结点；
L_i：表示从起点 v_0 到 v_i 的最短路径上的权（此时，称为永久标号），或表示从起点 v_0 到 v_i 的最短路上的权的上界（此时，称为临时标号）；
lamda_i：结点 vi 对应路径权值 L_i 的上一结点下标，用于反推最短路径；
（lamda_i，L_i）：结点标号， lamda_i 和 L_i 的意义如上；
i：是下标。

算法描述

为了说明方便，路径起结点下标为0，该结点邻接点分别1,2,3等，邻接点的邻接点的下标依次加1。

应用时，下标就是指向该结点的指针

Step1：令 u_i = 0， i = 0，lamda_i = -1 ， u_j = +无穷， lamda_j = 0 （1 <= j <= n - 1），S = {v_0} ，T = {v_1，...，v_n-1}，其中 S 中的点给予永久标号； T 中的点给予临时标号。
Step2：i = 0
Step3：如果 v_i 有邻接点，取 v_i 的邻接点 v_j， v_j 不属于 S，u_j = min{u_j，u_i + w(v_i，v_j)} ，如果 u_j < u_i + w(v_i，v_j)，lamda_j = i ，否则 lamda_j 不变；否则转Step4。
Step4：u_k = min{u_j} ，v_j 属于 T，j = i + 1,...,n - 1， 如果 u_k = +无穷，则结束，起点到各点没有最短路径；否则转Step5；
Step5：S = S 并 {v_k}，i = k ， T 中删除 v_k；若 T 中已无元素，则结束，此时已求出起点到任意结点的最短路径；如果 v_k 是路径终点，则找到，结束；否则转step3。

算法结果

v_i 的最短路径： lamda_i， lamda_i-1，…, lamda_0 。