快速沃尔什变换
解决什么问题？
回顾之前学过的快速傅里叶变换，能在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度内计算下面这个卷积式：
\[C[k] = \sum_{i+j=k}A[i]\times B[j]
\]
而快速沃尔什变换解决的问题与上式略有不同：
\[C[k] = \sum_{i\bigoplus j = k} A[i]\times B[j]
\]
其中，\(\bigoplus\) 表示逻辑运算符号，可以是或、与、异或。
怎么解决？
为了叙述方便，我们定义如下基于数组 \(A, B\) 的运算：
- \(A+B = \{A[0] +B[0], A[1]+B[1],\cdots \}\)
- \(A-B = \{A[0] - B[0], A[1] - B[1], \cdots \}\)
- \(A\times B = \{A[0]\times B[0], A[1]\times B[1],\cdots \}\)
- \(A \bigoplus B = \{\sum_{i\bigoplus j=0} A[i]\times B[j], \sum_{i\bigoplus j=1} A[i]\times B[j]\}\) 注意：此处为卷积操作，而上述三条为按位操作
或卷积
或卷积式最为平凡的情况，我们先从它来入手。仿照快速傅里叶变换的思路，我们需要定义一个正变换 \(FWT\) 与逆变换 \(IFWT\)（注意 \(FWT(A)\) 和 \(IFWT(A)\) 都是数组），先分别对 \(A, B\) 应用 \(FWT\)，再将第 \(0 \sim 2^n -1\) 项对应相乘，即 \(FWT(A | B) = FWT(A) \times FWT(B)\)，最后再对 \(FWT(A|B)\) 施加逆变换操作得到 \(A|B\)（卷积而非按位）。
怎么在或卷积中构造这样的正变换规则呢？定义 \(j \subseteq i\) 表示集合的二进制表示中 \(j\) 为 \(i\) 的子集，我们定义：
\[FWT(A)[i] = \sum_{j\subseteq i}A[j]
\]
下面来证明这样构造的正变换符合性质 \(FWT(A|B) = FWT(A)\times FWT(B)\)，不妨考虑第 \(i\) 位的值：
\[\bigg(FWT(A)\times FWT(B)\bigg)[i] = FWT(A)[i]\times FWT(B)[i]=\left(\sum_{x \subseteq i} A[x]\right)\times \left(\sum_{y\subseteq i} B[y] \right)
\]
\[\begin{aligned}
FWT(A|B)[i] &= \sum_{j\subseteq i} \sum_{x|y=j} A[x]\times B[y]\\
&=\sum_{j\subseteq i}\sum_{x, y}A[x]\times B[y] \times [x|y=j]\\
&=\sum_{x, y} A[x]\times B[y]\times [x|y \subseteq i]\\
&=\sum_{x, y} A[x]\times B[y] \times [x\subseteq i]\times [y\subseteq i]\\
&=\left(\sum_{x \subseteq i} A[x]\right)\times \left(\sum_{y\subseteq i} B[y] \right)
\end{aligned}
\]
因此左边等于右边，证毕。
接下来，对于一个下标为 \(0\sim 2^n -1\) 的数组 \(A\)，我们如何快速地求得正变换的结果 \(FWT(A)\) 呢？
我们学习快速傅里叶变换的思路，将数组 \(A\) 划分为左右大小均为 \(2^{n-1}\) 的两块 \(A_L\) 与 \(A_R\)：
\[FWT(A)=
\begin{cases}
\text{merge}(FWT(A_L), FWT(A_L) +FWT(A_R)) & n>0\\
A &n=0
\end{cases}
\]
其中 \(\text{merge}\) 函数表示把前后两个数组顺次拼接起来。
这为什么是正确的呢？当 \(n=0\) 时数组长度为 \(1\)，显然成立。而当 \(n > 0\) 时，对于左边一半，其二进制最高位（\(2^{n-1}\)）为 \(0\)，根据 \(FWT\) 的定义式 \(A_R\) 对这部分没有任何贡献；对于右边一半，其二进制最高位是 \(1\)，于是 \(FWT\) 定义式中子集的二进制分为两种情况：最高位为 \(0\) 和最高位为 \(1\)，贡献分别为 \(FWT(A_L)\) 和 \(FWT(A_R)\)
最后，我们需要考虑如何求解逆变换 \(IFWT(A)\)，于我而言最直接的想法是考虑反演：
\[FWT(A)[i] = \sum_{j\subseteq i} A[j] \Leftrightarrow A[i] = \sum_{j\subseteq i} (-1)^{|i| - |j|} FWT(A)[j]
\]
其中 \(|i|\) 表示 \(i\) 在二进制下 \(1\) 的个数。我观察出该反演关系的原因是容斥原理。
下面来简单证明一下这个式子的正确性（证明过程比较套路，与其它各类反演证明方式类似，就是将一个式子代入另外一个式子中）：
\[\begin{aligned}
\sum_{j\subseteq i} (-1)^{|i| - |j|} FWT(A)[j] &=\sum_{j\subseteq i} (-1)^{|i| - |j|} \sum_{x\subseteq j} A[x]\\
&= \sum_{x\subseteq i} A[x] \sum_{p=0}^{|i| - |x|} (-1)^{p} \binom{|i| -|x|}{p}\\
&= \sum_{x\subseteq i} A[x] \times [|x| = |i|]\\
&= A[i]
\end{aligned}
\]
通过反演我们就能得到逆变换的递归式：
\[IFWT(A) = \begin{cases}
\text{merge} (IFWT(A_L), -IFWT(A_L) + IFWT(A_R)) & n>0\\
A & n=0
\end{cases}
\]
为什么 \(-IFWT(A_L)\) 呢？对于右半边，必定比左半边多出二进制最高位上的一个 \(1\)，这样根据反演符号改变。
