[15/08/19] BSGS & ex-BSGS 学习笔记

　　BSGS

　　$BSGS($$Baby$ $Step$ $Gaint$ $Step)$,大步超大步小步算法，是求高次同余方程最小正整数解的一种常用算法。通常被用于求解形如使方程 $a^x \equiv y (mod$ $p)$ （$p$ ⊥ $a$ ）成立的最小 $x$。

　　$BSGS$ 算法的实现过程类似数学中的缩放法，将待求的指数 $x$ 化为 $a \sqrt p + b$，通过枚举 $a$ 来求解。

　　具体过程如下：

　　　　一：

　　　　$\large a^x \equiv y (mod$ $\large p)$

　　　　$\large a^{ k\lceil \frac x k \rceil-(k\lceil \frac x k \rceil-x)}\equiv y (mod$ $\large p)$　　$\large (k=\lceil \sqrt p \rceil)$

　　　　$\large {(a^k)}^n*a^{-m} \equiv y (mod$ $\large p)$　　$\large (n=\lceil \frac x k \rceil,m=k\lceil \frac x k \rceil-x)$

　　　　$\large {(a^k)}^n \equiv inv_{(a^{-m})}*y=a^{m}*y$

　　　　

　　　　二：

　　　　设 $\large k=\lceil \sqrt p \rceil$，$x=n*k-m$，$n\in [1,k)$，$m\in [1,k)$

　　　　则求 $\large {(a^k)}^n \equiv inv_{(a^{-m})}*y=a^{m}*y$

　　　　

　　于是我们便可以从前往后枚举 $m$ 以 $y*(a^m)modp$ 为下标，$m$ 为值存入一个 $map$ 中（预处理），再枚举 $n$ ，若存在 $map[{(a^k)}^n]$，则 $x=n*k-map[{(a^k)}^n]$.

　　复杂度 $O(\sqrt p log p)$

Code:

//P3846
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p,x,y,k,n,a;
map<int,int>M;
int qp(int x,int y){
    int s=1;
    while(y){if(y&1)s=1ll*s*x%p;x=1ll*x*x%p;y>>=1;}
    return s;
}
int main(){
    cin>>p>>a>>y;
    int k=ceil(sqrt(p));n=y;
    for(int i=0;i<k;i++){         //预处理 
        M[n]=i;
        n=1ll*n*a%p;
    }
    int t=qp(a,k);x=1;
    for(int i=1;i<=k;i++){       //枚举答案 
        x=1ll*x*t%p;
        if(M.count(x)){printf("%d\n",i*k-M[x]);return 0;}
    }
    puts("no solution");return 0;
}