[28/11/23] 微积分学习笔记（查漏补缺ver）
水个博客。。。好久没上了xxx
下面是正文
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微积分学习过程中的乱七八糟的数学手册
1.致密性定理：任何有界数列必定有收敛的子列。
证明思路：由于对于一个任意给定的有界数列 \(\{a_n\}\) ，有唯一数列 \(\{b_n\}=\{-a_n\}\) 与之对应，则很容易想到只需证明存在单增（或单减，因为它们地位相同）子列，再由确界原理即证。而：1.由于无穷序列的可分部操作性，其单增子列存在等价于 \(\{a_n\}(n\geq N)\) 的单增子列存在；2.由于良序定理（这里承认选择公理），数列 \(\{a_n\}(n\geq N)\) 的有序排列 \(\{b_n\}\) （称此排序法则为 \(f\) ）必然包含于数列 \(\{a_n\}\) 的 \(f\) 有序排列 \(\{c_n\}\) 中（事实上只是挖去了 \(N-1\) 个数），且再由良序定理，对 \(\{d_n\}=\{d_i|d_i\in\{c_n\},d_i>\max\{\{c_n\}-\{b_n\}\}\}\) 施以 法则 \(f^{-1}\) 得到的 \(\{e_n\}\) 亦为原数列 \(\{a_n\}\) 的子列且亦可找到某对应的 \(N'\) 并再次递归进行 \(f\) 操作。
2.介值定理：对任意连续函数 \(f\) 和闭区间 \([a,b]\)，若 \(f(a)\not=f(b)\) ，则有 \([\max\{f(a),f(b)\},\min\{f(a),f(b)\}]\sub \{f([a,b])\}\) 成立。
证明思路：（为叙述方便令 \(f(a)<f(b)\) ）命题等价于对任意 \(f(a)<\mu<f(b)\) 存在某 \(\lambda\) （当然可能不止一个）满足 \(f(\lambda)=\mu\) 。这在几何意义上是显然的（因为你不得不从 \(f(a)\) 爬升到 \(f(b)\) 而避开中间的某个值，因为 \(f\) 为连续函数），而这种“显然”的原因其实是两端点确定一条线段。由此，取辅助函数 \(g(x)=f(x)-\mu\) ，此时 \(g(a)<0<g(b)\iff g(a)\cdot g(b)<0\) ，而由极限的局部保号性即证。
推论：事实上由于光滑函数的导数必连续，介值定理中的 \(f\) 常写作某光滑函数 \(F\) 的导函数形式，此时此定理成为导数介值定理，即达布定理。
注释：此定理的证明过程其实即是零点存在性定理的证明过程。
3.指数型复合函数的一般处理：\(\lim _ { x \to \Delta } f(x) ^ { g(x) } = \lim _ { x \to \Delta } e ^ { \ln f(x) \cdot g(x) }= e ^ { \lim _ { x \to \Delta } g(x) \cdot \ln f(x) } = e ^ { \lim _ { x \to \Delta } \frac { \ln f(x) } { \frac1{g(x)} } } = e ^ { \lim _{ x \to \Delta } \frac { f'(x) \cdot g ^ 2 (x) } { g'(x) \cdot f(x) } }\) 。
要求：1. \(\lim _ { x \to \Delta}f(x) = e ^ { \lim _ { x \to \Delta } \ln f(x) }\) 2. \(g(x) \cdot \ln f(x)\) 为 \(\infin \cdot 0\) 型未定式。2. \(\Delta\) 代表六种常见极限自变量趋向情况。
注释：要求2是为了使平凡极限存在且允许使用洛必达以简化运算。
4.在 \(x_0\) 处使用 \(Taylor\) \(series\) 证明（严格）不等式时出现交错级数的余项的处理。
原则1：若 \(x>x_0\) ， \(P((x-x_0)^n)\) 为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的 \(n\) 阶泰勒级数且 \(P((x-x_0)^n)\) 中 \((x-x_0)^n\) 的系数为正，则有 \(f(x)<P((x-x_0)^n)+o((x-x_0)^n)\) ；若 \((x-x_0)^n\) 系数为负则不等号反号。
原理： \(Taylor\) \(series\) 用多项式函数近似拟合原函数且存在余项 \(R_n(x)\) (也称为修正函数)，而交错级数的存在一方面使得我们难以界定 \(R_n(x)\) 的正负性，另一方面也说明了 \(f(x)\) 的 \(Taylor\) \(series\) 将在两侧振荡趋向实际的函数 \(f(x)\) 。
