自相关-能量密度谱，互相关-互能量密度谱，系统识别

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写在前面

我发现很多小伙伴对相关操作、能量密度谱以及系统识别之间的关系比较生疏，本文就讲讲它们之间的关系，看看能否解开各位小伙伴的疑惑

互相关和互能量密度谱

引用上一篇卷积和互相关操作的关系中的互相关公式
\(x_{xy}\bigl(I\bigr)=\sum\limits_{x=-\infty}^\infty x\bigl(n\bigr)y\bigl(n-I\bigr)I=0,\pm1,\pm2,\ldots\)（2-1）
根据 离散傅里叶变换的 相关定理 知：
如果
\(x(n)\stackrel{F}{\leftrightarrow}X(\omega)\) （2-2）
和
\(y(n)\overset{F}{\leftrightarrow}Y(\omega)\) （2-3）
成立，那么
\(r_{xy}(n)\overset{F}{\leftrightarrow}S_{xy}(\omega)=X(\omega)Y(-\omega)\) （2-4）
其中
\(r_{xy}\left ( n \right )\)称为信号序列 x 和 y 的互相关序列；
\(S_{xy}\left ( \omega \right )\)称为信号序列 x 和 y 的互能量密度谱；
所以两个信号的互相关序列的傅里叶变换就是互能量密度谱。
那么显然的，x 的自相关序列 就是把 互相关公式的 y 换成 x，之后再进行傅里叶变换，得到的就是 x 的能量密度谱。（类似地，也可以计算 y 的自相关序列 和 能量密度谱）

能量密度谱和互能量密度谱都是频率 w 的函数，它体现了一个信号在各个频率中所包含的有用信息程度。

而我们应该知道，傅里叶变换 其实就是 z-变换在单位圆上的计算，即\(z=e^{j\omega }\) 。

此时应该注意的是：我们已经把 z-变换，傅里叶变换 和 相关操作 都联系到了一起，可以说形成了一个小的知识体系。

互相关和系统识别的关系

涉及到了系统之后，那么这里的互相关操作对象：x 就是输入序列 和 y 就是输出序列，另外增加一个系统脉冲响应 h。接下来我们讲讲 x 和 y 的互自相关序列，x 的自相关序列 和 h 的频域函数H之间的关系。
根据 卷积公式 和 相关操作 的关系，可知
\(r_{yx}(I)=y(I)*r(-I)=h(I)*[r(I)*r(-I)]\)（3-1）
也就是
\(r_{yx}(I)=y(I)*x(-I)=h(I)*r_{\text{xx}}(I)\)（3-2）
在频域，相应的关系式为：
\(S_{\text{yx}}\big(\omega\big)=H\big(\omega\big)S_{\text{xx}}\big(\omega\big)=H\big(\omega\big)\big|X\big(\omega\big)\big|^2\)（3-3）
也就是：
\(H{\bigl(}\omega{\bigr)}={\frac{S_{y x}{\bigl(}\omega{\bigr)}}{S_{x x}{\bigl(}\omega{\bigr)}}}={\frac{S_{y x}{\bigl(}\omega{\bigr)}}{\bigl|X{\bigl(}\omega{\bigr)}\big|^{2}}}\)（3-4）
所谓系统识别，就是求系统的频率响应函数或系统的脉冲响应。
那么式（3-4）给出的系统频率响应函数可通过 输出序列 y 和 输入序列 x 的互能量密度谱 和 输入序列 x 的能量密度谱 来求得。
此外，如果我们选择输入序列 x 使它的相关序列\(r_{xx}\left ( I \right )\)是一个单位样本序列，或等价地，它的频谱在系统频率响应 H 的整个通带是平缓的（常数），那么脉冲响应 h 的值就等于互相关序列\(r_{yx}\left ( I \right )\)。
当然，我们也可以使用 式（3-2）来求得 h(n) （卷积公式展开，使用递推关系）。由此，我们也可以推知，其实直接使用输入和输出的卷积公式，对其展开后使用递推，也可以求的 h 的值，需要具体情况具体分析。

总结

本篇从互相关和互能量密度谱开始，推得自相关和能量密度谱的特殊例子，再从互相关和系统识别的角度讲解了它们之间的关系，从而获知互相关能量密度谱来求系统的频率响应函数的知识。其实相关操作在许多领域有着举足轻重的作用，比如它可以计算原信号的周期性等等，这个还需要我们自己深入的理解和应用。