卷积和互相关操作的关系

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前言

卷积和互相关操作在数字信号处理中都是非常重要的公式，卷积是迟缓线性时不变系统的输出响应，而相关操作则在系统识别方面非常有用，现在就来讲讲卷积和相关操作之间的关系。

卷积操作

首先，给出卷积公式
\(y\bigl(n\bigr)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x\bigl(k\bigr)h\bigl(n-k\bigr)\)
卷积公式的计算步骤：

• 折叠（Folding）：对 h(k) 关于 k = 0（时间原点）折叠获得 h(-k)。
• 移位（Shifting）：对 h(-k) 向右（向左）移位 n0 个时间单位；如果 n0 是正数，获得 h(n0 - k)。
• 相乘（Multiplication）：x(k) 乘以 h(n0 - k) 获得乘积序列 v_n0(k) = x(k) h(n0 - k)。
• 相加（Summation）：相加乘积序列 v_n0(k) 的所有值，得到在 n = n0 的输出。
  上述4个步骤计算出了在时间 n = n0 时刻的输出值，当时间为 -∞ < n < +∞ 也就是有个不同的 n0，此时需要重复步骤 2 到步骤 4 来计算得出所有的系统响应输出。

说明：从卷积公式，我们可以看出，当系统是因果的（往往也是如此），那么系统的脉冲响应 h(n) = 0, n < 0，所以此时在卷积公式中，h(n - k) 的值不会超过当前所要计算的时间 n，也就不会出现将来值，也就是说，在计算时是安全的。从这个角度来理解卷积公式可以知道，因果系统的当前时刻的输出只与过去和当前时刻的输入有关。
有关卷积操作其他的知识请详看数字信号处理相关的书籍和文献。

互相关操作

和卷积公式一样，我们先给出互相关操作的定义：
\(x_{xy}\big(I\big)=\sum\limits_{x=-\infty}^{\infty}x\big(n\big)y\big(n-I\big)I=0,\pm 1,\pm 2,...\)
其中，x(n)，y(n)是两个有限能量的实信号序列。

说明：有限能量的信号序列保证了序列 x(n)，y(n) 互相关的存在性。
互相关序列的计算：

• 移位：对 y(n) 向右移位 l 个时间单位，l = 0,-1,1,-2,2....。
• 相乘：x(n) 乘以 y(n - l) 获得乘积序列 v_l(n) = x(n) h(n - l)。
• 相加：相加乘积序列 v_l(n) 的所有值，得到在偏移量为 l 的输出。
  相对照卷积公式，很明显，互相关操作缺了卷积公式的计算步骤一：折叠操作。
  既然互相关的计算和卷积的计算这么相似，那么我们能否使用卷积公式来直接计算互相关的序列呢？答案是肯定的。

使用卷积公式计算互相关序列

要使用卷积公式，那就必须要有 折叠 操作，所以我们可以先把 互相关公式 涉及的 y(n) 序列进行折叠，形成 y(-n)，这样，使用序列 x(n) 和新序列 y(-n) 来计算它们的卷积。卷积步骤一：折叠，即 对 y(-n) 进行折叠，也就得到 y(n)，这个就是互相关公式的序列 y(n)，如此，就使用了卷积公式来计算互相关序列了。具体（简写形式）如下：
\(r_{xy}(I)=x(I)*y(-I)\)
其中，y(-l) 在卷积公式中就是 y( -l + n)，是对 y(-n) 折叠之后进行移位 l 个单位所得。
所以，基本上卷积计算和互相关计算的关系就是这样了，如有什么疑问或错漏，可在评论区留言，欢迎交流。