原则2：若 \(x<x_0\) ， \(P((x-x_0)^n)\) 为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的 \(n\) 阶泰勒级数且 \(P((x-x_0)^n)\) 中 \((x-x_0)^n\) 的系数为正，则：
1.若 \(n\) 为奇数， \(f(x)>P((x-x_0)^n)+o((x-x_0)^n)\) ；
2.若 \(n\) 为偶数， \(f(x)<P((x-x_0)^n)+o((x-x_0)^n)\) 。
当 \((x-x_0)^n\) 系数为负则不等号反号。
原理：同上。
注释：当 \(f(x)\) 关于点 \((x_0,f(x_0))\) 中心对称时可仅考虑一侧，特别的，若 \(x_0=0\) 则 \(g(x)=f(x)-f(0)\) 为奇函数，这表明其不等号方向仅与 \(x\) 正负性及交错级数正负号顺序有关。
注记：若给定了一个 \(Taylor\) 不等式 \(F(x),P(x)\) 关系，且 \(P\) 为 \(n\) 次多项式（即为 \(n\) 阶泰勒展开式），则此关系求导后将会得到等价于 \(F(x),P'(x)\) 的不等式关系，其中 \(P'(x)\) 为 \(n-1\) 阶泰勒展开式（因为并非每个函数都有连续的泰勒级数）。
5.连续函数奇偶唯一分解定理：对任意连续函数 \(f(x)\) 存在唯一分解 \(g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}2,h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2\) 使得 \(f(x)=g(x)+h(x)\) 且 \(g(x)\) 为奇函数， \(h(x)\) 为偶函数。
证明思路：存在性不难验证，唯一性也容易通过反证法得到。
用途：相当于分部积分法，可在积分时进行简化操作。
6.\(Jensen\) 不等式：若 \(f(x)\) 为 \(D\) 上的下凸函数（由于各版本教材对凹凸性的叙述紊乱，下以二阶导为负作上凸，二阶导为正作下凸），则对任意的有限数列 \(\{a_n\}\sub D\) 及 \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1\) 有 \(f(\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i)\leq\sum_{i=1}^n\lambda_if(a_i)\) ，若为上凸函数则不等号反号。
证明思路：对函数凹凸性定义施以数学归纳法即证。
用途：可用以证明一般（加权）情况的均值不等式，特别的，取 \(\lambda_i\equiv \frac1n\) 即为狭义均值不等式。
注释：若为严格上（下）凸函数则严格不等式成立。
*7.\(Weierstrass\) 聚点定理：实轴上的任一有界无限点集至少存在一个聚点。
证明思路：取点集中一列两两不同的无限点列映射（这显然是一一映射）于数列，由致密性定理（见1.）可推知其存在一子列收敛于某 \(x_0\) ，则由柯西判敛准则和聚点定义易知 \(x_0\) 即为此点集的一个聚点。
注释：容易看出聚点定理其实是致密性定理的一维形式。
*8.\(Heine-Borel\) 有限开覆盖定理：对某闭区间 \(D\) ，可从其任意开覆盖中取出有限个区间 \(D_i\) 成为 \(D\) 的开覆盖。
证明思路：显而易见反证法，且同样适用无穷序列的可分部操作性。当然由于需要用到我不想写的区间套定理，此处不予证明。
*9.实数完备性六基本定理的等价性和互相转化。
10.实数域上的多项式标准因式分解：任意次数不为零的实系数多项式均可唯一写作某些一次实系数因式及某些二次不可约因式的乘积。
注释：关联代数学基本定理，若将实数域拓展到复数域则结论改写为唯一写作某些一次复系数因式乘积；称某多项式可约即其可被分解为两个更低次数的实系数多项式。
11.对微分算子 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\) 的理解。
事实上微分算子属于一种函数法则，它的输入为某个给定函数 \(F\) ，输出为唯一对应的求微分运算后的 \(f\) 。（类比于求正弦记号 \(\sin\) ，对于任意输入的给定的数 \(x\) ，经过正弦操作后有唯一的 \(\sin x\) 与之对应，只是对三角函数参数为实数，返回值也是实数，而对微分算子来说的参数是一个函数，结果也将返回一个函数。）
\(\mathrm dA\) 的意义是 \(A\) 的变化量（其中 \(A\) 只是一个记号，它可以是 \(x\) ， \(y\) ， \(f(x)\) 或任意其他的函数。同时， \(A\) 应当随着某基本量的改变而连续改变，我们只讨论当基本量变化很小一段距离的时候 \(A\) 的变化量，很显然它将是一个无穷小量），所以它应具有初值。