与卷积
和或卷积很类似，此处我们先定义正变换规则为：
\[FWT(A)[i] = \sum_{i\subseteq j} A[j]
\]
下面还是先证明构造的正变换符合性质：\(FWT(A \& B) = FWT(A)\times FWT(B)\)
\[\bigg( FWT(A)\times FWT(B)\bigg)[i] = \left(\sum_{i\subseteq x} A[x] \right) \left(\sum_{i\subseteq y}B[y] \right)
\]
\[\begin{aligned}
FWT(A\& B)[i] &= \sum_{i\subseteq j} \sum_{x\& y=j} A[x]\times B[y]\\
&= \sum_{i\subseteq j}\sum_{x, y} A[x]\times B[y]\times [x\& y = j]\\
&= \sum_{x, y} A[x]\times B[y]\times [i\subseteq x\& y]\\
&= \sum_{x, y} A[x]\times B[y] \times [i\subseteq x]\times[i\subseteq y]\\
&= \left(\sum_{i\subseteq x} A[x] \right) \left(\sum_{i\subseteq y}B[y] \right)
\end{aligned}
\]
和或卷积类似，正变换符合递归式：
\[FWT(A) = \begin{cases}
\text{merge}(FWT(A_L) + FWT(A_R), FWT(A_R)) & n > 0\\
A &n=0
\end{cases}
\]
逆变换 \(IFWT(A)\) 也同样考虑反演：
\[FWT(A)[i] = \sum_{i\subseteq j} A[j] \Leftrightarrow A[i] = \sum_{i\subseteq j} (-1)^{|j| - |i|} FWT(A)[j]
\]
证明：
\[\begin{aligned}
\sum_{i\subseteq j} (-1)^{|j| - |i|} FWT(A)[j] &= \sum_{i\subseteq j}(-1)^{|j| - |i|}\sum_{j\subseteq x } A[x]\\
&= \sum_{i\subseteq x} A[x] \sum_{p = 0}^{|x| - |i|} (-1)^{p} \binom{|x| - |i|}{p}\\
&= \sum_{i\subseteq x} A[x] \times [|x| = |i|]\\
&= A[i]
\end{aligned}
\]
于是，逆变换符合递归式：
\[IFWT(A) = \begin{cases}
\text{merge}(IFWT(A_L) - IFWT(A_R), IFWT(A_R))&n>0 \\
A &n=0
\end{cases}
\]
异或卷积
异或卷积的正变换规则看起来很奇怪，其中 \(|i|\) 还是表示 \(i\) 二进制下 \(1\) 的个数：
\[FWT(A)[i] = \sum_{j=0}^{2^n - 1} (-1)^{|i\& j|} A[j]
\]
还是先证明一下这个构造符合性质：\(FWT(A \Lambda B) = FWT(A) \times FWT(B)\)
\[\bigg(FWT(A) \times FWT(B) \bigg)[i] = \left(\sum_{j=0}^{2^n-1}(-1)^{|i\& j|}A[j] \right)\times \left(\sum_{j=0}^{2^n - 1}(-1)^{|i\& j|}B[j] \right)
\]
\[\begin{aligned}
FWT(A\Lambda B)[i] &= \sum_{j=0}^{2^n-1} (-1)^{|i\& j|}\sum_{x, y} A[x]\times B[y] \times [x\Lambda y =j]\\
&= \sum_{x, y} A[x]\times B[y] \times (-1)^{|i\& (x\Lambda y)|}\\
&= \sum_{x, y} A[x]\times B[y] \times (-1)^{|i\& x|}\times (-1)^{|i\&y|} \\
&= \left(\sum_{j=0}^{2^n-1}(-1)^{|i\& j|}A[j] \right)\times \left(\sum_{j=0}^{2^n - 1}(-1)^{|i\& j|}B[j] \right)
\end{aligned}
\]
正变换符合递归式：
\[FWT(A)= \begin{cases}
\text{merge} (FWT(A_L) + FWT(A_R), FWT(A_L) - FWT(A_R)) &n>0\\
A &n=0
\end{cases}
\]
这边的逆变换我不太会通过反演证明，但是我们不妨换一个思路：根据正变换的递归式，我们只要逆向地还原回去，不就等同于逆变换了吗？进行一波分析：
\[FWT(A)_L = FWT(A_L) + FWT(A_R), FWT(A)_R = FWT(A_L) - FWT(A_R)\\
FWT(A_L) = \frac{FWT(A)_L + FWT(A)_R}{2},FWT(A_R) = \frac{FWT(A)_L - FWT(A)_R}2\\
\]
两边同取 \(IFWT\)，可得：
\[A_L = IFWT\left (\frac{FWT(A)_L + FWT(A)_R}{2}\right), A_R =IFWT\left(\frac{FWT(A)_L - FWT(A)_R}2\right)
\]
由于逆向变换 \(IFWT\) 满足线性性，我们可以展开：
\[A_L =\frac{IFWT(FWT(A)_L) + IFWT(FWT(A)_R)}{2},A_R =\frac{IFWT(FWT(A)_L) - IFWT(FWT(A)_R)}2
\]
于是我们也可以得到逆变换的递归式
\[IFWT(A) = \begin{cases}
\text{merge} \left(\dfrac{IFWT(A_L) +IFWT(A_R)}{2}, \dfrac{IFWT(A_L) - IFWT(A_R)} {2}\right) &n>0\\
A &n=0
\end{cases}
\]
