[EOJ]#3349

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　　一道挺有意思的题。

　　在做这道题前，你需要知道：

　　　　$*$　$\sum _{i=1}^{n} (\phi (i)* \lfloor \frac n i \rfloor)= \frac {n*(n+1)} 2$

　　　　$*$　$\phi (i)= n*(\prod_{(p_i | n)} (1- \frac 1 {p_i}))$

　　然后就可以愉快的切题了（不是

　　我们的主要思路就是 $\sum _{i=1}^{n} - \sum_{i=1}^{k} - \sum_{i=n-k+1}^{n}$ ，用全部的和减头减尾。其中第一项可以用上面的公式 $1$ $O(1)$ 求得，第二项由于欧拉函数有线性递推式（见代码的 $"euler"$ 函数），也可以暴力预处理。所以需要解决的就只剩下第三项了。

　　对于第三项的线性推肯定是行不通的，欧拉函数的线性递推式必须是已知前 $n-1$ 项才必能求出第 $n$ 项。时间和空间上都会爆掉。

　　直接使用欧拉函数筛法也不行，最坏情况 $O(k$ $\sqrt n)$，会 $T$ 的很悲惨。

　　也不能用杜教筛，因为我不会。

　　换种思路，现在我们知道了公式 $2$ 。那么我们如果能在较短时间内 $O(k$ $log$ $n)$ 求出每个 $x \in [n-k+1,n]$ 的所有质因数，就可以完成程序。

　　方法当然是有的，就是线性筛素数的变种。枚举每个质数 $p_i \in [1,\sqrt n]$ ，求出它在 $[n-k+1,n]$ 中的最小倍数，然后以 $p_i$ 为步长，就可以把区间内所有 $p_i$ 的倍数打上 $tag$，可以直接求出整个区间的答案 。

　　至于时间复杂度，应该是 $\sum _{i=1}^{tot} \frac {n}{p_i}$，是接近 $O(k$ $log$ $n)$ 的。也就是说是可以 $A$ 了此题的。

　　我大概是个傻子，考场上就是不预处理。

　　$Tip:$ 可能会出现一些奇奇怪怪的事情，注意细节。

//#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
ll n,k,tot,x,sum,ANS,F;
bool b[1000010];
int res[1000100],f[1000100][41],p[1000010];
inline void getp(ll n){
	for(ll i=2;i<=sqrt(n);i++){
		if(b[i])continue;
		p[++tot]=i;
		for(int j=2*i;j<=sqrt(n);j+=i)b[j]=1;
	}
} 
inline void euler()
{
    res[1]=1;
    for(int i=2;i<k;i++)
    {
        if(!res[i])
        {
            for(int j=i;j<k;j+=i)
            {
                if(!res[j])res[j]=j;
                res[j]=res[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}
int main()
{
//    freopen("mogic.in","r",stdin);
//    freopen("mogic.out","w",stdout);
    cin>>n>>k;getp(n);euler();
    x=(n%mod)*((n+1)%mod)/2;        //这里其实并不需要逆元。
    for(ll i=1;i<k;i++)sum=(sum+res[i]*(n/i)%mod)%mod;
    for(ll i=1;i<=tot;i++){
    	ll sq=ceil((double)(n-k+1)/(double)p[i])*p[i];
		for(ll j=sq;j<=n;j+=p[i])
		f[j-n+k][++f[j-n+k][0]]=i;
	}
	for(ll i=1;i<=k;i++){
		F=n-k+i;
		ll pr=n-k+i;
		for(int j=1;j<=f[i][0];j++){
			F=F/p[f[i][j]]*(p[f[i][j]]-1);
			while(!(pr%p[f[i][j]]))pr/=p[f[i][j]];
		}
		if(F==n-k+i)F--;
		else if(pr!=1)F=F/pr*(pr-1);
		sum=(sum+F*(n/(n-k+i)))%mod;
	}
    ANS=(x-sum+mod)%mod;cout<<ANS;
    return 0;
}