[12/07/20] 图论学习笔记-二部图

二部图常规操作:抽象出两个有关系 p 的对象(集) X,Y ,使 X+Y 为二部图,以关系 p 连边,算两次,找不等式,柯西.

1.有 d(Xi)=d(Yi).

2.若有 K2,1 关系则称之为一个张角.假定其中 1 所代表的点为 uX, 2 所代表的点分别为 v,wY,则称 u 所张的角对应无序点对 (v,w).记 e(u) 为 u 所张出的所有角,显然有 e(u)=Cd(u)2.容易验证有 i=1|X|e(Xi)C|Y|2r当且仅当其为完全二部图时取等,其中 rY 中某一无序点对 (v,w) 所允许的张角的最大个数.(注意这也是一个二部图处理的常规操作)

(一般语言即 X 集合中所有点所张的角的数量之和不大于 Y 集合中所有无序点对数量乘上其所能对的顶点的最大值 )

3.完全二部图等价于偶图等价于无奇环图

4.证明 Turan 定理的著名形式:无 K3 图边数至多 n24.通常取最大度点 v (注意这也是一个二部图处理的常规操作),d(v) 所指的 d(v) 个点构成集合 Y,剩余 nd(v) 个点与 v 构成集合 X,则 Y 集合内部无边,X 中每个点度数至多为 k,且显然内部连边会算两次,没有向对面连边更优, 故 en(nk)n24.

5.Turan 定理的一般形式:对于 n=mk+r,0r<mn 阶图,若其中无 Km+1,则 |E(G)|em(n),其中em(n)Kk,k,k,...,k+1 的边数.(共 rk+1mrk).

*em(n)=Cn2rCk+12(mr)Ck2=Cnk2+(m1)Ck+12

*1.易得完全 m 部图满足条件.

*2.易得完全 A 部图必不包含完全 A+1 部图.

*3.易得若某解在 B 部图时取得且 B>m,则此图必可以同构成某个 m 部图.(因为图中无 Km+1,撑死了也就可能出现 Km,为完全 m 部图条件)

*4.易得若能够分成 A 部图则必然能分成 A+1 部图.(此说明若某解在 C 部图取得且 C<m,则必可以同构成 m 部图)

*5.调整:若 n1n22,必有 Cn12+Cn22Cn112+Cn2+12,反复调整使结果达到最小,此时各部点数差不超过1.(因为此处是容斥需要减掉的部分)

*6.综上,最值必然在完全 m 几乎等部图中取得(即各部点数差不超过1时的完全 m 部图)

6.证明若图 G(n,m) 中不含 K2,r+1,有 mn41+4r(n1)+1 恒成立(结论)

*1.根据角的数量算两次,有CXi2rCn2Xi2Xirn(n1).

*2.柯西,有(Xi)2nXi2rn(n1)+Xi(2m)2n[rn(n1)+2m].

*3.解方程得命题成立,应用范围:能抽象出无 K2,s 限制,如例三中的"无两互异点到三已知点距离相等,无 K2,3",例四中的"两组平行线至多交四个点,无 K2,5".

7.分类,处理“取值个数满足某种条件”等题型时通常假定某个参数已知.

*1.适用条件:不论连边关系 p 取何值,所建的图性质相同.

*2.以例三为例,不论距离取何值所建图性质均相等(地位平等,此包括最大可能边数等性质),则只需考虑其中一种情况,用总边数除以最大可能边数即为最小取值个数.而例四较之例三更弱,询问的仅仅是某种情况下的性质(即例三中的"最大可能边数").也就是说例四可以求出面积取值个数范围(即例三中的"取值个数").

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