考虑一个函数关系 \(f:y=f(x)\) 。很显然 \(\mathrm dy\) 并不能独立存在，一方面因为它根据 \(x\) 与函数关系 \(f\) 而定义；另一方面也因为它的值，即 \(y-y_0\) 根据 \(y_0\) 的不同而可能会产生变化（比如对于反比例函数来说更接近原点的同样区间长度的端点值差距通常会更大），而 \(y_0\) 又依赖于 \(x_0\) 即 \(x\) 的初值，所以只需知道：1.函数关系 \(f\) 。2.自变量初值 \(x_0\)。即可确定某个 \(\mathrm dy\) 。类似地可确定 \(\mathrm dx\) ，只需作一个一一映射 \(g:x=x\) 考虑即可。（也可称 \(g\) 中的某个 \(x\) 为基本量）
此时我们拥有了 \(\mathrm dx\) 和 \(\mathrm dy\) ，而很明显 \(\mathrm dy\) 与 \(\mathrm dx\) 间具有某种函数关系 \(f'\) ，并且通过导数的定义应知道它们的关系是线性的（因为导数的定义即是此处的 \(\lim\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) ），则可以记作 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y'_x\) （此处的 \(y'_x\) 同样只依赖 \(x\) ），移项得 \(\mathrm dy=y'_x\mathrm dx\) 。那么这个式子即是函数关系 \(f'\) 的解析式。从推导过程中不难看出函数关系 \(f\) 与函数关系 \(f'\) 相关，若称它们间的函数关系为 \(h'\) ，则不难看出此关系 \(h'\) 即是微分。
对符号的优化：既然函数 \(g:x=x\) 是一个固定的函数关系，那么 \(h':\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) 中仅有 \(y\) 是不确定的（因为并不知道 \(f\) ）。此时把 \(y\) 拆到式子外，得到的 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\) 即是微分算子。
11.5.多元函数全微分与偏导数的关系。
定义1： \(n\) 元函数 \(F(a_1,a_2,\dots ,a_n)\) 的全微分为 \(\mathrm dF=\sum A_i\cdot\mathrm d a_i\) 。
定义2： \(F\) 关于 \(a_k\) 的偏导数为 \(\frac{\partial F}{\partial a_k}=\lim_{\Delta a_k\to0}\frac{F(a_1,a_2,\dots,a_{k-1},a_k+\Delta a_k,a_{k+1},\dots,a_n)}{\Delta a_k}\) 。
定义3： \(F\) 的全增量 \(\Delta F=F(a_1+\Delta a_1,a_2+\Delta a_2,\dots,a_n+\Delta a_n)-F(a_1,a_2,\dots,a_n)\) 。
*推论：当 \(\forall\Delta a_i\to 0\) 时 \(\Delta F=\mathrm dF\) 。
推导：以二元函数 \(F(a_1,a_2)\) 为例，试求 \(\Delta F=F(a_1+\Delta a_1,a_2+\Delta a_2)-F(a_1,a_2)\) 。应用调整法希望能写作若干个仅变换一个自变量的函数差的子式的和，故整理可得：（为排版美观令 \(b_i=a_i+\Delta a_i\) ）
\(2\Delta F=[F(b_1,b_2)-F(a_1,b_2)]+[F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)]+[F(a_1,b_2)-F(a_1,a_2)]+[F(b_1,a_2)-F(a_1,a_2)]\)
\(=[F(b_1,b_2)-F(a_1,b_2)]+[F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)]+(\frac{\partial F}{\partial a_1}\mathrm da_1+\frac{\partial F}{\partial a_2}\mathrm da_2)\)
而又因为偏导数仅对某特定变量求微分（其他变量可视为无关变量），则 \(\lim_{b_2\to a_2}F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)=\frac{\partial F}{\partial a_2}\) 。
