扩展欧几里得的推导与代码实现

引言 ： 裴蜀定理（定义摘自oi wiki）

定义：

　　设整数a,b是不全为0的整数，则存在整数x,y，使得 ax+by = gcd(a,b） 

  

证明：

　　 1.若a,b有一个数为0，则x取1即可成立

　　2.若a,b都为正整数，gcd(a,b) 为a,b的共同因子

　　　所以 a%gcd(a,b) = b%gcd(a,b) = 0

　　　由(m+n)%p = m%p+n%p

　　　可以得出 （ax+by)%gcd(a,b) = ax%gcd(a,b）+by%(gcd,a,b) = 0+0 = 0  得证

 

回到今天的主角扩展欧几里得算法(部分借鉴知乎用户忘忧北萱草的文章)

传统欧几里得算法是用辗转相除算出a,b的最大公约数

扩展欧几里得则是可以在既算出最大公约数的同时，算出ax+by = gcd(a,b) 中的(x,y)

 

在欧几里得算法中，递归根据的是gcd(a,b) = (b,a%b) = (b,a-b[a/b])  在扩欧里也会用到这个结论

设两组解(x,y) ， (x1,y1)  根据裴蜀定理可得ax+by = gcd(a,b） bx1+(a-b[a/b])y1 = (b,a-b[a/b])

由于(a,b) = (b,a-b[a/b])  则将两个式子联立求解得　　a(x-y1) + b(y-(x1-y1[a/b])) = 0

我们希望这个式子对于所有解集(x,y) 都成立 于是有 x = y1　　y = x1-y1[a/b] 

此时求解(x,y)已经变成了求解(x1,y1），继续递归直到求解完成。递归结束条件为b=0,此时x=1,y=0

 

代码实现：

　　int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)　　//返回的是gcd(a,b) x,y要传引用
　　{
　　　　if(a < b) return exgcd(b, a, y, x);　　
　　　　if(b == 0)　　　　　　　　　　//递归的结束条件是 b==0
　　　　{
　　　　　　x = 1; y = 0;
　　　　　　return a;
　　　　}
　　　　else
　　　　{
　　　　　　int x1;
　　　　　　int d = exgcd(b, a % b, x1, x); 　//exgcd(a,b,x,y) 的实质是一位置乘三位置 + 二位置*四位置 = gcd(一位置，二位置）

　　　　　　y = x1 - a / b * x;　　　　　　　//根据前文第三处黑体字可知  递归函数的三位置应该是x1,四位置应该是y1

　　　　　　return d;　　　　　　　　　　 //因为x=y1 所以四位置是x
　　　　}
　　}