通俗易懂的埃氏筛时间复杂度分析

前言

网上查阅了资料，发现对于埃氏筛时间复杂度的分析都很高深，大多运用了 Mertens Theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Mertens'_theorems
然而本人水平太菜啦，根本看不懂。经过我一下午的摸索，自己 yy 出了一个较为通俗易懂的做法，如果您发现有纰漏，烦请在评论区中指出，谢谢！

埃氏筛是什么？

埃拉托斯特尼筛法，简称埃氏筛，是一种在 \(O(N\ln\ln N)\) 时间复杂度中筛出 \(1\sim N\) 之间所有素数的算法。
其算法过程就是，从 \(2\) 到 \(N\) 枚举每个数，如果当前数未被剔除，则其为素数，并将它的倍数全部剔除掉。循环结束之后，所有没被这种操作剔除的数都是素数。代码如下：

bool vis[N];
void Eratosthenes() {
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        if (vis[i]) continue; // 合数就下一个
        for (int j = i; j <= N / i; j++) vis[i * j] = true;
    }
}

注意到这里有个小优化，每次倍数是从 \(i\) 开始枚举，因为小于 \(i\) 的倍数其实在之前的扫描中已经被标记过了。
这个算法时间复杂度为什么是 \(O(N\ln\ln N)\) 呢？正文开始：

埃氏筛时间复杂度分析

约定：为了方便表述，规定本文之后出现的所有 \(p\) 都是素数
我们的目标是求出：

\[\sum_{p\le \sqrt N} \left(\frac Np -p\right) \]

上面的和式分为两部分，\(\sum\limits_{p\le \sqrt N} \dfrac{N}{p}\) 与 \(\sum\limits_{p\le \sqrt N}p\)

前置引理

我们之后所有的推导都基于素数定理，其表述如下：设 \(\pi (x)\) 表示不大于 \(x\) 的数中有多少个素数，则 \(\pi(x) \sim \dfrac{x}{\ln x}\)
则我们知道 \(x\) 为素数的概率为 \(\pi(x) - \pi(x-1) \approx \dfrac 1{\ln x}\)（这里实际上是期望，但由于只有一个数 \(x\)，因此期望等于概率），这样，只要乘上概率，我们就能将对 \(p\) 的求和转化为连续的 \(x\) 的求和了！

有了这个引理，我们开始推导！

先算第一部分

\[\sum_{p\le \sqrt N} \frac Np =\sum_{x=2}^{\sqrt N} \frac{N}{x\ln x}=N\sum_{x=2}^{\sqrt{N}} \frac{1}{x\ln x} \]

接下来就要求这个含有 \(x\) 的和式，根据套路，我们可以使用积分近似。

\[\sum_{x=2}^{\sqrt N} \frac1{x\ln x} \approx \int_{2}^ \sqrt N \frac{1}{x\ln x} \mathrm{d}x \]

这是个经典的换元法解决的积分式。不妨设 \(u = \ln x\)，两边求导得 \(\mathrm{d} u = \dfrac 1x \mathrm{d} x\)，发现这一项正好出现在积分式中，直接代入：

\[\int \frac 1{x\ln x} \mathrm{d} x=\int \frac 1u \mathrm{d}u= \ln u + \C=\ln\ln x+ \C \]

于是，将这个定积分代回到之前的式子中，第一部分的近似值为 \(O(N\ln\ln \sqrt N) =O(N\ln\ln N)\)

再算第二部分

经过我的尝试，我使用算两次方法来解决这个问题。

第一种计算方式与第一部分的相同：

\[\sum_{p\le \sqrt N} p = \sum_{x=2}^{\sqrt{N}} \frac x {\ln x} \]

第二种计算方式是将每个 \(p\) 拆分成 \(\sum_x [1\le x\le p]\) 的形式，计算贡献（类似阿贝尔变换）：

\[\begin{aligned} \sum_{p\le \sqrt N}p &= \sum_{x=0}^{\sqrt N}\left(\pi(\sqrt N) - \pi(x)\right)= (\sqrt N + 1)\times \pi (\sqrt N) - \sum_{x=2}^{\sqrt{N}}\pi(x) \\&= (\sqrt N + 1)\times \frac {2\sqrt N}{\ln N} -\sum_{x=2}^{\sqrt N} \frac x{\ln x} \end{aligned} \]

两种计算方法联立，可以解得第二部分的近似值 \(O(\dfrac N {\ln N})\)

\[\sum_{x = 2}^{\sqrt N} \frac x {\ln x} \approx \frac{N}{\ln N} \]

合并两部分

所以埃氏筛法的总复杂度为第一部分减去第二部分：

\[O(N\ln\ln N-\frac N{\ln N}) = O(N\ln\ln N) \]

得证！