*Liouville 公式的证明
前置知识:函数行列式求导法则
对一个函数行列式 H(x)=∣∣
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∣∣f11(x)f12(x)⋯f1n(x)f11(x)f22(x)⋯f2n(x)⋮⋮⋱⋮fn1(x)fn2(x)⋯fnn(x)∣∣
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∣∣ ,恒有 H′(x)=∑ni=1∣∣
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∣∣f11(x)f12(x)⋯f1n(x)⋮⋮⋱⋮f′i1(x)f′i2(x)⋯f′in(x)⋮⋮⋱⋮fn1(x)fn2(x)⋯fnn(x)∣∣
∣
∣
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∣
∣∣ 。
求导法则的证明此处略过。
对 W(x) 求导,则:
W′(x)=∑n−1i=1∣∣
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∣∣f1(x)f2(x)⋯fn(x)⋮⋮⋱⋮f(i)1(x)f(i)2(x)⋯f(i)n(x)f(i)1(x)f(i)2(x)⋯f(i)n(x)⋮⋮⋱⋮f(n−1)1(x)f(n−1)2(x)⋯f(n−1)n(x)∣∣
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∣
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∣∣+∣∣
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∣∣f1(x)f2(x)⋯fn(x)⋮⋮⋱⋮f(n−2)1(x)f(n−2)2(x)⋯f(n−2)n(x)f(n)1(x)f(n)2(x)⋯f(n)n(x)∣∣
∣
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∣∣ 。
很明显对前半部分均存在两个相邻行相同,由行列式性质立得前半部分均为 0 ,即:
W′(x)=∣∣
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∣
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∣
∣∣f1(x)f2(x)⋯fn(x)⋮⋮⋱⋮f(n−2)1(x)f(n−2)2(x)⋯f(n−2)n(x)f(n)1(x)f(n)2(x)⋯f(n)n(x)∣∣
∣
∣
∣
∣
∣∣ 。
这里注意 W(x) 本身不包含 f(n)i(x) 的元素。
另一方面,因为 fi(x) 均为方程 ∑ni=0pi(x)y(i)=0 的解,即 f(n)i(x)=−∑n−1k=1pk(x)f(n−k)i(x) ,代入 W′(x) 即得:
W′(x)=∣∣
∣
∣
∣
∣
∣∣f1(x)f2(x)⋯fn(x)⋮⋮⋱⋮f(n−2)1(x)f(n−2)2(x)⋯f(n−2)n(x)−∑n−1k=1pk(x)f(n−k)1(x)−∑n−1k=1pk(x)f(n−k)2(x)⋯−∑n−1k=1pk(x)f(n−k)n(x)∣∣
∣
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∣
∣∣ 。
当然由于行列式对特定一行(列)的可拆分性:
W′(x)=∑n−1k=1∣∣
∣
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∣
∣
∣∣f1(x)f2(x)⋯fn(x)⋮⋮⋱⋮f(n−2)1(x)f(n−2)2(x)⋯f(n−2)n(x)−pk(x)f(n−k)1(x)−pk(x)f(n−k)2(x)⋯−pk(x)f(n−k)n(x)∣∣
∣
∣
∣
∣
∣∣ 。
仿照求导,容易发现上面求和的部分除了 k=1 即 p1(x)f(n−1)i(x) 外均有第 n−k+1 行与最后一行成 −pk(x) 的比例,即行列式的值均为零,则:
W′(x)=∣∣
∣
∣
∣
∣
∣∣f1(x)f2(x)⋯fn(x)⋮⋮⋱⋮f(n−2)1(x)f(n−2)2(x)⋯f(n−2)n(x)−p1(x)f(n−1)1(x)−p1(x)f(n−1)2(x)⋯−p1(x)f(n−1)n(x)∣∣
∣
∣
∣
∣
∣∣ 。
再应用行列式的分拆(或说提取 −p1(x) ),即得:
W′(x)=−p1(x)⋅∣∣
∣
∣
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∣
∣∣f1(x)f2(x)⋯fn(x)⋮⋮⋱⋮f(n−2)1(x)f(n−2)2(x)⋯f(n−2)n(x)f(n−1)1(x)f(n−1)2(x)⋯f(n−1)n(x)∣∣
∣
∣
∣
∣
∣∣=−p1(x)⋅W(x) 。
此处得到了一个重要的结论:齐次线性微分方程的基本解组的 Wronskian 行列式,dWdx=−p1(x)W 。因为 W 是一个关于 x 的函数,可以通过分离变量的方法求出 W 关于 x 的简单关系,一通定积分(防止出现常数)操作下来有:
W(x)=W(x0)⋅e−∫xx0p1(ξ)dξ 。
此即 Liouville 公式。
二阶齐次线性微分方程的两个特解与一个通解间的关系
若 y1(x) 为方程 y′′+p(x)y′+q(x)y=0 的一个非零解,则存在且必存在 y2(x)=y1(x)∫1y21(x)e−∫p(x)dxdx 为原方程与 y1(x) 线性无关的另一个解,且 y=c1y1(x)+c2y2(x) 为原方程通解,其中 c1,c2 可全为零。
对特解知一求一的证明:
令 g(x)=y2(x)y1(x) (事实上为了推广一般化可以直接写作 g(x)=W(y2)W(y1) ,但此处仅讨论二阶),将 y2(x)=g(x)y1(x) 代入,有:
g′′+(p+2y′1y1)g′=0 (此处变量均为函数)。
对 g 适用降阶法解出:
g(x)=∫1y21(x)e−∫p(x)dxdx 。
则:
y2(x)=g(x)y1(x)=y1(x)∫1y21(x)e−∫p(x)dxdx 。
对通解的存在性(或说对基本解组的存在性)的正确性可由 Liouville 公式中 x0 的任意性给出,此处略过。
对通解的结构证明:(有点像数论中 Bezout 定理的结构证明)
取 ϕ(x) 为方程任一通解,取恰当的 x1 使关于 c1,c2 的二元一次方程组: {c1y1(x1)+c2y2(x1)=y(x1)c1y′1(x1)+c2y′2(x1)=y′(x1) 有解 (c1,c2) ,则:
- Φ(x)=c1y1(x)+c2y2(x) 满足原微分方程。
- Φ(x1)=ϕ(x1) ,Φ′(x1)=ϕ′(x1) ,即 Φ 与 ϕ 满足同一初值条件。
- 结合 1. 和 2. 有 Φ′′(x1)=ϕ′′(x1) 亦成立(虽然没有用)。
此说明 Φ=ϕ 。(当然要更严谨的可以构造 h(x)=Φ(x)−ϕ(x) 然后用极限什么乱七八糟的得出 h 敛于 0 )
另一方面容易验证 ϕ(x)+λ1y1(x)+λ2y2(x) 也为方程的解,则得到通解结构的一般表达。
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