Catalan数列

定义：

1.卡特兰数是一种数列，以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰命名。

2.卡特兰数列：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012……

令第n项为h(n)，则：

           c(0) = 1; c(1) = 1;

           c(n) = c(0)*c(n-1) + c(1)*c(n-2) + …… + c(n-1)*c(0)，其中n>=2

 

性质：

卡塔兰数的一般项公式为 C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}        

 

Cn的另一个表达形式为 C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n-1} \quad\mbox{ for }n\ge 1

 

C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.

它也满足

C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,

 

证明：

  • Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:


                                            XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

  • 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:

                                         ((())) ()(()) ()()() (())() (()())

  • Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。

                                                               
   

  • Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）

证明：

令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有{2n \choose n}个，下面考虑不满足要求的数目.考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。从而C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}。证毕。

应用：

  • Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数： X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况： 
                                                                     
  • Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：

                                                                                    

  • Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:

 

                                                                                         

1.括号化问题。
　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2.出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
　　类似：
　　(1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
　　(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。


3.将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?


4.给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？(一定是二叉树!

     先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + + h(n-1)h(0)=h(n))（能构成h（N）个）

 

 
posted @ 2013-04-12 10:19  ~风~  阅读(369)  评论(0)  编辑  收藏  举报