数论问题在 Z 上进行研究。
公约:
1.(a,b) 表示 a,b 最大公因数,[a,b] 为最小公倍数.
2.<<< 表示远小于,>>> 表示远大于.
3.形如 a|b 的式子被称为整除式.
4.含分号的多行大括号表示解答过程(优先级最高),单箭头若表示分析过程书写时一般逆写.
5.下列整数基本性质由题目给出,非其最基本性质.
6.a≡b(c) 即 a,b 在模 c 意义下相等.
7.[a] 表示高斯函数.
8.bool 式使用 C++ 表达形式.
整数基本性质(a,b∈Z):
1.Z 为一个数环,即以下性质 3.
2.a>b⟺a≥b+1⟺a−1≥b⟺a=b+k(k>0).
3.c=a+b∈Z,d=a−b∈Z,e=a∗b∈Z,f=ab∈Z(b≠0).
4.a|b⟺b=ka(k≠0,k∈Z).
5.使 f(a)|g(a) 成立的 a 的全体组成的集合 A1 与使 f(a)|g(a)−kf(a) (k∈Z) 成立的 a
的全体组成的集合 A2 相等.
6.设集合 A={P(a)|a∈Z},B=Q(a)|a∈Z,命题 P= 使整除式 P(a)|P(b) 成立
的 a 的全体组成的集合 S 为无限集,命题 Q=A⊆B,有 P=Q.
7.性质 5 上经常使用性质 f(a)∗f(b)=0⟺f(ε)=0(ε∈(a,b)).
8.设有整除式 a|b ,使 (k−1)a<|b|<ka 恒成立的 a 使整除式不成立.
整数:
特点:离散,无限。
核心:无限 → 有限。
操作方式:整除,同余,估计。
同余:Z→ 同余类(给集合做划分)(提取代表元)
S1,1:{构造(反面)论证(抽屉)→同余系 (解析略)
同余;
放缩:确定某多项式与 其加上(或减去)某不为零的多项式后 的大小关系。
S1,2:存在性 → 构造 → 选取 i,j → 希望 {ai+aj↑(ai,aj)↓ → 希望 (ai,aj)=1
→ (互质问题不可回避) → (不互质 → 互质) (结论一)
考虑互质情况,则需证 ai+aj≥2n−1=p → p|ai+aj → 例一 (结论二)
对于结论二分类:{若有∃p|ai,取p/|aj,易证;若有∀p/|ai,取剩余系(非完系)两两分组,易证;
对于结论一分类:{若有∃p|ai+aj,有ai(ai,aj)≥p,易证;若有∃p|ai−aj,由ai−aj<ai+aj,易证;
同余;构造;放缩;
估计:{a|bb≠0→|b|≥a → 有界离散 → 有限解 → 高次小于低次(多项式) →
放缩(即估计当变量取何值时某式恒成立)
分离:考虑 f1(am)|f2(an) (ak 表示最高次项),作 m=n+k ,
令 f1(am)=f3(an)∗f4(ak) 或令 f2(an)∗f5(ak)=f6(am) (常用)
然后计算 f3 与 f2 或 f6 与 f1。
无穷递降:通过 m → m′,常以 m,m′ 为根韦达构造(或解关于 m 的)二次方程
以保证具有相同性质P,且 m,m′ 地位相等,可论证 m′ 为常数或推导出矛盾。
S1,3:{是→构造否→反证→优先选择,各个角度分类筛不符合条件→{存在(构造域)不存在(证毕)
→ 常规方法:无穷递降,取最小,证存在更小(由当前最小的推出) → 做减法
放缩,设 ∃a>10am>10m → 构造 b ,使:{b=a−kama−kam无退位
注意到 9am+1=10m,并有 a 首位必不为零 → 将 a 做位值拆分。
设函数 S(x) 为 x 各位数之和,分析进位有 S(a−10r+10r−m) 严格小于 S(a).