所以 \(\mathrm {RHS}=(\frac{\partial F}{\partial a_1}\mathrm da_1+\frac{\partial F}{\partial a_2}\mathrm da_2)+(\frac{\partial F}{\partial a_1}\mathrm da_1+\frac{\partial F}{\partial a_2}\mathrm da_2)=2(\frac{\partial F}{\partial a_1}\mathrm da_1+\frac{\partial F}{\partial a_2}\mathrm da_2)\) ，即 \(\Delta F=\frac{\partial F}{\partial a_1}\mathrm da_1+\frac{\partial F}{\partial a_2}\mathrm da_2\) 。
而结合推论立得二元函数全微分：\(\mathrm dF=\frac{\partial F}{\partial a_1}\mathrm da_1+\frac{\partial F}{\partial a_2}\mathrm da_2\) 。
对三元以上多元函数全微分的推广：将 \(n\) 元函数 \(F(a_1,a_2,\dots ,a_n)\) 视作 \(n-1\) 元函数 \(F((a_1,a_2),(a_3,\dots ,a_n))\) （其中 \((a_1,a_2)\) 及 \((a_3,\dots,a_n)\) 均视为一个数对类型的自变量），施以上述推导分治最终得 \(N\) 元函数全微分：\(\mathrm dF=\sum_i\frac{\partial F}{\partial a_i}\mathrm da_i\) 。
注释：此法可从不知道全微分公式的时候推出其，而若已知公式则可以通过令其余变量变化值均为 \(0\) 而验证偏导数与全微分的关系。
12.隐式方程所确定的二元关系的二阶导数。（记此隐式方程为 \(G(x,y)=0\) ）
全微分法：由 \({\mathrm d}F=\frac{\partial F}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial F}{\partial y}\mathrm dy\) 代入 \(F=-\frac{G'_x}{G'_y}\) 并同除 \(\mathrm dx\) 即有 \(\frac{\mathrm d(-\frac{G'_x}{G'_y})}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{\partial (-\frac{G'_x}{G'_y})}{\partial x}+\frac{\partial (-\frac{G'_x}{G'_y})}{\partial y}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) ，整理得 \(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{\partial (-\frac{G'_x}{G'_y})}{\partial x}+\frac{\partial (-\frac{G'_x}{G'_y})}{\partial y}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{G''_{xx}G'_y-G'_xG''_{yx}}{(G'_y)^2}-\frac{G''_{xy}G'_y-G'_xG''_{yy}}{(G'_y)^2}\cdot(-\frac{G'_x}{G'_y})=\frac{G''_{xy}G'_yG'_x-G''_{yy}(G'_x)^2-G''_{xx}(G'_y)^2+G'_xG''_{yx}G'_y}{(G'_y)^3}\) ，再由于 \(G\) 具有连续偏导数，\(G''_{xy}=G''_{yx}\) ，即有 \(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=-\frac{G''_{yy}(G'_x)^2-2G''_{xy}G'_yG'_x+G''_{xx}(G'_y)^2}{(G'_y)^3}\) 。
注释：隐函数并不一定是函数意义上的映射，例如圆方程中的一个 \(x\) 可对应至多两个 \(y\) ，但仍可记作 \(y=f(x)\) 是由于我们仅在所有满足方程的数对 \((x,y)\) 的邻域内讨论偏导数，如对单位圆方程 \(x^2+y^2=1\) 来说取 \((x,y)=(10000,-1)\) 是毫无意义的。而导数中含有自身亦是被允许的，因为即使是某些显函数也能写作含有自身的形式，如最典型的指数函数 \(y=e^x\) 的导数可以写作 \(y'=y\) 。
13.平面曲线方程的密切圆半径（即曲率半径公式的推导过程）。
约定：记此曲线方程为 \(F\) ，其确定的隐函数记作 \(y=f(x)\)。
