[28/11/23] 微分方程自救预备知识

  1. Wronskian 行列式

    对一个函数集合 A={f|fi(x),1in} ,定义一个函数矩阵 WA(x):=|f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x)f1(n2)(x)f2(n2)(x)fn(n2)(x)f1(n1)(x)f2(n1)(x)fn(n1)(x)| ,称为这 n 个函数的 Wronskian 行列式。

    1. 自然语言而言, WA(x) 的第 (i,j) 个元素(第 i 行第 j 列)就是 A 中第 j 个函数 fj(x)i1 阶导数。
    2. 从它的定义,这要求 A 中所有的函数均 n1 次连续可微。
    3. 如果存在 x0 使 W(x0)=0 ,则 W(x)0 。即 W(x) 或恒为零,或恒不为零
    4. A 中函数两两线性无关时有 W(x)0 ,当 W(x)0A 中存在线性相关的一些函数。(线性相关判据)
  2. Liouville 公式

    对一个 n 阶的齐次线性微分方程 i=0npi(x)y(ni)=0p0(x)0 ),记 A 为方程的基本解组,其中 pi(x) 为区间内的连续函数, W(x)AWronskian 行列式。则有 Liouville 公式 W(x)=W(x0)ex0xp1(ξ)dξ 成立。( p1(x)y(n1) 的系数)

    1. Liouville 公式应用的对象是齐次线性微分方程的基本解组的 Wronskian 行列式,对于一般的 Wronskian 行列式不恒成立。
    2. 公式表明了 W(x) (事实上用行列式写开了它是一个函数) 与给定初始值 x0W(x0) 的值间的关系。
    3. 公式说明在初值条件充分的时候对一个方程只需考虑函数 p1(x) 的性质。
    4. ex0xp1(ξ)dξ>0 可以很快知道 1.3. 的正确性。
  3. *Liouville​ 公式的证明

    前置知识:函数行列式求导法则

    对一个函数行列式 H(x)=|f11(x)f12(x)f1n(x)f11(x)f22(x)f2n(x)fn1(x)fn2(x)fnn(x)| ,恒有 H(x)=i=1n|f11(x)f12(x)f1n(x)fi1(x)fi2(x)fin(x)fn1(x)fn2(x)fnn(x)|

    ​ 求导法则的证明此处略过。

    W(x) 求导,则:

    W(x)=i=1n1|f1(x)f2(x)fn(x)f1(i)(x)f2(i)(x)fn(i)(x)f1(i)(x)f2(i)(x)fn(i)(x)f1(n1)(x)f2(n1)(x)fn(n1)(x)|+|f1(x)f2(x)fn(x)f1(n2)(x)f2(n2)(x)fn(n2)(x)f1(n)(x)f2(n)(x)fn(n)(x)|

    很明显对前半部分均存在两个相邻行相同,由行列式性质立得前半部分均为 0 ,即:

    W(x)=|f1(x)f2(x)fn(x)f1(n2)(x)f2(n2)(x)fn(n2)(x)f1(n)(x)f2(n)(x)fn(n)(x)|

    ​ 这里注意 W(x) 本身不包含 fi(n)(x) 的元素。

    另一方面,因为 fi(x) 均为方程 i=0npi(x)y(i)=0 的解,即 fi(n)(x)=k=1n1pk(x)fi(nk)(x) ,代入 W(x) 即得:

    W(x)=|f1(x)f2(x)fn(x)f1(n2)(x)f2(n2)(x)fn(n2)(x)k=1n1pk(x)f1(nk)(x)k=1n1pk(x)f2(nk)(x)k=1n1pk(x)fn(nk)(x)|

    当然由于行列式对特定一行(列)的可拆分性:

    W(x)=k=1n1|f1(x)f2(x)fn(x)f1(n2)(x)f2(n2)(x)fn(n2)(x)pk(x)f1(nk)(x)pk(x)f2(nk)(x)pk(x)fn(nk)(x)|

    仿照求导,容易发现上面求和的部分除了 k=1p1(x)fi(n1)(x) 外均有第 nk+1 行与最后一行成 pk(x) 的比例,即行列式的值均为零,则:

    W(x)=|f1(x)f2(x)fn(x)f1(n2)(x)f2(n2)(x)fn(n2)(x)p1(x)f1(n1)(x)p1(x)f2(n1)(x)p1(x)fn(n1)(x)|

    再应用行列式的分拆(或说提取 p1(x) ),即得:

    W(x)=p1(x)|f1(x)f2(x)fn(x)f1(n2)(x)f2(n2)(x)fn(n2)(x)f1(n1)(x)f2(n1)(x)fn(n1)(x)|=p1(x)W(x)

    此处得到了一个重要的结论:齐次线性微分方程的基本解组的 Wronskian 行列式dWdx=p1(x)W 。因为 W 是一个关于 x 的函数,可以通过分离变量的方法求出 W 关于 x 的简单关系,一通定积分(防止出现常数)操作下来有:

    W(x)=W(x0)ex0xp1(ξ)dξ

    此即 Liouville 公式。

  4. 二阶齐次线性微分方程的两个特解与一个通解间的关系

    y1(x) 为方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的一个非零解,则存在且必存在 y2(x)=y1(x)1y12(x)ep(x)dxdx 为原方程与 y1(x) 线性无关的另一个解,且 y=c1y1(x)+c2y2(x) 为原方程通解,其中 c1,c2 可全为零。

    ​ 对特解知一求一的证明:

    g(x)=y2(x)y1(x) (事实上为了推广一般化可以直接写作 g(x)=W(y2)W(y1) ,但此处仅讨论二阶),将 y2(x)=g(x)y1(x) 代入,有:

    g+(p+2y1y1)g=0 (此处变量均为函数)。

    g 适用降阶法解出:

    g(x)=1y12(x)ep(x)dxdx

    则:

    y2(x)=g(x)y1(x)=y1(x)1y12(x)ep(x)dxdx

    ​ 对通解的存在性(或说对基本解组的存在性)的正确性可由 Liouville 公式中 x0 的任意性给出,此处略过。

    ​ 对通解的结构证明:(有点像数论中 Bezout 定理的结构证明)

    ϕ(x) 为方程任一通解,取恰当的 x1 使关于 c1,c2 的二元一次方程组: {c1y1(x1)+c2y2(x1)=y(x1)c1y1(x1)+c2y2(x1)=y(x1) 有解 (c1,c2) ,则:

    1. Φ(x)=c1y1(x)+c2y2(x) 满足原微分方程。
    2. Φ(x1)=ϕ(x1)Φ(x1)=ϕ(x1) ,即 Φϕ 满足同一初值条件。
    3. 结合 1.2.Φ(x1)=ϕ(x1) 亦成立(虽然没有用)。

    此说明 Φ=ϕ 。(当然要更严谨的可以构造 h(x)=Φ(x)ϕ(x) 然后用极限什么乱七八糟的得出 h 敛于 0

    另一方面容易验证 ϕ(x)+λ1y1(x)+λ2y2(x) 也为方程的解,则得到通解结构的一般表达。

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