无穷递降;估计;
S1,4:{m=n,k=m2;m≠n,m≡n(2);
k 为完方,分子为完方 → 分母为完方 → 分母简化 → m,n 换元 m+n,m−n
设 m=n+2t(t≠0),有 k=(m−t)24mt2+1,4mt2k+k=m2−2mt+t2,
整理成关于 m 的一个一元二次方程,有两根 m,m′ 地位相等,且均满足条件
m2−(4kt2+2t)m+t2−k=0,韦达得 m+m′=2t+4kt2∈Z
有 m,m′∈Z,mm′=t2−k<t2,不妨设 m<|t|。
⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩m′>0,有0<(m−t)2<(2t)2<4mt2+1,矛盾;m′=0,k=t2;m′<0,k=(m′−t)24m′t2+1<0,矛盾;
无穷递降;构造;
整除:最大公约数基本运算,分析其约数。
S1,5:由欧几里得辗转相除过程中导出结论 (na−1,nb−1)=n(a,b)−1
有 (22a−1,22b−1)=(2(a,b)−1)(2(a,b)+1)
且(2a−1)(2a+1)=22a−1,(2b−1)(2b+1)=22b−1,
→ 由 AC,BD 地位相等猜想结论 (AB,CD)=(A,C)(B,D)(A,D)(B,C),
其中 A=2a−1,B=2a+1,C=2b−1,D=2b+1。
→ A,B,C,D 满足条件 (A,B)=1,(C,D)=1.
→ 有如下结论 k(a,b)=(ka,kb)(k≠0) ,(∑n1an,)=((∑m1am),∑nman)
及条件 (D,C)=1
→ (A,C)(A,D)=(A(A,D),C(A,D))=(A2,AD,AC,CD)
=(A(A,C,D),CD)=(A,CD)
→ (A,C)(B,D)(A,D)(B,C)=(A,CD)(B,CD)=(AB,CD),猜想得证。
整除;最大公因子理论(传递关系);
S1,6:是否 → 否 → 有限个 → 有界 → 高次 ≤ 低次 → 在整除式左边添互质因式
n!+1|(2012n)!→(n!+1)(n!)|(2012n)!→(n+1)(n!)2012|(2012n)!
由 (n!)2012|(2012n)! ⟺ (2012nn,n,...,n,n)∈Z,(n!+1,(n!)2012)=1
有 (n!+1)(n!)2012|(2012)!,只需把 n! 变为同阶多项式,
(不用 Strling 公式 n!∼√2πn(ne)n,)
→ 只需证 n!>(ne)n⟺lnn+lnn−1+...+ln1>nlnn−n,归纳
→ ( ← )lnn+1>(n+1)lnn+1−nlnn−1
→( ← )1>n(lnn+1−lnn) → 1>ln(1+1n)n
→ ( ← )e>(1+1n)n ,引理得证。
(2012n)2012n>(2012n)!≥(n!+1)(n!)2012>(n!)2013>(ne)2013
→ 高次小于低次 → 有界 → 有限 → 否。
整除;估计;放缩;
S1,7:最多只有 → 反证 → 假设存在两种方案 → 分析约数 → 找矛盾
设 ab=cd=n416(a>c≥d>b),n≥a−b.
