【AtCoder】Forbidden Pattern
分析
首先考虑哪些串能被删空。下面只考虑长度为偶数的串。考虑这样一个（错误的）算法：从左往右依次加入串中的字符，然后能删则删。这个算法对于结尾为 A 的串一定能删空。对称地，开头为 B 的串也一定能被删空。
现在只需要考虑开头为 A 结尾为 B 的串。如果它能被删空，则一定存在最早的一个时刻，使得串的开头为 B 或结尾为 A。考虑把串表示成 A XX .. XX B 的形式，若某个 XX 为 AB 则肯定可以从开头/结尾一路删到它。
因此，如果能匹配下列模式串中至少一个，一个串就能被删空：
B XX XX .. X
X AB XX .. X
..
X XX .. AB X
X XX XX .. A
对于其它情况，每次删除可以等效于删除一个 XX，因此可以归纳出不能删空。
通过观察可以得到一个等价的条件：一个串能被删空，当且仅当它能被划分成若干个长为偶数的串，每个串的开头为 B 或结尾为 A。
接下来，我们可以考虑串 \(S\) 能否进行若干次删除得到 \(T\)。
如果 \(T_1=\texttt{A}\)，则可以找到 \(S\) 中的第一个位置 \(i\) 满足：
- \(S_i=\texttt{A}\)
- \(S_{1..i-1}\) 能被删空
然后去掉 \(S_{1..i}\) 和 \(T_1\)，继续做。
考虑反证，假设去掉之后不合法，而某个合法方案去掉的是 \(S_{1..j}\) (\(j>i\))。那么两种方案得到的 \(S\) 分别为：
XX .. XA XX ..
XX ..
假设第二个串的某个前缀能被删空，那么第一个串右端点相同的前缀必然能被删空，矛盾。
如果 \(T_1=\texttt{B}\) 且 \(S_1=\texttt{A}\)，则可以找到最小的 \(2i\) 满足 \(S_{2i}=\texttt{A}\)，\(S_{1..2i}\) 这段前缀没有用，可以直接删掉（证明可以考虑上述的一个串能被删空的等价条件）。
假设现在 \(S_1=\texttt{B}\)。如果 \(T_{1..2}=\texttt{BA}\)，可以找到最小的 \(2i\) 满足 \(S_{2i}=\texttt{A}\)，去掉 \(S_{1..2i}\) 和 \(T_{1..2}\)。这一定合法，且 \(\texttt{A}\) 的位置一定最靠左。
现在只剩 \(T_{1..2}=\texttt{BB}\) 的情况，我们找到最小的 \(2i\) 满足 \(S_{2i}=\texttt{B}\)，去掉 \(S_{1..2i-1}\) 和 \(T_1\)。根据上述的一个串被删空的等价条件，我们实际想要去掉 \(T_1\) 以及 \(S\) 中由如下三段字符串拼成的一个前缀：
- 一段能被删空的串
- B
- 一段能被删空的串
满足 \(S\) 删掉这个前缀之后开头为 B。那么能观察到这个删法是最短的。
实现
#include<bits/stdc++.h>
#define rp(i,a,b) for(int i=a,_=b;i<=_;++i)
#define pr(i,a,b) for(int i=a,_=b;i>=_;--i)
using namespace std;
const int mod=998244353;
inline int inc(int x,int y){
return x+=y-mod,x+=x>>31&mod;
}
inline void upd(int &x,int y){
x=inc(x,y);
}
const int N=1e6+9;
int n,x[N],a[N][2],f[N][4];
char s[N];
int main(){
scanf("%d%s",&n,s+1);
rp(i,1,n){
x[i]=s[i]-'A';
}
rp(i,n+1,n+2)rp(j,0,1){
a[i][j]=n+1;
}
pr(i,n,1){
rp(j,0,1){
a[i][j]=a[i+2][j];
}
a[i][x[i]]=i;
}
f[n+1][2]=1;
f[n+1][3]=1;
pr(i,n,1){
f[i][0]=f[a[i][0]+1][3];
if(x[i]){
f[i][1]=~(n-i)&1;
rp(j,0,1){
upd(f[i][1],f[a[i+1][j]][j]);
}
f[i][2]=n-i&1;
}else{
f[i][1]=f[a[i+1][0]+1][1];
f[i][2]=f[a[i+1][0]+1][2];
}
rp(j,0,2){
f[i][3]=inc(f[i][3],f[i][j]);
}
}
printf("%d\n",f[1][3]);
return 0;
}