\(Solve\ by\ LJH\) （折腾我一下午）：根据 \(Cauchy\) 对密切圆的等价定义求解。对某点 \(P(x_0,y_0)\) ，我们希望找到两个无限接近 \(P\) 的点 \(P_1(x_1,y_1)\) 与 \(P_2(x_2,y_2)\) 求出法线方程联立得到密切圆圆心的坐标。
对 \(P_1\) ：切线方程为 \(l_1:y=-\frac1{f'(x_1)}(x-x_1)+f(x_1)\) 。
对 \(P_2\) ：切线方程为 \(l_2:y=-\frac1{f'(x_2)}(x-x_2)+f(x_2)\) 。
以 \(x\) 为主元联立得： \(x=\frac{f'(x_1)\cdot f'(x_2)\cdot (f(x_2)-f(x_1))+f'(x_1)\cdot x_2-f'(x_2)\cdot x_1}{f'(x_1)-f'(x_2)}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{f'(x_1)-f'(x_2)}\cdot f'(x_1)\cdot f'(x_2)+\frac{f'(x_1)\cdot x_2-f'(x_2)\cdot x_1}{f'(x_1)-f'(x_2)}\)
\(=-\frac{f'(\xi_1)}{f''(\xi_1)}\cdot f'(x_1)\cdot f'(x_2)+\frac{f'(x_1)\cdot x_2-f'(x_2)\cdot x_2}{f'(x_1)-f'(x_2)}+\frac{f'(x_2)\cdot x_2-f'(x_1)\cdot x_1}{f'(x_1)-f'(x_2)}+\frac{f'(x_1)\cdot x_1-f'(x_2)\cdot x_1}{f'(x_1)-f'(x_2)}\) （使用 \(Cauchy\) 中值定理，并作拆项处理）
\(=-\frac{f'(\xi_1)}{f''(\xi_1)}\cdot f'(x_1)\cdot f'(x_2)+x_2\cdot f'(x_1)\cdot f'(x_2)+\frac{f'(x_2)\cdot x_2-f'(x_1)\cdot x_1}{f'(x_1)-f'(x_2)}+x_1\)
\(=-\frac{f'(\xi_1)}{f''(\xi_1)}\cdot f'(x_1)\cdot f'(x_2)+x_1+x_2-\frac{f''(\xi_2)\cdot\xi_2+f'(\xi_2)}{f''(\xi_2)}\) （同样使用 \(Cauchy\) 中值定理）
\(=-\frac{f'(\xi_1)}{f''(\xi_1)}\cdot f'(x_1)\cdot f'(x_2)+x_1+x_2-\xi_2-\frac{f'(\xi_2)}{f''(\xi_2)}\)
在 \(\lim_{P_1,P_2\to P}\) 的情形下 \(x=-\frac{(f'(x_0))^3}{f''(x_0)}+x_0+x_0-x_0-\frac{f'(x_0)}{f''(x_0)}=-\frac{f'(x_0)\cdot((f'(x_0))^2+1)}{f''(x_0)}+x_0\) 。放着先不动。
同样的，以 \(y\) 为主元联立得 \(y=\frac{f'(x_1)\cdot f(x_1)+x_1-f'(x_2)\cdot f(x_2)-x_2}{f'(x_1)-f'(x_2)}=\frac{f'(x_1)\cdot f(x_1)-f'(x_2)\cdot f(x_2)}{f'(x_1)-f'(x_2)}+\frac{x_1-x_2}{f'(x_1)-f'(x_2)}\)
\(=\frac1{f''(\xi_3)}+\frac{f''(\xi_4)\cdot f(\xi_4)+(f'(\xi_4))^2}{f''(\xi_4)}=\frac1{f''(\xi_3)}+\frac{(f'(\xi_4))^2}{f''(\xi_4)}+f(\xi_4)\) （继续 \(Cauchy\) 中值）
在 \(\lim_{P_1,P_2\to P}\) 的情形下 \(y=\frac1{f''(x_0)}+\frac{(f'(x_0))^2}{f''(x_0)}+f(x_0)\) 。
此时我们已经求出了圆心 \(C\) 的坐标 \((x,y)\) ，则 \(r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=\sqrt{(\frac{f'(x_0)\cdot((f'(x_0))^2+1)}{f''(x_0)})^2+(\frac{(f'(x_0))^2}{f''(x_0)})^2}\)
稍做处理有 \(r=|\frac{(1+(f'(x_0))^2)^\frac32}{f''(x_0)}|\) ，化作一般式即是 \(r=|\frac{(1+(f'(x))^2)^\frac32}{f''(x)}|\) ，此即曲率半径函数。
