数据结构(二)-----二叉堆

二叉堆

概念

二叉堆本质上是一种完全二叉树，它分为两个类型。最大堆以及最小堆，二叉堆的根节点叫作堆顶。最大堆和最小堆的特点决定了：最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素；最小堆的堆顶是整个堆中的最小元素

最大堆与最小堆

1. 最大堆

最大堆的任何一个父节点的值，都大于或等于它左、右孩子节点的值。

2. 最小堆

最小堆的任何一个父节点的值，都小于或等于它左、右孩子节点的值。

二叉堆自我调整

1. 插入节点

当二叉堆插入节点时，插入位置是完全二叉树的最后一个位置。例如插入一个新节点，值是 0。

这时，新节点的父节点5比0大，显然不符合最小堆的性质。于是让新节点“上浮”，和父节点交换位置。

继续用节点0和父节点3做比较，因为0小于3，则让新节点继续“上浮”。

继续比较，最终新节点0“上浮”到了堆顶位置。

2. 删除节点

二叉堆删除节点的过程和插入节点的过程正好相反，所删除的是处于堆顶的节点。例如删除最小堆的堆顶节点1。

这时，为了继续维持完全二叉树的结构，我们把堆的最后一个节点10临时补到原本堆顶的位置。

接下来，让暂处堆顶位置的节点10和它的左、右孩子进行比较，如果左、右孩子节点中最小的一个（显然是节点2）比节点10小，那么让节点10“下沉”。

继续让节点10和它的左、右孩子做比较，左、右孩子中最小的是节点7，由于10大于7，让节点10继续“下沉”。

3. 构建二叉堆

构建二叉堆，也就是把一个无序的完全二叉树调整为二叉堆，本质就是让所有非叶子节点依次“下沉”。下面举一个无序完全二叉树的例子，如下图所示。

首先，从最后一个非叶子节点开始，也就是从节点10开始。如果节点10大于它左、右孩子节点中最小的一个，则节点10“下沉”。

接下来轮到节点3，如果节点3大于它左、右孩子节点中最小的一个，则节点3“下沉”。

然后轮到节点1，如果节点1大于它左、右孩子节点中最小的一个，则节点1“下沉”。事实上节点1小于它的左、右孩子，所以不用改变。接下来轮到节点7，如果节点7大于它左、右孩子节点中最小的一个，则节点7“下沉”。

节点7继续比较，继续“下沉”。

如何实现一个堆？

完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为我们不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。

如图所示：

从图中我们可以看到，数组中下标为i的节点的左子节点，就是下标为2*i的节点，右子节点就是下标为2*i+1的节点，父节点就是下标为i/2的节点。

1. 往堆中插入一个元素

往堆中插入一个元素后，需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程我们起了一个名字，就叫作堆化（heapify）。堆化实际上有两种，从下往上和从上往下。

例如对于如下二叉堆，添加元素22：

代码示例：

package arithmetic.com.ty.binary;

public class Heap {
    private int[] a; // 数组，从下标 1 开始存储数据
    private int n; // 堆可以存储的最大数据个数
    private int count; // 堆中已经存储的数据个数

    public Heap(int capacity) {
        a = new int[capacity + 1];
        n = capacity;
        count = 0;
    }

    public void insert(int data) {
        if (count >= n) {
            return; // 堆满了
        }
            
        ++count;
        a[count] = data;
        int i = count;
        // i/2是其父节点的位置，当比父节点值大的时候，进行交换
        // 自下往上堆化
        while (i / 2 > 0 && a[i] > a[i / 2]) { 
            // swap() 函数作用：交换下标为 i 和 i/2 的两个元素
            int temp = a[i/2];
            a[i/2] = a[i];
            a[i] = temp;
            //继续比较其父节点
            i = i / 2;
        }
    }
}

2. 删除堆顶元素

假设我们构造的是大顶堆，堆顶元素就是最大的元素。当我们删除堆顶元素之后，就需要把第二大的元素放到堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后我们再迭代地删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。不过这种方法有点问题，就是

最后堆化出来的堆并不满足完全二叉树的特性。

实际上，我们稍微改变一下思路，就可以解决这个问题。你看我画的下面这幅图。我们把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。因为我们移除的是数组中的最后一个元素，而在堆化的过程中，都是交换操作，不会出现数组中的“空洞”，所以这种方法堆化之后的结果，肯定满足完全二叉树的特性。