复习到80多分的水平
关于积分换元
首先明确：所有一般换元（例如用 \(x, y\) 表示 \(z\)）都是参数方程的特殊形式。例如刚刚的换元可以写作：
\[\begin{cases}
x=u\\y=v\\z=f(u,v)
\end{cases}
\]
所以我们只研究参数方程即可。
积分换元的本质是，我们尝试求 \(\displaystyle\int_\Omega F \mathrm{d}U\)，其中 \(\mathrm{d}U\) 是我们关心的区域的一个极小的部分，且积分的时候它“遍历”了 \(U\)（也可以说所有位置都“积分到了”）。
这时我们尝试换一种方式来“遍历”\(U\)，这就是换元。我们把它写作 \(\displaystyle\int_\Omega F \mathrm{d}W\)。
但是换元之后还不能直接求。我们还需要知道每一个 \(\mathrm{d}W\) 的“大小”，这样才能把 \(\mathrm{d}W\) 用换元之后的变量表示出来。
（注意：如果不换元直接积分，当然可以把 \(\mathrm{d}U\) 用 \(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z\) 表示出来。例如如果是体积就是三者相乘）
怎么知道呢？按微分的思路，把这一部分视作“线性”的，然后使用向量的叉乘取模等操作即可。
三重积分：
\[\begin{cases}x=x(u,v,w)\\y=y(u,v,w)\\z=z(u,v,w)\end{cases}
\\~\\ \iiint f(x,y,z) {\color{red}{\mathrm{d} V}}
\\~\\ =\iiint f(x,y,z) {\color{red}{\left(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial u}\times\frac{\partial(x,y,z)}{\partial v}\cdot\frac{\partial(x,y,z)}{\partial w}\right)\mathrm{d} u\mathrm{d} v\mathrm{d} w}}
\]
第一类曲面积分：
\[\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{cases}
\\~\\ \iint f(x,y,z) {\color{red}{\mathrm{d} S}}
\\~\\ =\iint f(x,y,z) {\color{red}{\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial u}\times\frac{\partial(x,y,z)}{\partial v}\right|\mathrm{d} u\mathrm{d} v}}
\]
第二类曲面积分：
对[单位法向量]点乘[给出的函数]积分
\[\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{cases}
\\~\\ \iint P\mathrm{d} y\mathrm{d} z + Q\mathrm{d} z\mathrm{d} x + R\mathrm{d} x\mathrm{d} y
\\~\\ \iint (P,Q,R)\cdot {\color{red}{(\text{unit normal vector})\mathrm{d} S}}
\\~\\ =\iint (P,Q,R) \cdot {\color{red}{\left(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial u}\times\frac{\partial(x,y,z)}{\partial v}\right)\mathrm{d} u\mathrm{d} v}}
\]
