[12/07/20] 图论学习笔记-二部图

二部图常规操作:抽象出两个有关系 \(p\) 的对象(集) \(X,Y\) ,使 \(X+Y\) 为二部图,以关系 \(p\) 连边,算两次,找不等式，柯西.

1.有 \(\sum d(X_i)=\sum d(Y_i)\).

2.若有 \(K_{2,1}\) 关系则称之为一个张角.假定其中 \(1\) 所代表的点为 \(u\in X\), \(2\) 所代表的点分别为 \(v,w\in Y\),则称 \(u\) 所张的角对应无序点对 \((v,w)\).记 \(e(u)\) 为 u 所张出的所有角,显然有 \(e(u)=C^2_{d(u)}\).容易验证有 \(\sum_{i=1}^{|X|}e(X_i)\leq C^{2}_{|Y|}*r\)当且仅当其为完全二部图时取等,其中 \(r\) 为 \(Y\) 中某一无序点对 \((v,w)\) 所允许的张角的最大个数.(注意这也是一个二部图处理的常规操作)

(一般语言即 \(X\) 集合中所有点所张的角的数量之和不大于 \(Y\) 集合中所有无序点对数量乘上其所能对的顶点的最大值 )

3.完全二部图等价于偶图等价于无奇环图

4.证明 \(Turan\) 定理的著名形式:无 \(K_3\) 图边数至多 \(\lfloor\frac{n^2}4\rfloor\).通常取最大度点 \(v\) (注意这也是一个二部图处理的常规操作),\(d{(v)}\) 所指的 \(d(v)\) 个点构成集合 \(Y\),剩余 \(n-d(v)\) 个点与 \(v\) 构成集合 \(X\),则 \(Y\) 集合内部无边,\(X\) 中每个点度数至多为 \(k\),且显然内部连边会算两次,没有向对面连边更优, 故 \(e\leq n(n-k)\leq\lfloor\frac{n^2}4\rfloor\).

5.\(Turan\) 定理的一般形式:对于 $n=mk+r,0\leq r<m $ 的 \(n\) 阶图,若其中无 \(K_{m+1}\),则 \(|E(G)|\leq e_m(n)\),其中\(e_m(n)\) 为 \(K_{k,k,k,...,k+1}\) 的边数.(共 \(r\) 个 \(k+1\) 及 \(m-r\) 个 \(k\)).

*\(e_m(n)=C_n^2-rC^2_{k+1}-(m-r)C_k^2=C_{n-k}^2+(m-1)C_{k+1}^2\)

*1.易得完全 \(m\) 部图满足条件.

*2.易得完全 \(A\) 部图必不包含完全 \(A+1\) 部图.

*3.易得若某解在 \(B\) 部图时取得且 \(B>m\),则此图必可以同构成某个 \(m\) 部图.(因为图中无 \(K_{m+1}\),撑死了也就可能出现 \(K_m\),为完全 \(m\) 部图条件)

*4.易得若能够分成 \(A\) 部图则必然能分成 \(A+1\) 部图.(此说明若某解在 \(C\) 部图取得且 \(C<m\),则必可以同构成 \(m\) 部图)

*5.调整:若 \(\exists n_1-n_2\geq 2\),必有 \(C^2_{n_1}+C^2_{n_2}\geq C^2_{n_1-1}+C^2_{n_2+1}\),反复调整使结果达到最小,此时各部点数差不超过1.(因为此处是容斥需要减掉的部分)

*6.综上,最值必然在完全 \(m\) 几乎等部图中取得(即各部点数差不超过1时的完全 \(m\) 部图)

6.证明若图 \(G(n,m)\) 中不含 \(K_{2,r+1}\),有 \(m\leq\frac n 4 \lfloor 1+\sqrt{4r(n-1)+1}\rfloor\) 恒成立(结论)

*1.根据角的数量算两次，有\(\sum C^2_{X_i}\leq rC_n^2\to \sum X_i^2-\sum X_i\leq rn(n-1)\).

*2.柯西,有\(\frac {{(\sum X_i)}^2}n\leq \sum X_i^2\leq rn(n-1)+\sum X_i\to (2m)^2\leq n[rn(n-1)+2m]\).

*3.解方程得命题成立,应用范围:能抽象出无 \(K_{2,s}\) 限制,如例三中的"无两互异点到三已知点距离相等,无 \(K_{2,3}\)",例四中的"两组平行线至多交四个点,无 \(K_{2,5}\)".

7.分类，处理“取值个数满足某种条件”等题型时通常假定某个参数已知.

*1.适用条件:不论连边关系 \(p\) 取何值,所建的图性质相同.

*2.以例三为例,不论距离取何值所建图性质均相等(地位平等,此包括最大可能边数等性质),则只需考虑其中一种情况,用总边数除以最大可能边数即为最小取值个数.而例四较之例三更弱,询问的仅仅是某种情况下的性质(即例三中的"最大可能边数").也就是说例四可以求出面积取值个数范围(即例三中的"取值个数").