Math Problem(数论+二分+前缀和)
Math Problem
题目描述
已知整数 a, a^3 除 192 的余数是 1 。求区间 [L,R] 之间满足条件的 a 的累加和是多少?
输入
第一行是一个整数 T(1≤T≤10000),表示样例的个数。
每个样例包含两个整数 L,R, 1≤L≤R≤10^9。
输出
输出描述
每行输出一个样例的结果。
样例输入
1
1 10
样例输出
1
思路
本题来自某大学acm训练的题,由于我太菜只会暴力,然后我去
请教了大佬,结果是数论+二分+前缀和。。首先是数学证明(a^3-1)%192==0,即 (a-1)(a^2+ a+1)%192 == 0, 即对于所有的(a-1)% 192 == 0,
(a^3-1)%192==0,恒成立,所以我们枚举192的倍数+1,前缀和处理这些数的和,然后二分左右端点,由sum[r]-sum[l-1]即可
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0)
typedef long long ll;
int t;
ll sum[5300000];
ll du(ll x) {
if (x <= 0) return 0;
else return sum[x] - sum[x - 1];
}
ll f1(ll a, ll l, ll r) {
ll mid = (l + r) / 2;
ll rz = du(mid - 1);
ll r1 = du(mid);
ll rr = du(mid + 1);
if (rz < a && r1 > a) return mid;
if (r1 < a && rr > a) return mid + 1;
if (a == r1) return mid;
if (a > r1) return f1(a, mid + 1, r);
if (a < r1) return f1(a, l, mid - 1);
}
ll f2(ll a, ll l, ll r) {
ll mid = (l + r) / 2;
ll rz = du(mid - 1);
ll r1 = du(mid);
ll rr = du(mid + 1);
if (rz < a && r1 > a) return mid - 1;
if (r1 < a && rr > a) return mid;
if (a == r1) return mid;
if (a > r1) return f2(a, mid + 1, r);
if (a < r1) return f2(a, l, mid - 1);
}
int main() {
ll c = 1;
for (ll i = 0; i <= 1000000000; i += 192) {
ll a = i + 1;
sum[c] = sum[c - 1] + a;
c++;
}
cin >> t;
while (t--) {
ll l, r;
cin >> l >> r;
ll zl = f1(l, 1, c);
ll zr = f2(r, 1, c);
if (zl == 0)
cout << sum[zr] << endl;
else
cout << sum[zr] - sum[zl - 1] << endl;
}
return 0;
}