整除分块正确性证明

看到《算法竞赛进阶指南》上对于整除分块的正确性证明略有些不太自然，这里给出我的证明方法。
我们要证明：

\[r = \lfloor \frac N {\lfloor \frac N l\rfloor} \rfloor \implies \lfloor \frac N l \rfloor = \lfloor \frac N r \rfloor \]

其中 \(l\) 和 \(N\) 都为正整数，且正整数 \(r\) 是最大的使该式成立的 \(r\)
证明：
不妨设一个正整数 \(n\)，使得

\[\lfloor \frac N l \rfloor = n \]

根据下取整函数的性质，我们能将上式转化为不等式，从而去掉下取整函数：

\[n \le \frac N l < n + 1 \]

化为关于 \(l\) 的不等式：

\[\frac N {n+1} < l \le \frac N n \]

由此，我们知道，\(l\) 在上述的范围内时，\(\lfloor\dfrac N l \rfloor\) 取得的值是一样的，因此：

\[l \le r \le \frac N n = \frac N {\lfloor \frac N l \rfloor} \]

引理：\(n\le x \Leftrightarrow n \le \lfloor x \rfloor\)，其中 \(n\) 为整数，\(x\) 为实数
这个引理还是很显然的，但是为了严谨，我们还是证明一下：
先证充分性：根据定义 \(x < \lfloor x \rfloor + 1\)，则 \(n \le x < \lfloor x \rfloor + 1\)，由于 \(n\) 和 \(\lfloor x \rfloor\) 都是整数，所以 \(n\le \lfloor x \rfloor\)
再证必要性：根据定义 \(n \le \lfloor x \rfloor \le x\)

根据上述引理，

\[r \le \lfloor \frac N {\lfloor \frac N l\rfloor} \rfloor \]

因为 \(r\) 是最大的，故

\[r = \lfloor \frac N {\lfloor \frac N l\rfloor} \rfloor \]

证毕！