分布律，概率分布函数，概率密度函数

1. 分布律

定义

分布律只针对离散型随机变量，连续型没有
设离散型随机变量可能取值为$x_k(k=1,2,...)$,事件$\{X=x_k\}$的概率为离散型随机变量$X$的分布律，记作$P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2...$

性质

1. $p_k>=0$ 。$p_k$的意思是取值为k的概率
2. $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}=1$

2. 分布函数

定义

设$X$是一个随机变量,x是任意实数，函数$F(x)=P(X<=x),-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$称为$X$的分布函数

性质

1. $F(x)\mathrm{是}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{不}\mathrm{减}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{即}：\mathrm{对}\mathrm{任}\mathrm{意}{x}_1<x_2$，有$F(x_1)<=F(x_2)$

$$F(x_2)-F(x_1)=p\{x_1<X<=x_2\}>=0$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& & 0<=F(x)<=1\text{(2)}& & \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=1\end{array}$$

3. $F(x)$是右连续的

$$\underset{x->x_0}{lim}F(x)=F(x_0)$$

3. 概率密度函数

定义

概率密度只针对连续型随机变量，离散型没有
对于随机变量$X$的分布函数$F(x)$，存在非负可积函数$f(x)$使对于任意实数$x$，有

$$F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt$$

则称$X$为连续型随机变量，其中函数$f(x)$称为$X$的概率密度函数，简称为概率密度

性质

1. $f(x)>=0,x\epsilon R$
2. ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=1$
3. 对任意给定的$x_1<x_2$，$P\{x_1<X<=x_2\}={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$
4. 在$f(x)$的连续点处，总有$f(x)=F^{\prime }(x)$
5. 连续型随机变量$X$取任一点$x_0$的概率始终为0，即$P\{X=x_0\}=0$
   原因可见第二性质

注：因为对于连续型随机变量，讨论其某一点值的概率是毫无意义的，只能讨论某一区间上取值的概率。由此，对任意实数a<b，有

$$\begin{array}{}\text{(3)}& P\{a<=X<=b\}& =P\{a<X<=b\}=P\{a<=X<b\}\text{(4)}& & =P\{a<=X<=b\}=P\{a<X<b\}\text{(5)}& & ={\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$

几何意义

$X$落在区间$(x_1,x_2]$的概率等于区间$(x_1,x_2]$上曲线$y=f(x)$之下的曲边梯形的面积