[04/04/20] 抽象圣经笔记#1

作为学习抽象圣经的预备知识,我们要先了解集合的概念,基本性质和运算规律。

I.概念

  a.所谓集合,就是某一些事物的全体,如整数集表示整数全体。集合常常用大写英文字母 A,B,C 来表示。

  b.集合内某一固定的事物称为元素,如整数集中的 1 。元素常常用小写英文字母 a,b,c 来表示。

  c.我们用 来表示元素与集合的属于关系,用 aA 表示 a 为集合 A 中的元素。相对的,我们使用 ¯ 来表示不属于关系。

  d.由集合内元素个数的不同,我们将集合划分为以下三种:空集有限集无限集

    d.a.空集:不含任何元素,符号为 ,如 810 内的质数组成的集合。

    d.b.有限集:含有有限个元素,如 110 内的整数组成的集合。

    d.c.无限集:含有无限个元素,如整数集。

  e.若集合 A 中的所有元素均属于集合 B ,则称集合 A 为集合 B 的子集,记作 AB 。若集合 A,B 具有相同的元素,则称为相等。即数学上若有 ABBA ,可得到 A=B

  f.集合内的通用表示方法为: A={aS | P(a)}。此指 A 中的元素来自于集合 S (注意到若 S 唯一则必有 AS),且具有性质 P 。为方便理解可认为集合 A 具有性质 P ,若 aAa 也具有性质 P

  g.集合的基本运算:

    g.tip:集合中元素只论种类,不论个数。即若有元素 a,b 完全相同,视为同一元素。(去重)

  [定义1.1]

      g.a.并:A,B 中所有元素组成的集合 C 称为 AB 的并,记作 C=AB={x|xAxB}

  [定义1.2]

      g.b.交:AB 共有的元素组成的集合 D 称为 AB 的交,记作 D=AB={x|xAxB}

  [定义1.3]

    h.设 BA 的子集,定义 AB (亦作 A \ B)BA 中的补集或余集,记作 AB={x|xA,x¯B}

  i.常见数集

    Z 整数集.

    N 自然数集.

    Q 有理数集.

    R 实数集.

    C 负数集.

    AA 的非零部分.

    A+A 的正数部分.

II.基本性质和运算规律

  [命题1.1] 关于集合有以下性质:

    a.若 AB,则 AB=AAB=B,特别的,有 AA=AA=A.

    b.AB=BAAB=BA.

    c.(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC).

    d.A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC).

    e.若 A,BC,有:

      e.a.C(CA)=A;

      e.b.C(AB)=(CA)(CB);

      e.c.C(AB)=(CA)(CB).

    具体证明方法可借助 Venn 图,或使用基于定义的证明方法:由于有 (I.e) ,集合间任意运算律的命题均可写作若干 AiBi 及若干 XiYi 的形式,逐一证明即可。再具体的话就是设元素 xLEFT,证 xRIGHT

  Tip:性质 b 称为交换律,性质 c 称为结合律,性质 d 称为分配律,性质 e 称为 Morgan 公式。

  f.并与交的概念可以推广到任意多个集合上。由于结合律的成立,在书写各集合并/交的过程中省略括号。

III.指标集

  a.设有一集合 I 与一族集合 F={Ai|iI},即对于任意 iIF 中均有唯一的集合 Ai 与之对应,这样的集合 I 称为集族 F 的指标集,就是类似于现实生活中目录一般的存在。

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