发现各数分担各因子,考虑用最大公因数换元表示各数。
设 (a,c)=p→a=pq,c=pr,(q,r)=1→qb=rd
→b=rs,d=qs→pq>pr≥qs>rs→q>r,p>s
→(放缩)n≥a−b=pq−rs≥(s+1)(r+1)−rs=r+s+1
→ r+s≤n−1→b≤(n−1)22→a≤b+n=(n+1)22
→ ab≤(n2−12)2<n416
整除;用大小关系放缩消元;最大公因数理论;均值不等式;
S1,8:高次小于低次 → 降高次或升低次 → 估计,分离 → 低次乘 x
估计 x(xn+2n+1)=xn+1+2nx+x>xn+1+2n+1+1→x≥2
估计 (x−1)(xn+2n+1)=xn+1+2nx+x−xn−2n−1<xn+1+2n+1+1
→ x(2n+1)<3∗2n+xn+2→ 要求 n 的次数足够大
(若满足以上二式,则说明 被除式 被夹在 除式 的两相邻倍数之间,即整除式不成立)
放缩要求 xn>x(2n+1)→xn−1≥2n+1(x≥2)有 x 增长幅度 >2 增长幅度
→ 考虑最小情况 n=2→x≥5 → 当 n≥2 时分类
⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩n=1,x=4∨11→(1,4)∨(1,11);n≥2,⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩x=1,2n+2|2n+1+2,舍;x=2,2n+1+1|2n+2+1,舍;x=3,3n+2n+1|3n+1+2n+1+1,舍;x=4,22n+2n+1|22n+2+2n+1+1,舍;x≥5,xn=x∗xn−1≥x∗(2n+1),舍;;
分离;估计;放缩;
S1,10:无限解问题 → 估计或分离找有限解 → 放缩后约为 am−n,分类考虑。
⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩m≤n,am−1+1≥an−1+a,矛盾;m>n,m=n+k→an+a2−1|ak+2−ak−a+1ak+2−ak−a+1=(a−1)(ak+1+ak−1),{a=1时成立;a有无穷多解;→an+a2−1|ak+1+ak−1构造辅助函数f(x)=xn+x2−1,g(x)=xk+1+xk−1有f(0)∗f(1)<0→存在ε∈(0,1)使f(ε)=0→g(ε)=0→{εk+1+εk−1=0;εn+ε2−1=0;→εk+1−εn=ε2−εk→{k<2,RHS<0,|LHS|>>>|RHS|,舍;k>2,n>k+1>k>2,|LHS|<<<|RHS|,舍;→只有k=2且n=k+1=3时成立→(5,3);
化归;降次(夹在两差距极小倍数之间);多项式整除;
S1,11:讨论两个相邻 5 幂次中间夹 2 的幂次的个数⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩≤1(显然不行,随便证一下)=2(可以,因为有例子)=3(可以,因为有例子)≥4(显然不行,随便证一下)
⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩=1,2n−1<5m<2n<5n+1<2n−1→2n+1>5m+1>2n−1∗5>2n+1,舍;=2,可行,x;=3,可行,y;=4,2n−1<5m<2n+1<2n+3<5m+1→5m+1>2n+3>8∗5m>5m+,舍;
{x+y=867;2x+3y=2013;→y=279.
鸡兔同笼;放缩;
S1,9:由题目“唯一表示” → x,y 与 n 相关且 (x,y) 唯一 → 将整除关系变为相等关系
→ 关于 (x,y) 的不定方程 → 以 y (次数低)为主元解方程 → y∈Z → 分式分离
⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩n=1,(x−1)(x+1−y)=0→x+1=y,舍;n≥2,y=x2−nnx−1→nx−1|x2−n→nx−1|x2n2−n3→nx−1|n3−1→d=n3−1nx−1→{d=1,(x,y)=(n2,n);d≠1,nx=n2+d−1d→nx<n2→x<n→y<1,舍;;
降次;分式分离;
一般二元归纳:解决类似 对与所有在域上的数对 (m,n) 均有 P(m,n)=true 的问题