注记：再施以隐函数导数定理即有任意连续平面直角坐标系曲线方程的曲率方程，对联立式变换主元主要是为了避免取极限时的操作混乱。
\(Solve\ Ex\) （这个真的很厉害）：我们试图用圆（此处记作 \(G:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) ，其确定的隐函数记作 \(y=g(x)\) ）来拟合某个方程（若是用直线拟合即为切线，用多项式拟合即为 \(Taylor\) ），则类比其他拟合方式且再结合：1.圆所确定的隐函数仅存在二阶导；2.圆的方程仅有三个参数。这二基本事实，在曲线上某点只需使：1. $$f^{(i)}(x)\equiv g^{(i)}(x)$$ \((i=0,1,2)\) ；2. \(g^{(i)}(x)\) \((i=0,1,2)\) 满足 \(i\) 阶微分方程。即可确定唯一的三元组 \((a,b,r)\) 作为其在此处的密切圆拟合参量，事实上 \((a,b)\) 即为密切圆圆心， \(r\) 即为曲率半径。
对 \(g(x)\) ： \((x-a)^2+(g(x)-b)^2=r^2\) 。
对 \(g'(x)\) ： \(x-a+(g(x)-b)g'(x)=0\) 。
对 \(g''(x)\) ： \(1+[g'(x)]^2+g''(x)(g(x)-b)=0\) 。
联立此三式解得 \(r=\frac{(1+[g'(x)]^2)^{\frac32}}{g''(x)}\) ， \((a,b)=(x-\frac{1+[g'(x)]^2}{g''(x)}\cdot g'(x),g(x)+\frac{1+[g'(x)]^2}{g''(x)})\) ，再由于拟合的基本要求 \(f^{(i)}(x)\equiv g^{(i)}(x)\) ，即知替换 \(g\) 为 \(f\) 后的结果 \(r=\frac{(1+[f'(x)]^2)^{\frac32}}{f''(x)}\) ，\((a,b)=(x-\frac{1+[f'(x)]^2}{f''(x)}\cdot f'(x),f(x)+\frac{1+[f'(x)]^2}{f''(x)})\) 即为所求的曲率半径和圆心坐标。
（推导思路来源：知乎用户：Big Dream）
注释：事实上使用到导数多项式来作逼近的均是用直线拟合原函数（泰勒等），而密切圆则是用圆拟合原函数。但不难看出密切圆同样可从微分方程组（即导数）中推出，且其形式上也含有导数，故其其实揭示了圆与直线的统一性。
14.通过三角函数系的正交性质推导 \(Fourier\) 级数。
正交性：注意到对于任意的两个不同的整频率系数三角函数（如 \(\cos nx,\sin nx,\cos mx,\sin mx\) ）而言，由和差化积公式，其积必可写作两个整频率三角函数的线性组合，而再由于积分运算的线性可拆性和整频率三角函数在整倍数周期上积分为 \(0\) ，所以结合以下事实：
1.对于任意某项整频率三角函数，可以通过乘上与之不同的一个整频率三角函数来使其在 \([-\pi,\pi]\) 乃至 \(\R\) 上的积分为 \(0\) 。
2.对于任意某项整频率三角函数，它区别于任意其他项。
3.对于任意某项整频率三角函数，它乘上自身（即平方运算）后在 \([-\pi,\pi]\) 上的积分**不为 \(0\) **。
此说明了对于任意一个周期函数 \(F\) 对其求 \(Fourier\) 级数（ \(F\sim \sum_{i=0}^{+\infin}(a_i\cos ix+b_i\sin ix)\) ）的可行性，并给出了一种使用待定系数法求 \(Fourier\) 系数的方法（借助积分运算和正交性，此也说明了为什么会出现积分符号）：
对 \(a_i\) ： \(F\sim \sum_{i=0}^{+\infin}(a_i\cos ix+b_i\sin ix)\) 两边同乘 \(\cos ix\) 后两边仅剩余 \(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot\cos ix\mathrm dx=\pi\cdot a_i\) 。
对 \(b_i\) ： \(F\sim \sum_{i=0}^{+\infin}(a_i\cos ix+b_i\sin ix)\) 两边同乘 \(\sin ix\) 后两边仅剩余 \(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot\sin ix\mathrm dx=\pi\cdot a_i\) 。
注记：一方面三角函数具有周期性，另一方面三角函数也具有奇偶性。所以用三角函数无穷级数取拟合某一函数（不论是否周期）还有另一个好处即可应用奇偶唯一分解定理来求出其系数。
15.函数一致连续性的判定和相关定理。
