[12/07/20] 图论学习笔记-二部图
二部图常规操作:抽象出两个有关系 的对象(集) ,使 为二部图,以关系 连边,算两次,找不等式,柯西.
1.有 .
2.若有 关系则称之为一个张角.假定其中 所代表的点为 , 所代表的点分别为 ,则称 所张的角对应无序点对 .记 为 u 所张出的所有角,显然有 .容易验证有 当且仅当其为完全二部图时取等,其中 为 中某一无序点对 所允许的张角的最大个数.(注意这也是一个二部图处理的常规操作)
(一般语言即 集合中所有点所张的角的数量之和不大于 集合中所有无序点对数量乘上其所能对的顶点的最大值 )
3.完全二部图等价于偶图等价于无奇环图
4.证明 定理的著名形式:无 图边数至多 .通常取最大度点 (注意这也是一个二部图处理的常规操作), 所指的 个点构成集合 ,剩余 个点与 构成集合 ,则 集合内部无边, 中每个点度数至多为 ,且显然内部连边会算两次,没有向对面连边更优, 故 .
5. 定理的一般形式:对于 的 阶图,若其中无 ,则 ,其中 为 的边数.(共 个 及 个 ).
*
*1.易得完全 部图满足条件.
*2.易得完全 部图必不包含完全 部图.
*3.易得若某解在 部图时取得且 ,则此图必可以同构成某个 部图.(因为图中无 ,撑死了也就可能出现 ,为完全 部图条件)
*4.易得若能够分成 部图则必然能分成 部图.(此说明若某解在 部图取得且 ,则必可以同构成 部图)
*5.调整:若 ,必有 ,反复调整使结果达到最小,此时各部点数差不超过1.(因为此处是容斥需要减掉的部分)
*6.综上,最值必然在完全 几乎等部图中取得(即各部点数差不超过1时的完全 部图)
6.证明若图 中不含 ,有 恒成立(结论)
*1.根据角的数量算两次,有.
*2.柯西,有.
*3.解方程得命题成立,应用范围:能抽象出无 限制,如例三中的"无两互异点到三已知点距离相等,无 ",例四中的"两组平行线至多交四个点,无 ".
7.分类,处理“取值个数满足某种条件”等题型时通常假定某个参数已知.
*1.适用条件:不论连边关系 取何值,所建的图性质相同.
*2.以例三为例,不论距离取何值所建图性质均相等(地位平等,此包括最大可能边数等性质),则只需考虑其中一种情况,用总边数除以最大可能边数即为最小取值个数.而例四较之例三更弱,询问的仅仅是某种情况下的性质(即例三中的"最大可能边数").也就是说例四可以求出面积取值个数范围(即例三中的"取值个数").
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