ARC142D Deterministic Placing

原题链接 https://atcoder.jp/contests/arc142/tasks/arc142_d
对我来说，这是一道很复杂的 \(dp\) 题，很考验基本功，也十分考验分析问题的准确性。
考场上我的大致思路已经大差不差了，但是 \(dp\) 转移的细节实在是过于冗杂，导致我经过了一个月才把这道题目搞定，其中经历了各种没有考虑周全的情况，做到我精神崩溃，而发现网上没有和我思路完全一致的博客，于是只好自己慢慢 debug。

我们发现，本题实际上是统计将一棵树划分成互不相交链的方案数。其中，每条链有一个端点是空着的，其他所有点都放有棋子，每次移动，棋子就在链的两端之间滑动。经过尝试，我们 \(dp\) 状态要分为 \(7\) 种情况：

• \(0\) 该点为不放棋子的端点，并且链向子树方向延伸
• \(1\) 该点为不放棋子的端点，并且链向父亲方向延伸
• \(2\) 该点为放棋子的端点，并且链向子树方向延伸
• \(3\) 该点为链的中段（即不为两端点），且棋子向子树方向滑动
• \(4\) 该点为放棋子的端点，并且链向父亲方向延伸
• \(5\) 该点为链的中段，且棋子向父亲方向滑动
• \(6\) 该点为链的中段，且横向跨越子树（即向两个儿子延伸）

经过仔细分析，有如下转移式：

\[\begin{aligned} f[u][0] &= \sum_{v_1} (f[v_1][4] + f[v_1][5])\times\prod_{v\neq v_1} f[v][2]\\ f[u][1] &= \prod_{v} f[v][2]\\ f[u][2] &= \sum_{v_1} (f[v_1][1]+ f[v_1][3]) \times \prod_{v\neq v_1} f[v][0]\\ f[u][3] &= \sum_{v_1} (f[v_1][1] + f[v_1][3]) \times \prod_{v\neq v_1}f[v][6]\\ f[u][4] &= \prod_{v} f[v][0]\\ f[u][5] &= \sum_{v_1} (f[v_1][4] + f[v_1][5])\times \prod_{v\neq v_1} f[v][6]\\ f[u][6] &= \sum_{v_1 \neq v_2} (f[v_1][1]+f[v_1][3])\times(f[v_2][4] + f[v_2][5])\times \prod_{v\neq v_1, v_2} f[v][6] \end{aligned} \]

请仔细体会状态转移的细节。

如何 \(O(1)\) 维护转移呢？一开始我想复杂了，其实很简单，我们可以借助若干个变量来避免枚举 \(v_1, v_2\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 200005;
const int mod = 998244353;
int n;
ll f[maxn][7];
int head[maxn], nxt[maxn << 1], tail[maxn << 1], ecnt;

inline ll mul(ll a, ll b) { return (a * b) % mod; }
inline ll add(ll a, ll b) { a += b; if (a >= mod) a -= mod; if (a < 0) a += mod; return a; }

void addedge(int u, int v) {
	nxt[++ecnt] = head[u];
	head[u] = ecnt;
	tail[ecnt] = v;
}

ll tmp[4];
void dfs(int u, int p) {
	for (int e = head[u]; e; e = nxt[e]) {
		int v = tail[e];
		if (v != p) dfs(v, u);
	}

	tmp[0] = 1; tmp[1] = 0;
	for (int e = head[u]; e; e = nxt[e]) {
		int v = tail[e];
		if (v != p) {
			tmp[1] = mul(tmp[1], f[v][2]);
			tmp[1] = add(tmp[1], mul(tmp[0], add(f[v][4], f[v][5])));
			tmp[0] = mul(tmp[0], f[v][2]);
		}
	}
	f[u][0] = tmp[1];
	
	f[u][1] = tmp[0];
	
	tmp[0] = 1; tmp[1] = 0;
	for (int e = head[u]; e; e = nxt[e]) {
		int v = tail[e];
		if (v != p) {
			tmp[1] = mul(tmp[1], f[v][0]);
			tmp[1] = add(tmp[1], mul(tmp[0], add(f[v][1], f[v][3])));
			tmp[0] = mul(tmp[0], f[v][0]);
		}
	}
	f[u][2] = tmp[1];
	
	f[u][4] = tmp[0];
	
	tmp[0] = 1; tmp[1] = 0;
	for (int e = head[u]; e; e = nxt[e]) {
		int v = tail[e];
		if (v != p) {
			tmp[1] = mul(tmp[1], f[v][6]);
			tmp[1] = add(tmp[1], mul(tmp[0], add(f[v][1], f[v][3])));
			tmp[0] = mul(tmp[0], f[v][6]);
		}
	}
	f[u][3] = tmp[1];
	
	tmp[0] = 1; tmp[1] = 0;
	for (int e = head[u]; e; e = nxt[e]) {
		int v = tail[e];
		if (v != p) {
			tmp[1] = mul(tmp[1], f[v][6]);
			tmp[1] = add(tmp[1], mul(tmp[0], add(f[v][4], f[v][5])));
			tmp[0] = mul(tmp[0], f[v][6]);
		}
	}
	f[u][5] = tmp[1];
	
	tmp[0] = 1; tmp[1] = tmp[2] = tmp[3] = 0;
	for (int e = head[u]; e; e = nxt[e]) {
		int v = tail[e];
		if (v != p) {
			tmp[3] = mul(tmp[3], f[v][6]);
			tmp[3] = add(tmp[3], mul(tmp[1], add(f[v][4], f[v][5])));
			tmp[3] = add(tmp[3], mul(tmp[2], add(f[v][1], f[v][3])));
			tmp[1] = mul(tmp[1], f[v][6]);
			tmp[2] = mul(tmp[2], f[v][6]);
			tmp[1] = add(tmp[1], mul(tmp[0], add(f[v][1], f[v][3])));
			tmp[2] = add(tmp[2], mul(tmp[0], add(f[v][4], f[v][5])));
			tmp[0] = mul(tmp[0], f[v][6]);
		}
	}
	f[u][6] = tmp[3];
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
		int u, v; cin >> u >> v;
		addedge(u, v); addedge(v, u);
	}
	dfs(1, 0);
	cout << add(add(f[1][0], f[1][2]), f[1][6]) << endl;
	return 0;
}