判定：若定义在 \((a,b)\) 上的 \(f(x)\) 满足对任意 \(\varepsilon>0\) ，存在 \(\delta=\delta(\varepsilon)>0\) 使 \(|f(x_0+\delta)-f(x_0)|<\varepsilon\) 对任意的 \(x_0\in(a,b)\) 恒成立，则称 \(f\) 在 \((a,b)\) 上一致连续。
直观的说，对于给定的不论多么小的正数，若只要一个闭区间的长度足够小就能够说明其端点对应的函数值之差的绝对值小于它，则称此函数一致连续。
判定实例：如 \(f(x)=ax+b\) ，取 \(\delta=\frac\varepsilon{|a|}\) ，则由定义即证其一致连续；而对于 \(f(x)=\frac1x\) 施以反证法，找出某 \(\varepsilon_0\) 使不成立，但要注意仅可找 \(x_0=g(\delta)\) 而不能取 \(\varepsilon_0=h(\delta)\) ，因为由判定 \(\delta=\delta(\varepsilon)\) 不可写作 \(\varepsilon=\varepsilon(\delta)\) 。（注意区分其与反函数的区别）
当然它也可以改写作 \(Cauchy\) 准则形式。
与连续概念的区分：当一个函数连续时 \(\delta\) 依赖于 \(x\) （ \(\delta=\delta(\varepsilon,x)\) ），而当一致连续时 \(\delta\) 不再依赖于 \(x\) （ \(\delta=\delta(\varepsilon)\) ）。
定理1：若一个函数在闭区间上连续，则它在此区间上一致连续（事实上即规定了函数在区间上有平凡上界和平凡下界）。
*\(Lipschitz\) 连续：若存在常数 \(K\) 使得 \(|f(a)-f(b)|\leq K|a-b|\) 对任意的 \(a,b\in D\) 成立，则称这样的最小的 \(K\) 为 \(Lipschitz\) 常数，这样的 \(f\) 在 \(D\) 上 \(Lipschitz\) 连续。
定理2：若一个函数满足 \(Lipschitz\) 连续条件，那么它也一致连续。
定理3：若 \(f\) 满足 \(Lipschitz\) 连续条件，\(y(t)\) 有界，则微分方程初值问题 \(y'(t)=f(t,y'(t))\) 有唯一解。
16.函数项级数一致收敛性的判定与相关定理。
判定：若 \(\{u_n(x)\}\) 为一个函数项级数， \(S_n(x)=\sum_{i=1}^nu_n(x)\) 为此函数项级数的前缀和（部分和），并记 \(S(x)=\lim_{n\to+\infin}S_n(x)\) 为此函数项级数的和函数。
注记：事实上用任何一种级数展开方法拟合某一函数（不论是 \(Taylor\) 或者 \(Fourier\) 或者 \(Pad\acute e\) 或者任何其他的什么东西） \(f=\sum s\) ，即有 \(s\) 为函数项， \(f\) 为和函数。所以一致收敛的级数将会具有以下一些非常好的性质：
··挖坑··
17.有理分式的不定积分处理。
对一个形如 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的有理分式（ \(P(x)=\sum_{i=0}^nA_ix^i\) ， \(Q(x)=\sum_{i=0}^m B_ix^i\) ）做不定积分，不妨 \(P(x)\) 与 \(Q(x)\) 均为首一多项式，即最高次数的系数均为 \(1\) （否则提取常数 \(C=\frac{A_n}{B_m}\) ）。
另外，若 \(m\leq n\) 则可使用多项式除法分离出一个多项式 \(R(x)=\frac{P(x)-r(x)}{Q(x)}\) （此处 \(P(x)\equiv r(x)\mod Q(x)\) ）而使我们对 \(\frac{r(x)}{Q(x)}\) 研究，故下列叙述默认 \(n<m\) 。
由代数学基本定理（多项式唯一分解定理）可知，任意多项式 \(P(x)\) 在 \(\R\) 上均可唯一分解作某些一次因式和某些判别式 \(\Delta<0\) 的二次因式，则将分母 \(Q(x)\) 改写为 \(Q(x)=\prod_{i=1}^{k_1}(x-a_i)\cdot\prod_{i=1}^{k_2}(x^2-p_ix+q_i)\) ，其中 \(k_1+2k_2=m\) 。那么现在只需要把原分式改写为 \(k_1+k_2\) 个有理分式之和，其中第 \(i\) 个的分母对应 \(Q(x)\) 唯一改写后的第 \(i\) 个因式，由积分的加和法则即将问题变为对这些因式求积。因此，它同时给出了有理分式必有初等积分的判断。
改写为分式和的方法：
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18.\(Green\) 公式的简证。