常规方法:证明 P(1,1)=true ,由 P(1,n)=true→P(1,n+1)=true ,
由 P(m,1)=true→P(m+1,1)=true,由某两项成立再推出另一项成立。
其中最后一步的“另一项”应满足能遍历所有未证明项,“某两项”应满足均为已证明项。
如 P(a−1,b)=true+P(a,b−1)→P(a,b) 等。二项式定理证明可看作二元归纳
使用条件:给出条件少,(所有的)某两项与另一项之间均有递推关系(二元递推)。
S1,12:任意数对 → 对每一个数都成立 → 归纳 → 二元归纳
(由于 mi 的不确定性,此处不用一般二元归纳)
考虑固定某一变量来归纳(当作一元归纳),则只需证明归纳时对于另一变量存在任意性
(值域与定义域相等且均为 N+)
由于 k→k+1 比 1n→1n+1 容易,且 2k→2k+1 为翻倍,只需也必须在 RHS 中
添项,故选 k 作为归纳变量。记 LHS(i,j)/RHS(i,j) 为 k=i,n=j 时的值
⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩k=1,LHS(1,n)=1+1n→m1=n,∀n∈N+成立;假设(k,∀n)成立,⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩n≡0(2),LHS(k+1,n)=LHS(k,n2)∗(n+2k+1−1n+2k+1−2=1+1n+2k+1−2)RHS(k+1,n)=RHS(k,n2)∗(1+1mk+1),mk+1=n+2k+1−2;n≡1(2),LHS(k+1,n)=LHS(k,n+12)∗(n+1n=1+1n)RHS(k+1,n)=RHS(k,n+12)∗(1+1mk+1),mk+1=n;;→有(k+1,∀n)成立;
双向一元归纳;二元递推;
自然数:加法群幺元:0,乘法群幺元:1,质因数分解最小元:素数。
素数:
性质:唯一分解定理,质数集为无限集,梅森质数列满足两两互质,存在足够长的连续整数列
使每一项均为合数({(n+1)!+(2→n+1)}),素数定理,Dirichlet 大定理。
基本操作:考虑完系,缩系,构造。
无限集:构造 Q=(∏n1i)+1,若 Q 为质数得到对于数 n 存在至少一个质数Q>n;
若 Q 不为质数得到 Q=p1p2,p1≥p2>n, 对于数 n 存在至少一个质数Q>n;
梅森质数列:Fn=22n+1,Fn+k−2=22n+k−1=(22n)2k−1=(22n+1)k−1−1
→ Fn−2|Fn+k−2 → Fn=22n+1|22n+1−1,22n+1−1|Fn+k−2→Fn|Fn+k−2
→(Fn,Fn+k)=(2,Fn)=1→ 两两互质.
素数定理:π(n)∼Li(n) ,lnxx.
Dirichlet 大定理:对与数列 ax+b (a,b=1)有无限多质数。(同余问题)
完系:在完系中有且仅有一个不整除。
缩系:完系-1(均不整除)。
S2,1:表示出组合数后拆开上面的括号,注意到非 p 倍数项唯一,且为 p 的最小非负剩余
的积 → 约去 p ,合并分子中含有 p 的项 → 注意到分母亦为 p 的最小非负剩余之积。
Cpn=(kp+r)(kp+r−1)...(kp)(kp−1)...((k−1)p+r+1)p!=k(lp+(p−1)!)(p−1)!=klp(p−1)!+k∈Z
klp(p−1)!∈Z,(p,(p−1)!)=1→Cpn−k=klp→p|Cpn−k⟺Cpn≡[pn](p)
素数性质;合并同类项;
S2,4:恰有 →⎧⎪⎨⎪⎩存在→{p<6→一定有→p=5p>6→存在更大的→存在某个数的最小素因数p>6唯一→p>3即可
⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩5/|n,p=5满足条件;5|n→⎧⎨⎩n,n+5被5整除;剩余四个数中必恰有两偶数被2整除;余下两相邻奇数必恰有一奇数被3整除;→存在唯一数最小质因数p>5;
筛法;思路类似于证明 p>3 时只可能有 p=6k+1∨p=6k−1;
S2,5:合数 → 形如 N!+1+M(M+1≤N)
→ 互素 → 无法满足 a 为合数 → 设为 {a+(1→n)d}
→ 有 (ai,aj)=1→(a,(j−i)d)=1→(a,d)=1∧(a,j−i)=1
注意到 j−i 取值在 [0,n−1] (即一个 n 的完系)之间
