分布律，概率分布函数，概率密度函数
1. 分布律
定义
分布律只针对离散型随机变量，连续型没有
设离散型随机变量可能取值为\(x_k(k=1,2,...)\),事件\(\{X=x_k\}\)的概率为离散型随机变量\(X\)的分布律，记作\(P\{X=x_k\} = p_k,k=1,2...\)
性质
- \(p_k>=0\) 。\(p_k\)的意思是取值为k的概率
- \(\sum_{k=1}^{\infty} = 1\)
2. 分布函数
定义
设\(X\)是一个随机变量,x是任意实数，函数\(F(x)=P(X<=x),-\infty<x<+\infty\)称为\(X\)的分布函数
性质
- \(F(x)是单调不减函数，即：对任意x_1<x_2\)，有\(F(x_1)<=F(x_2)\)
\[F(x_2)-F(x_1)=p\{x_1<X<=x_2\}>=0
\]
\[\begin{align}
&0<=F(x)<=1\\
&\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0,\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=1
\end{align}
\]
- \(F(x)\)是右连续的
\[\lim_{x->x_0}F(x)=F(x_0)
\]
3. 概率密度函数
定义
概率密度只针对连续型随机变量，离散型没有
对于随机变量\(X\)的分布函数\(F(x)\)，存在非负可积函数\(f(x)\)使对于任意实数\(x\)，有
\[F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt
\]
则称\(X\)为连续型随机变量，其中函数\(f(x)\)称为\(X\)的概率密度函数，简称为概率密度
性质
- \(f(x)>=0,x\varepsilon R\)
- \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)
- 对任意给定的\(x_1<x_2\)，\(P\{x_1<X<=x_2\}=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx\)
- 在\(f(x)\)的连续点处，总有\(f(x)=F'(x)\)
- 连续型随机变量\(X\)取任一点\(x_0\)的概率始终为0，即\(P\{X=x_0\}=0\)
原因可见第二性质
注：因为对于连续型随机变量，讨论其某一点值的概率是毫无意义的，只能讨论某一区间上取值的概率。由此，对任意实数a<b，有
\[\begin{align}
P\{a<=X<=b\} &= P\{a<X<=b\}=P\{a<=X<b\}\\
&=P\{a<=X<=b\}=P\{a<X<b\}\\
&=\int_a^bf(x)dx
\end{align}
\]
几何意义
\(X\)落在区间\((x_1,x_2]\)的概率等于区间\((x_1,x_2]\)上曲线\(y=f(x)\)之下的曲边梯形的面积
