图像处理-卷积的理解

卷积这个概念之前学过，大学，研一。但是没有仔细去理解，流于计算，这次把自己的理解过程记录一下。

最先接触到卷积的概念就是数字信号处理，这次同样也从数字信号处理来展开。

首先假定系统是线性时不变系统，线性的意思是，输入变化时，输出也变化，而且之间的比例是常数，也就是线性关系。

时不变也就是说对于不同时间下，同样的输入信号，系统的输出信号不随时间改变。

那么卷积操作求的就是某一个时间段内，系统的输出。

 

那么这个输出到底是什么？

输出是一个关于时间变化的函数。

当输入是离散时，输出就是离散，输入连续则输出连续。

 　　例如：

　　这是某个离散输入信号（冲击，激励都可以，下同）X(i),  X(1)=a, X(2)=b, X(3)=c;

 

　　而这是系统对于单位激励的响应Y(j)

 

 

　　对于单次冲击，如第i次，系统的输出是由公式R(i)=X(i)*Y(1)+X(i)*Y(2)+X(i)*Y(3)得到的。

　　因此，当输入冲击不止一个时，输出是几个单次冲击的输出叠加而成。

　　这是X(1)的输出

　　这是X(2)的输出

 

 

　　这是X(3)的输出

 

　　叠加之后就是X(n)*Y(n)

　　可以看出，单位输入的输出非常重要，它也叫做单位响应。

因此我们可以得到卷积的离散表达

连续表达同理

输入是一个自变量为时间的函数，单位冲击（激励信号）响应也是一个时间相关函数，因此最后的结果就是一个时间相关函数。

他的含义是不同时间段的输入信号，所产生的输出信号，的叠加。

我不太喜欢在解释卷积时费很多功夫或者从“卷”和“积”两个角度去说，实际上他们的本质很简单，couvolution.

至于图像处理中用到的卷积以及深度神经网络中用到的卷积核，

卷积核里有一个做法值得提一下，我们把像素和卷积核做卷积运算时，经常要把卷积核矩阵旋转180度，其实就是对应的卷积运算中的h(n-i)或者h(t-p)的n-i或者n-p，

如果不反转，就是X(i)*Y(i)，那么这种运算叫做相关。

如果把离散卷积的计算表达式展开，以R(3)为例，我们会发现，X(1)是与Y(3)相乘，可以得到R(n)=∑X(i)Y(n-i)。