数据结构(七)-----跳表

如何理解“跳表”？

对于一个单链表来讲，即便链表中存储的数据是有序的，如果我们要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度会很高，是 O(n)。

那怎么来提高查找效率呢？如果像图中那样，对链表建立一级“索引”，查找起来是不是就会更快一些呢？每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫作索引或索引层。图中的 down 表示 down 指针，指向下一级结点。

如果我们现在要查找某个结点，比如 16。我们可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为 13 的结点时，我们发现下一个结点是 17，那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，我们只需要再遍历 2 个结点，就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样，原来如果要查找 16，需要遍历 10 个结点，现在只需要遍历 7 个结点。

加来一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。

跟前面建立第一级索引的方式相似，我们在第一级索引的基础之上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在我们再来查找 16，只需要遍历 6 个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。

跳表=链表+多级索引结构 

用跳表查询到底有多快？

假设每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，也就是说，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的1/2，那第

k级索引结点的个数就是 n/(2k )。按照我们刚才讲的，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，也就是说，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的1/2，那第 k级索引结点的个数就是 n/(2k )。

假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n/(2h )=2，从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是 log2n。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。那这个 m 的值是多少呢？按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点，也就是说 m=3，为什么是 3 呢？

假设我们要查找的数据是 x，在第 k 级索引中，我们遍历到 y 结点之后，发现 x 大于 y，小于后面的结点 z，所以我们通过 y 的 down 指针，从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中，y 和 z 之间只有 3 个结点（包含 y 和 z），所以，我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。

通过上面的分析，我们得到 m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。

跳表是不是很浪费内存？

比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢？我们来分析一下跳表的空间复杂度。

假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是O(n)。也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。那我们有没有办法降低索引占用的内存空间呢？

我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果我们每三个结点或五个结点，抽一个结点到上级索引，是不是就不用那么多索引结点了呢？我画了一个每三个结点抽一个的示意图，你可以看下。

从图中可以看出，第一级索引需要大约 n/3 个结点，第二级索引需要大约 n/9 个结点。每往上一级，索引结点个数都除以 3。为了方便计算，我们假设最高一级的索引结点个数是1。我们把每级索引的结点个数都写下来，也是一个等比数列。

通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是 n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。

高效的动态插入和删除

实际上，跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。

插入

删除 

如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。

跳表索引动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。

我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

跳跃表的实现步骤分析

思路

先讨论插入，我们先看理想的跳跃表结构，L2层的元素个数是L1层元素个数的1/2，L3层的元素个数是L2层的元素个数的1/2，以此类推。从这里，我们可以想到，只要在插入时尽量保证上一层的元素个数是下一层元素的1/2，我们的跳跃表就能成为理想的跳跃表。那么怎么样才能在插入时保证上一层元素个数是下一层元素个数的1/2呢？很简单，抛硬币就能解决了！假设元素X要插入跳跃表，很显然，L1层肯定要插入X。那么L2层要不要插入X呢？我们希望上层元素个数是下层元素个数的1/2，所以我们有1/2的概率希望X插入L2层，那么抛一下硬币吧，正面就插入，反面就不插入。那么L3到底要不要插入X呢？相对于L2层，我们还是希望1/2的概率插入，那么继续抛硬币吧！以此类推，元素X插入第n层的概率是(1/2)的n次。这样，我们能在跳跃表中插入一个元素了。

在此还是以上图为例：跳跃表的初试状态如下图，表中没有一个元素： 

 

如果我们要插入元素2，首先是在底部插入元素2，如下图：  

 

然后我们抛硬币，结果是正面，那么我们要将2插入到L2层，如下图:  

 

继续抛硬币，结果是反面，那么元素2的插入操作就停止了，插入后的表结构就是上图所示。接下来，我们插入元素33，跟元素2的插入一样，现在L1层插入33，如下图： 

 

然后抛硬币，结果是反面，那么元素33的插入操作就结束了，插入后的表结构就是上图所示。接下来，我们插入元素55，首先在L1插入55，插入后如下图： 

 

然后抛硬币，结果是正面，那么L2层需要插入55，如下图： 

 

继续抛硬币，结果又是正面，那么L3层需要插入55，如下图： 

 

以此类推，我们插入剩余的元素。当然因为规模小，结果很可能不是一个理想的跳跃表。但是如果元素个数n的规模很大，学过概率论的同学都知道，最终的表结构肯定非常接近于理想跳跃表。

代码实现

采用随机数生成的方式来获取新元素插入的最高层数。我们先估摸一下n的规模，然后定义跳跃表的最大层数maxLevel，那么底层，也就是第0层，元素是一定要插入的，概率为1；最高层，也就是maxLevel层，元素插入的概率为1/2^maxLevel。

