[06/04/20] 抽象圣经笔记#2

集合间的高阶运算,Cartesian 积。

I.Cartesian积

  [定义2.1]

    a.设 A,B 为集合,则称有序对 (a,b) (其中 aA,bB)全体组成的集合为 A,BCartesian 积,简称为 AB 的积。记作集合 C=A×B={(a,b)|aA,bB}

  b.注意到 A×B 中的元素具有多个性质。再次强调,以后称某两事物相同当且仅当其所有性质完全相同

  c.若 A=B=R,则 A×B 构成了 Descartes 平面。

  d.与交,并类似,积集合的概念也可以推广到某一族集合的积。设一指标集 I 及一族集合 F={Ai|iI},定义 C1=i=1card(I)Ai={(a1,a2,...,acard(I))|aiAi},其中 card(I)I 中元素个数。

  e.上述定义可以有另一种表示方法,即令 C2集合 I满足以下条件的函数 f全体:对于每个 iI,均有 f(i)Ai 。则 C2 称为 FCartesian 积,时记为 XiIAi

    e.a.关于上述定义的理解:对于每个函数 fi,均有唯一的一个有序对 (a1,a2,...,acard(I)) 与之对应。(注意这里并不是双射。即设此映射为 g,可能存在 g(f(i))=g(f(j))

    e.b.则显然有 C1C2,且 card(C1)=card(C2)。显然可得 C1=C2

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