拓展欧拉定理证明

网上看到的证明方法都是通过素因数合并，我又自己 yy 出了一种做法，利用分析法。
拓展欧拉定理表述如下：若 \(b\ge \varphi (m)\)，则：

\[a^b \equiv a^{(b \bmod \varphi(m)) +\varphi(m)} \pmod m \]

第一种证明方式

参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/131536831

当 \(a\) 和 \(m\) 互素时，根据欧拉定理显然成立。

当 \(a\) 和 \(m\) 不互素时，我们将 \(m\) 素因数分解为 \(\prod p_i^{c_i}\)，我们只要证明对于每个 \(p_i^{c_i}\)，都有

\[a^b \equiv a^{(b \bmod \varphi(m)) +\varphi(m)} \pmod {p_i^{c_i}} \]

即可。因为有引理：\(x \equiv y \pmod {m_1}\) 且 \(x\equiv y\pmod {m_2}\) 的充要条件是 \(x \equiv y \pmod {\text{lcm}(m_1, m_2)}\)，再根据数学归纳法即可证明我们能够合并这些素因子。引理的证明也很简单，考虑 \(x-y\) 既是 \(m_1\) 的倍数又是 \(m_2\) 的倍数，因此根据唯一分解定理，\(x-y\) 是 \(\text{lcm}(m_1, m_2)\) 的倍数。

• 当 \(\gcd(p_i^{c_i}, a) = 1\) 时

因为欧拉函数 \(\varphi\) 是积性函数，因此 \(\varphi(p_i^{c_i}) \mid \varphi(m)\)，根据欧拉定理，显然成立

• 当 \(\gcd(p_i^{c_i}, a) > 1\) 时

那么此时 \(a\) 一定是 \(p_i\) 的倍数，不妨设 \(a= np_i\)。因为 \(\varphi(p_i ^{c_i}) = p_i^{c_i -1} (p_i-1 )\ge 2^{c_i-1} \ge c_i\)，因此：\(b\ge \varphi(m) \ge \varphi(p_i^{c_i})\ge c_i\)。

根据上述不等式链，\(p_i ^{c_i}\) 为 \(a^b\) 的因数，也是 \(a^{(b \bmod \varphi(m)) +\varphi(m)}\) 的因数，即此时有：

\[a^b \equiv a^{(b \bmod \varphi(m)) +\varphi(m)} \equiv 0\pmod {p_i^{c_i}} \]

综上，拓展欧拉定理成立！

我的证明方式

不妨设 \(b = k\varphi(m) + r\)，其中 \(k\ge 1, r\in [0, \varphi(m) )\)，即 \(r\) 是 \(b \bmod {\varphi(m)}\) 的余数。
我们要证明 \(a^{r+\varphi(m)} \equiv a^{k\varphi(m) +r} \pmod m\) 成立。
我采用分析法证明，因此我需要保证以下所有步骤都是可逆的（或者说是等价的），即证：

\[a^{r + \varphi(m)}(1 - a^{(k-1) \varphi(m)}) \equiv 0 \pmod m \]

分拆出一个 \(a\) 出来（这么做是合法的，因为 \(r + \varphi(m) - 1 \ge 0\)），再利用同余式性质（注意，这个性质是充要的）：

\[\begin{aligned} a \times a^{r + \varphi(m) - 1} (1 - a^{(k-1) \varphi(m)}) &\equiv 0 \pmod m\\ a^{r + \varphi(m) - 1} (1 - a^{(k-1) \varphi(m)}) &\equiv 0 \pmod {\frac{m}{\gcd(a, m)}} \end{aligned} \]

现在问题转化为证明 \(a^{(k-1) \varphi(m)} \equiv 1 \pmod {\dfrac{m}{\gcd(a, m)}}\)
观察到 \(\dfrac{m}{\gcd(a, m)} \perp a\)（证明只需要考虑每个素因子即可，两者不可能含有共同的素因子）
此时满足欧拉定理的条件，而因为欧拉函数 \(\varphi\) 为积性函数，因此 \(\varphi(\dfrac{m}{\gcd(a, m)}) \mid \varphi(m)\)。
所以根据欧拉定理，上式成立，即拓展欧拉定理成立！