我们先随机生成一个范围为0~2^maxLevel-1的一个整数r。那么元素r小于2^(maxLevel-1)的概率为1/2，r小于2^(maxLevel-2)的概率为1/4，……，r小于2的概率为1/2^(maxLevel-1)，r小于1的概率为1/2^maxLevel。

举例，假设maxLevel为4，那么r的范围为0~15，则r小于8的概率为1/2，r小于4的概率为1/4，r小于2的概率为1/8，r小于1的概率为1/16。1/16正好是maxLevel层插入元素的概率，1/8正好是maxLevel层插入的概率，以此类推。

通过这样的分析，我们可以先比较r和1，如果r<1，那么元素就要插入到maxLevel层以下；否则再比较r和2，如果r<2，那么元素就要插入到maxLevel-1层以下；再比较r和4，如果r<4，那么元素就要插入到maxLevel-2层以下……如果r>2^(maxLevel - 1)，那么元素就只要插入在底层即可。

package arithmetic.com.ty.binary;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Random;

/**
 * 实现跳跃表：能够对递增链表实现logN的查询时间
 */
public class SkipList<T> {
    
    // 约束整个跳表的最大层级。2^6(2的6次方)
    private static final int MAX_LEVEL = 1 << 6;

    // 跳跃表数据结构
    private SkipNode<T> top;

    // 跳表默认层级数
    private int level = 0;

    // 用于产生随机数的Random对象
    private Random random = new Random();

    public SkipList() {
        // 创建默认初始高度的跳跃表
        this(4);
    }

    // 跳表的初始化
    public SkipList(int level) {
        this.level = level;
        int i = level;
        SkipNode<T> temp = null;
        SkipNode<T> prev = null;
        while (i-- != 0) {
            /**
             * 从下往上进行初始化。假设level为3，每个层级初始化一个值为null，分值为最小double的初始节点
             * +---+
             * | 3 |    
             * +---+
             * +---+
             * | 2 |    
             * +---+
             * +---+
             * | 1 |    
             * +---+
             */
            temp = new SkipNode<T>(null, Double.MIN_VALUE);
            temp.down = prev;
            prev = temp;
        }
        // 头节点
        top = temp;
    }

    /**
     * 产生节点的高度。使用抛硬币
     *
     * @return
     */
    private int getRandomLevel() {
        int lev = 1;
        /**
         * 核心：初始层级为1，那么此算法需要保证为2的概率为1/2，为3的概率为1/4，如此循环下去。。。
         * 这样可以很好的保证第2层节点数量是第1层的两倍，第3层节点数量是第2层节点数量的两倍。第n层节点数量是第n-1层节点数量的两倍。
         * 因为如果每层节点数量过多，那么就跟单链表的查询一样了，影响性能。
         */
        while (random.nextInt() % 2 == 0) {
            lev++;
        }
        
