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关于积分换元

首先明确：所有一般换元（例如用 $x, y$ 表示 $z$ ）都是参数方程的特殊形式。例如刚刚的换元可以写作：

{\begin{cases} x = u \\ y = v \\ z = f (u, v) \end{cases}

$\begin{cases} x=u\\y=v\\z=f(u,v) \end{cases}$

所以我们只研究参数方程即可。

积分换元的本质是，我们尝试求 $\displaystyle\int_\Omega F \mathrm{d}U$ ，其中 $\mathrm{d}U$ 是我们关心的区域的一个极小的部分，且积分的时候它“遍历”了 $U$ （也可以说所有位置都“积分到了”）。

这时我们尝试换一种方式来“遍历” $U$ ，这就是换元。我们把它写作 $\displaystyle\int_\Omega F \mathrm{d}W$ 。

但是换元之后还不能直接求。我们还需要知道每一个 $\mathrm{d}W$ 的“大小”，这样才能把 $\mathrm{d}W$ 用换元之后的变量表示出来。

（注意：如果不换元直接积分，当然可以把 $\mathrm{d}U$ 用 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z$ 表示出来。例如如果是体积就是三者相乘）

怎么知道呢？按微分的思路，把这一部分视作“线性”的，然后使用向量的叉乘取模等操作即可。

三重积分：

{\begin{cases} x = x (u, v, w) \\ y = y (u, v, w) \\ z = z (u, v, w) \end{cases} ∭ f (x, y, z) d V = ∭ f (x, y, z) (\frac{\partial (x, y, z)}{\partial u} \times \frac{\partial (x, y, z)}{\partial v} \cdot \frac{\partial (x, y, z)}{\partial w}) d u d v d w

$\begin{cases}x=x(u,v,w)\\y=y(u,v,w)\\z=z(u,v,w)\end{cases} \\~\\ \iiint f(x,y,z) {\color{red}{\mathrm{d} V}} \\~\\ =\iiint f(x,y,z) {\color{red}{\left(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial u}\times\frac{\partial(x,y,z)}{\partial v}\cdot\frac{\partial(x,y,z)}{\partial w}\right)\mathrm{d} u\mathrm{d} v\mathrm{d} w}}$

第一类曲面积分：

{\begin{cases} x = x (u, v) \\ y = y (u, v) \\ z = z (u, v) \end{cases} \iint f (x, y, z) d S = \iint f (x, y, z) | \frac{\partial (x, y, z)}{\partial u} \times \frac{\partial (x, y, z)}{\partial v} | d u d v

$\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{cases} \\~\\ \iint f(x,y,z) {\color{red}{\mathrm{d} S}} \\~\\ =\iint f(x,y,z) {\color{red}{\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial u}\times\frac{\partial(x,y,z)}{\partial v}\right|\mathrm{d} u\mathrm{d} v}}$

第二类曲面积分：

对[单位法向量]点乘[给出的函数]积分

{\begin{cases} x = x (u, v) \\ y = y (u, v) \\ z = z (u, v) \end{cases} \iint P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iint (P, Q, R) \cdot (unit normal vector) d S = \iint (P, Q, R) \cdot (\frac{\partial (x, y, z)}{\partial u} \times \frac{\partial (x, y, z)}{\partial v}) d u d v

$\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{cases} \\~\\ \iint P\mathrm{d} y\mathrm{d} z + Q\mathrm{d} z\mathrm{d} x + R\mathrm{d} x\mathrm{d} y \\~\\ \iint (P,Q,R)\cdot {\color{red}{(\text{unit normal vector})\mathrm{d} S}} \\~\\ =\iint (P,Q,R) \cdot {\color{red}{\left(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial u}\times\frac{\partial(x,y,z)}{\partial v}\right)\mathrm{d} u\mathrm{d} v}}$

posted @ 2024-06-17 13:10 Xi'En 阅读(85) 评论(1) 编辑收藏举报

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