[04/04/20] 抽象圣经笔记#1
作为学习抽象圣经的预备知识,我们要先了解集合的概念,基本性质和运算规律。
I.概念
a.所谓集合,就是某一些事物的全体,如整数集表示整数全体。集合常常用大写英文字母 来表示。
b.集合内某一固定的事物称为元素,如整数集中的 。元素常常用小写英文字母 来表示。
c.我们用 来表示元素与集合的属于关系,用 表示 为集合 中的元素。相对的,我们使用 或 来表示不属于关系。
d.由集合内元素个数的不同,我们将集合划分为以下三种:空集,有限集和无限集。
d.a.空集:不含任何元素,符号为 ,如 内的质数组成的集合。
d.b.有限集:含有有限个元素,如 内的整数组成的集合。
d.c.无限集:含有无限个元素,如整数集。
e.若集合 中的所有元素均属于集合 ,则称集合 为集合 的子集,记作 。若集合 具有相同的元素,则称为相等。即数学上若有 且 ,可得到 。
f.集合内的通用表示方法为: | 。此指 中的元素来自于集合 (注意到若 唯一则必有 ),且具有性质 。为方便理解可认为集合 具有性质 ,若 则 也具有性质 。
g.集合的基本运算:交与并
g.tip:集合中元素只论种类,不论个数。即若有元素 完全相同,视为同一元素。(去重)
[定义]
g.a.并: 中所有元素组成的集合 称为 与 的并,记作 。
[定义]
g.b.交: 与 共有的元素组成的集合 称为 与 的交,记作 。
[定义]
h.设 是 的子集,定义 亦作 \ 为 在 中的补集或余集,记作 。
i.常见数集
整数集.
自然数集.
有理数集.
实数集.
负数集.
集 的非零部分.
集 的正数部分.
II.基本性质和运算规律
[命题] 关于集合有以下性质:
a.若 ,则 ,,特别的,有 .
b.,.
c.,.
d.,.
e.若 ,有:
e.a.;
e.b.;
e.c..
具体证明方法可借助 图,或使用基于定义的证明方法:由于有 (I.e) ,集合间任意运算律的命题均可写作若干 及若干 的形式,逐一证明即可。再具体的话就是设元素 ,证 。
Tip:性质 b 称为交换律,性质 c 称为结合律,性质 d 称为分配律,性质 e 称为 公式。
f.并与交的概念可以推广到任意多个集合上。由于结合律的成立,在书写各集合并/交的过程中省略括号。
III.指标集
a.设有一集合 与一族集合 ,即对于任意 , 中均有唯一的集合 与之对应,这样的集合 称为集族 的指标集,就是类似于现实生活中目录一般的存在。
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