        return lev > MAX_LEVEL ? MAX_LEVEL : lev;
    }

    /**
     * 存放一个数据到跳表中
     * @param score
     * @param val
     */
    public void put(double score, T val) {
        // 若cur不为空，表示当前score值的节点存在
        SkipNode<T> t = top, cur = null;
        /**
         * path存的是每一层需要插入新节点的前驱节点的集合。
           *  假设对于三层层级的跳表来说，需要插入分值为4的，那么path里的最终数据为[3,3,1]。
           *  第一个3代表是第一层的3，第二个3代表是第二层的3，第三个1代表是第三层的1，代表新节点将要插在这些节点的后面，也可以说这些节点是新节点的前驱节点。
         * level3 1
         *           |
         * level2 1---->3---->6
         *        |     |     |
         * level1 1->2->3->5->6
         */
        List<SkipNode<T>> path = new ArrayList<>();
        //当头节点不为空的时候，一直轮询
        while (t != null) {
            //若存在分值相同的，直接退出轮询。若分值相同，则会做覆盖处理
            if (t.score == score) {
                cur = t;
                // 表示存在该值的点，表示需要更新该节点
                break;
            }
            //如果右节点不存在，那么开始往下找，这一层也就结束，因此需要记录当前节点到path中
            if (t.next == null) {
                path.add(t);
                //当down节点存在时，此次循环结束，继续往下找；否则退出轮询
                if (t.down != null) {
                    t = t.down;
                    continue;
                } else {
                    break;
                }
            }
            //如果右节点的分数大于新节点分值，那么此层查找结束，继续查down节点，并记录当前层的当前节点
            if (t.next.score > score) {
                path.add(t);
                if (t.down == null) {
                    break;
                }
                t = t.down;
            } else
                t = t.next;
        }
        /**
         * 如果存在相同分值的，直接更改down这条竖线上所有数据就好。例如分值为3，那么改3这条竖线上所有的值就好
         * level3 1
         *           |
         * level2 1---->3---->6
         *        |     |     |
         * level1 1->2->3->5->6
         */
        if (cur != null) {
            while (cur != null) {
                cur.val = val;
                cur = cur.down;
            }
        } else {
            // 当前表中不存在score值的节点，需要从下到上插入
            int lev = getRandomLevel();
            /**
             * 当翻硬币的层级大于当前层级时，需要更新top这一列的节点数量，同时需要在path中增加这些新的首节点。当小于当前层级时，直接在
             */
            if (lev > level) {
                /**
                 * 假如翻硬币的层级为4，那么对于如下跳表
                 * level3 1
                 *           |
                 * level2 1---->3---->6
                 *        |     |     |
                 * level1 1->2->3->5->6
                 * -----变成------
                 * level4 null
                 *        |
                 * level3 1
                 *           |
                 * level2 1---->3---->6
                 *        |     |     |
                 * level1 1->2->3->5->6
                 * 新的top头节点为level4的null
                 */
                SkipNode<T> temp = null;
                // 前驱节点现在是top了
                SkipNode<T> prev = top;
                while (level++ != lev) {
                    temp = new SkipNode<T>(null, Double.MIN_VALUE);
                    // 加到path的首部
                    path.add(0, temp);
                    temp.down = prev;
                    prev = temp;
                }
                // 头节点
                top = temp;
                // level长度增加到新的长度
                level = lev;
            }
            /**
             * 从后向前遍历path中的每一个节点，在其后面增加一个新的节点
             * 注：从第一层开始往上添加。path中的数据是从最高层级添加下来的，因此需要从最后一位取，代表是第一层的新节点的前驱节点
             */
            SkipNode<T> downTemp = null, temp = null, prev = null;
            //由于是从path中倒序取数，因此i>level-lev，因为level-1到level-lev之间的举例为lev-1，就是翻硬币翻出来的层数
            for (int i = level - 1; i >= level - lev; i--) {
                temp = new SkipNode<T>(val, score);
                prev = path.get(i);
                temp.next = prev.next;
                prev.next = temp;
                temp.down = downTemp;
                downTemp = temp;
            }
        }
    }
    
    /**
     * 查找跳跃表中的一个值
     *
     * @param score
     * @return
     */
    public T get(double score) {
        SkipNode<T> t = top;
        while (t != null) {
            if (t.score == score)
                return t.val;
            if (t.next == null) {
                if (t.down != null) {
                    t = t.down;
                    continue;
                } else
                    return null;
            }
            if (t.next.score > score) {
                t = t.down;
            } else
                t = t.next;
        }
        return null;
    }

    /**
     * 根据score的值来删除节点。
     *
     * @param score
     */
    public void delete(double score) {
        // 1,查找到节点列的第一个节点的前驱
        SkipNode<T> t = top;
        while (t != null) {
            if (t.next == null) {
                t = t.down;
                continue;
            }
            if (t.next.score == score) {// 在这里说明找到了该删除的节点
                t.next = t.next.next;
                t = t.down;// 删除当前节点后，还需要继续查找之后需要删除的节点
                continue;
            }
            if (t.next.score > score)
                t = t.down;
            else
                t = t.next;
        }
    }

    @Override
    public String toString() {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        SkipNode<T> t = top, next = null;
        while (t != null) {
            next = t;
            while (next != null) {
                sb.append(next.score + " ");
                next = next.next;
            }
            sb.append("\n");
            t = t.down;
        }
        return sb.toString();
    }
    
    /**
     * 跳跃表的节点的构成
     *
     * @param <E>
     */
    private static class SkipNode<E> {
        // 存储的数据
        E val;
        /**
         * 跳跃表按照这个分数值进行从小到大排序。 注：通过引入分值，以分值大小进行排序，这样跳表中存储的数据可以是对象等复杂类型数据
         */
        double score;
        // next指针，down指针。一个指向右边元素，一个指向下层元素
        SkipNode<E> next, down;

        SkipNode(E val, double score) {
            this.val = val;
            this.score = score;
        }
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        SkipList<String> list = new SkipList<>();
        list.put(1.0, "1.0");
        System.out.println(list);
        list.put(2.0, "2.0");
        System.out.println(list);
        list.put(3.0, "3.0");
        System.out.println(list);
        list.put(4.0, "4.0");
        System.out.println(list);
        list.put(5.0, "5.0");
        System.out.println(list);
        list.delete(3.0);
        System.out.println(list);
        System.out.println("查找4.0" + list.get(4.0));
    }
}

运行结果：

 

当然每次运行结果层数都可能会不一样，这也正是翻硬币的作用所在。 

4.9E-324是double最小值，也就是我们初始化节点的默认value值。