→ 构造 (a,n!)=1 → 不妨 d 取 n! → 设 a 为 K!+1 ,有 (a,nn!)=1
→ nn!+1<K → 放缩后 (n+1)!<K → a=(n+1)!!+n!+1
→ a=((n+1)!+1)!+n!+1,d=n!,ai=a+id → 互质且均为合数。
构造;素数性质;
S2,6:无穷 → 递推 → 考虑必要条件
→ 首先必有 a,a+b∈S,则形如 a+bx∈S,必有 (a,a+bx)=1→(x,a)=1
其次 (a+bx,a+b)=1→(x−1,a+b)=1 → 显然有 x=a+b 时满足条件
再考虑 (a+b(a+b),a+x′b)=1→(x′−a−b,a+b(a+b))=1
→ 显然 x=y(a+b) 时满足条件 → (y−1,a+b(a+b))=1 → y=a+b(a+b)
→ 构造 {u1=a+b,un+1=a+b∏n1ui} → 有 (un+1,uk)=(a,uk)=1
构造;递推;
S2,2:显然有 n−1<m→n<=m,则有 p<n<=m→p<m,
对于任一 p<n ,取 {mi=(m+ir) mod p}|0→p−1,则显然存在 mi=mj,
有 mi−mj≡m+ir−m−jr≡0(p)→p|(j−i)r→p|r。
例二给出了一种其逆问题的构造 → 例五。
倍增:某些情况下能当归纳法使。题目中出现 2k 或 4k 等时考虑,由 k=⋅1→2k,2k+1
但 OI 中更多作为递归(分治为子问题,即考虑 k 由 [k],[k]+1 推出),有时也求
k→2k−1,本质上就是个上下界的问题,起始多暴力求几项就行。
S2,3:观察到 px=(y+1)(y2−y+1)→⎧⎨⎩y+1=pay2−y+1=pba+b=x→p|(y+1,y2−y+1)
→p|(y+1,3)→⎧⎨⎩y=1,y+1=2,px=2,(p,x,y)=(2,1,2);p=3,y≥2→3x=y3+1,y2−y+1>y+1→y+1|y2−y+1→y+1|3→(p,x,y)=(3,2,2);
指数型不定方程 → 反复同余 → 限制指数可能情况 → 讨论.
S2,7:尝试归纳 → 由于 k↛k+1 → 失败 → 看到 4n → 想到了一些不好的事情(OI)
→ 尝试递归区间 → 由 k → 2k,2k+1.
至于为什么 4n 可以想到倍增,应该是因为有素数这个条件并且是乘积形式。
首先显然有一个值接近 2lqbz 并且写出来是一堆阶乘除以一堆阶乘的数(倍增基本思想),
然后有 在倍增出来的那个区间里,最多只有一半是素数(形如 2k+1) 这个条件,
于是近似的就能把分母变成原来的平方(事实上 ∏n1(i==2k+1)i 和 ∏n1(i==2k)i 是同阶
的),于是就会有一个大概的阶乘(k)到组合函数(2k)的过渡。
假设 Pk≤4k,由于 ∏pi∈[k+1,2k]pi≤∏j=2r+1∈[k+1,2k]j≤∏l∈[k+1,2k]l(∏q∈[1,k]q)∗(2∗∏s=2f+1∈[k+1,2k]s)
≤(2k)!k!2=Ck2k<22k=4k,得到 P2k≤42k;类似的,对于 k→2k+1,有
∏pi∈[k+1,2k]pi≤(2k+1)!k!(k+1)!=Ck+12k+1=Ck+12k+22=22k=4k,得到 P2k+1≤42k。
其实要更简易的书写方式可以利用 k+1→2(k+1),2(k+1)−1。(P2(k+1)=P2k+1)
倍增;放缩;( 倍增+乘法,组合数,2^n, 4^n 等经常放在一起)
S1,2:调和级数形式 → 发散(∑1i=∑k(∑2k+1i=2k+1)>∑k(2k∗12k+1)=∑k12) →
得到了调和级数的常规放缩方法。
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 浏览器原生「磁吸」效果!Anchor Positioning 锚点定位神器解析
· 没有源码,如何修改代码逻辑?
· 一个奇形怪状的面试题:Bean中的CHM要不要加volatile?
· [.NET]调用本地 Deepseek 模型
· 一个费力不讨好的项目,让我损失了近一半的绩效!
· 在鹅厂做java开发是什么体验
· 百万级群聊的设计实践
· WPF到Web的无缝过渡:英雄联盟客户端的OpenSilver迁移实战
· 永远不要相信用户的输入:从 SQL 注入攻防看输入验证的重要性
· 浏览器原生「磁吸」效果!Anchor Positioning 锚点定位神器解析