集合间的高阶运算,Cartesian 积。
I.Cartesian积
[定义2.1]
a.设 A,B 为集合,则称有序对 (a,b) (其中 a∈A,b∈B)全体组成的集合为 A,B 的 Cartesian 积,简称为 A 与 B 的积。记作集合 C=A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}。
b.注意到 A×B 中的元素具有多个性质。再次强调,以后称某两事物相同当且仅当其所有性质完全相同。
c.若 A=B=R,则 A×B 构成了 Descartes 平面。
d.与交,并类似,积集合的概念也可以推广到某一族集合的积。设一指标集 I 及一族集合 F={Ai|i∈I},定义 C1=∏card(I)i=1Ai={(a1,a2,...,acard(I))|ai∈Ai},其中 card(I) 即 I 中元素个数。
e.上述定义可以有另一种表示方法,即令 C2 是集合 I 上满足以下条件的函数 f 的全体:对于每个 i∈I,均有 f(i)∈Ai 。则 C2 称为 F 的 Cartesian 积,时记为 Xi∈IAi。
e.a.关于上述定义的理解:对于每个函数 fi,均有唯一的一个有序对 (a1,a2,...,acard(I)) 与之对应。(注意这里并不是双射。即设此映射为 g,可能存在 g(f(i))=g(f(j)))
e.b.则显然有 C1⊆C2,且 card(C1)=card(C2)。显然可得 C1=C2。
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