\(Green\) 公式：\(\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm dx\mathrm dy=\oint_{\partial D^+}P\mathrm dx+Q\mathrm dy\) 。它说明了函数在区域边界上作环路积分和其在区域内作二重积分的关系。
先来考虑很特殊的一部分图形 \(D\) ，它们具有边界点，即对于 \(D\) 所确定的点集，存在唯一 \(A(x_a,y_a),B(x_b,y_b),C(x_c,y_c),E(x_e,y_e)\) ，使得 \(x_a=\min\{x\},x_b=\max\{x\},y_c=\min\{y\},y_e=\max\{y\}\) ，从图像上就是存在唯一的最下点，最上点，最左点和最右点。
此时，为了便于理解，不妨设 \(D\) 为一个凸几何图形，则此时 \(\partial D^+\) 可被 \(AB\) 或 \(CD\) 唯一划分为 \(\partial D^+_下\) 和 \(\partial D^+_上\) 或 \(\partial D^+_左\) 和 \(\partial D^+_右\) ，且很容易知道对某条曲线 \(\partial D^+_X\) 它对应的函数映射 \(f:y\to x\) 或 \(f:x\to y\) 是一个单射。此时必能将其改写作一个函数关系。
以 \(AB\) 分割为例，则 \(D=\{(x,y)|x_a<x<x_b,f_1(x)<y<f_2(x)\}\) ，
\(\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm dx\mathrm dy=\int_{x_a}^{x_b}\mathrm dx\int_{f_1(x)}^{f_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm dy\) （重积分化成累次积分） \(=\int_{x_a}^{x_b}\mathrm dx[P(x,f_2(x))-P(x,(f_1(x)))]\) （应用牛顿莱布尼茨公式，其中 \(\frac{\partial P}{\partial y}\) 对 \(y\) 求原函数即为 \(P+C\) ） \(=-\int_{x_a}^{x_b}P(x,f_1(x))\mathrm dx-\int_{x_b}^{x_a}P(x,f_2(x))\mathrm dx=-\oint_{\partial D^+_下}P\mathrm dx-\oint_{\partial D^+_上}P\mathrm dx\) （由环路积分的意义为沿路径积分） \(=-\oint_{\partial D^+}P\mathrm dx\) 。
对于 \(\oint_{\partial D^+}Q\mathrm dy\) 可由 \(CD\) 分割 \(\partial D^+\) 得出，二式相加即得对此类 \(D\) 的 \(Green\) 公式成立。
对不属于此类的区域 \(D\) ：注意到 \(\oint_{\partial D^+}L\mathrm dx=-\oint_{\partial D^-}L\mathrm dx\) ，这说明对两个具有相同边界的相邻区域 \(D_1\) 和 \(D_2\) ，如果它们分别满足于 \(Green\) 公式，那么它们的并依旧满足。此性质启发我们如果可以把任意一个 \(D\) 分割为若干的已经讨论过的满足于 \(Green\) 公式的 \(D_i\) 的并，那么此时这个 \(D\) 自动地得证。而分割的选取也很简单，对这样的 \(D\) 作无限密集的平行线分割，可以说明分割出的这些 \(D_i\) 必然符合上面凸几何图形和唯一边界点的要求，即 \(Green\) 公式对任意的平面区域 \(D\) 成立，得证。
事实上它的几何意义一方面也是十分明显的，因为它的核心仍然是上述区域可拼接的性质。这让我们可以取得 \(\lim D\to0\) ，即用内部某一个小微分矩形的边界近似掉面积（因为面积虽然是 \(\R^2\) 但在微分意义下和 \(\R\) 仅相差一个无穷小 \(\R\) 的遍历），然后巧妙地通过边界的拼接抵消得到一个比较大的区域 \(D\) 的边界环路积分与其内部的二重积分的关系。
但另一方面，二重积分的几何意义亦可以作某个二元函数在 \(\R^3\) 坐标系下函数面的面积与边界与 \(z=0\) 围成的几何体的体积，环路积分亦可以作在路径上的加权弧长，在此即是二重积分确定的几何体的侧面积（此处的二元函数和前处不一定相同）。那么由此可见 \(Green\) 公式同样给出了如果一个竖直平底几何体侧面面积与另外一个竖直平底几何体体积相同，它们上底函数面的构造。当然这个作为 \(Green\) 公式的几何意义将变得十分不明显，但我们需要知道它确实可以这样理解。
