[07/04/20] 抽象圣经笔记#3

在已经了解积集合的状态下,探究集合元素间的关系。

I.等价关系

  [定义3.1]

    a.设 A,B 为集合,积集合 A×B 的一个子集 R 就称为 AB 的一个关系,特别的,称 A×A 的子集为 A 上的一个关系。若 (a,b)R,称 a,bR 相关,记作 aRb

  [定义3.2]

    b.设 RA 的一个关系,若 R 满足以下条件:

      b.a.自反性:若 aA,有 (a,a)R.

      b.b.对称性:若 (a,b)R,有 (b,a)R.

      b.c.传递性:若 (a,b),(b,c)R,有 (a,c)R.

    我们称 RA 上的一个等价关系,常用 表示,即将 aRb 记作 ab

  Tip:R 即为在 A×B 上加一些约束条件,如设集合 A,BA×B={(x,y)|xA,yB}R 的通式可以写作 R={(x,y)A×B,P(x,y)},其中 P(x,y)R 的约束条件。

  例1DDescartes 平面,定义:D 中两点 ab 当且仅当 a,b 到原点的距离相等。则 P(a,b)a,b 到原点距离相等,不难验证这是个等价关系。

  例2H 为全体人类的集合,定义:H 中两元素 ab 当且仅当 a,b 为同性。则 P(a,b)a,b 为同性,也是个等价关系。

  Tip:至于当且仅当不需要分类(充要性)讨论,只需要验证在这个定义下 R 为等价条件即可。

II.分划

  a.现设 为集合 A 上的一等价关系,aA 内一元素,与 a 下等价的全体元素组成 A 的一个子集,称为 a一个等价类,用 [a] 表示。

  b.例1中 a 的等价类为与 a 在同一圆心为原点的圆上的点的全体组成的集合,例2中 H 只含有两个等价类,分别为男性和女性。注意表述方式的差异。

  c.我们注意到,一集合内两互异元素所在等价类若不重合,则必不相交。即各等价类互相独立,等价类两两交集为空集全体并集为 A

  e.由此我们看出:

    e.a.若一个集合上定义了一个等价关系,则这个集合可以被划分成互不相交的子集之并。

    e.b.一个集合若能被表示为互不相交的子集之并,则称这些子集族为该集合的一个分划。

  事实上我们可导出下面一个命题:

  [命题3.1]

    1.设 R 为集合 A 上的一等价关系,R 决定了 A 的一个分划 P,且由 P 导出的等价关系即为 R.

    2.给定 A 的一个分划 P亦能导出一个 A 上的等价关系 R,且由 R 决定的分划即为 P .

    证明从略(毕竟这只是个笔记)。

III.商集

  a.设 为集合 A 上的一等价关系,A 上所有等价类的族集合称为 A 关于 的商集,记之为 A/A¯

  b.若 aA,则 [a] 作为 A¯ 的元素通常记为 a¯

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