[07/04/20] 抽象圣经笔记#3
在已经了解积集合的状态下,探究集合元素间的关系。
I.等价关系
[定义]
a.设 为集合,积集合 的一个子集 就称为 到 的一个关系,特别的,称 的子集为 上的一个关系。若 ,称 与 相关,记作 。
[定义]
b.设 为 上 的一个关系,若 满足以下条件:
b.a.自反性:若 ,有 .
b.b.对称性:若 ,有 .
b.c.传递性:若 ,有 .
我们称 为 上的一个等价关系,常用 表示,即将 记作 。
Tip: 即为在 上加一些约束条件,如设集合 ,, 的通式可以写作 ,其中 为 的约束条件。
例1 设 是 平面,定义: 中两点 当且仅当 到原点的距离相等。则 即 到原点距离相等,不难验证这是个等价关系。
例2 设 为全体人类的集合,定义: 中两元素 当且仅当 为同性。则 即 为同性,也是个等价关系。
Tip:至于当且仅当不需要分类(充要性)讨论,只需要验证在这个定义下 为等价条件即可。
II.分划
a.现设 为集合 上的一等价关系, 为 内一元素,与 在 下等价的全体元素组成 的一个子集,称为 的一个等价类,用 表示。
b.例1中 的等价类为与 在同一圆心为原点的圆上的点的全体组成的集合,例2中 只含有两个等价类,分别为男性和女性。注意表述方式的差异。
c.我们注意到,一集合内两互异元素所在等价类若不重合,则必不相交。即各等价类互相独立,等价类两两交集为空集,全体并集为 。
e.由此我们看出:
e.a.若一个集合上定义了一个等价关系,则这个集合可以被划分成互不相交的子集之并。
e.b.一个集合若能被表示为互不相交的子集之并,则称这些子集族为该集合的一个分划。
事实上我们可导出下面一个命题:
[命题]
1.设 为集合 上的一等价关系,则 决定了 的一个分划 ,且由 导出的等价关系即为 .
2.给定 的一个分划 ,亦能导出一个 上的等价关系 ,且由 决定的分划即为 .
证明从略(毕竟这只是个笔记)。
III.商集
a.设 为集合 上的一等价关系, 上所有等价类的族集合称为 关于 的商集,记之为 或。
b.若 ,则 作为 的元素通常记为 。
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