几何分布和超几何分布

几何分布

定义

在独立重复试验中，实验次数预先不能确定，设每次实验成功的概率为p,将实验进行到成功一次为止，以$X$表示所需的实验次数，则$X$的分布律为

$$P\{X=k\}=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,3...$$

称随机变量$X$服从参数为$p$的几何分布

例

设某篮球选手的命中率为$\frac{3}{4}$,他连续投篮直到第一次命中为止，求他投篮次数不超过5次就能命中的概率

$$\begin{array}{rl}& X:\mathrm{首}\mathrm{次}\mathrm{命}\mathrm{中}\mathrm{所}\mathrm{用}\mathrm{投}\mathrm{篮}\mathrm{次}\mathrm{数}\\ & P\{X=k\}=(1-p{)}^{k-1}\ast p\\ & p\{x<=5\}=\sum _{k=1}^5(1-p{)}^{k-1}\ast p\end{array}$$

超几何分布

定义

从N件产品（M件次品）中任取n件，以$X$表示取到的次品数，则$X$的分布律:

$$p\{X=k\}=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$$

随机变量$X$服从参数为$(N,M,n)$的超几何分布