[13/07/19] 凸包学习笔记

所谓凸包，就是给你一堆点，让你找一个最小的凸多边形（二维），使其包含所有点。这个凸多边形就是这些点的凸包。可以理解为是用橡皮筋把很多钉子围住的状态。

　　这些是凸包：

　　这些不是：

　　那么我们如何构造凸包呢？可以看出，如果我们按 $x$ 排序的话，我甚至不想证明，最左和最右端点一定在凸包上。这样我们就可以把整个凸包分成上下两个”半凸包“来分别构造。

　　对于半凸包而言，其实是有一个很强的性质的，就是对于这半边凸包上的边而言，斜率的变化是单调的。在上凸包的边斜率单调减，在下凸包的边斜率单调增，并且这也很好用三角不等式证明。

　　那么我们准备逆用这个性质。 问题就转化为了：已知许多点的坐标，求出一条连接 $p_0$ 到 $p_n$ 的路径，使路径权值单调。其中每条边的权值就是这条边的斜率。

　　好的，果断使用单调栈。刚开始将 $p_0$ 与 $p_n$ 加入，每次向栈内投入一个元素 $(x_0,y_0)$，求出与当前栈顶元素 $(x_1，y_1)$ 和栈内下一位元素 $(x_2,y_2)$ 的斜率并比较，若符合单调规则则加入，否则弹出栈顶元素，迭代 $(x_3,y_3)$，重复上述操作直至回到初始点或满足条件。

　　对于比较斜率的算法，大佬们使用的都是向量叉积，把两条边看做向量用 $\vec{a} , \vec{b}$ 表示，然后通过求叉积——$(x_0-x_1,y_0-y_1)$ 和 $(x_0-x_2,y_0-y_2)$ 的叉积为 $(x_0-x_1)*(y_0-y_2)-(x_0-x_2)*(y_0-y_1)$——与零的大小判断。但作为蒟蒻怎么可能会这些奇怪的东西！所以我找了一种稍微通俗那么一点点的方式来解释。

　　我们有两条边，一条斜率为 $k_1=\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}$，另一条斜率为 $k_2=\frac{y_0-y_2}{x_0-x_2}$ 。作差法可得

$$k_2-k_1=\frac{(y_0-y_2)(x_0-x_1)-(y_0-y_1)(x_0-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$$

　　因为按 $x$ 排序，所以 $x_0>x_1>x_2$。则 $k_2-k_1$ 的符号与 $(y_0-y_2)(x_0-x_1)-(y_0-y_1)(x_0-x_2)$ 符号相同。

　　这特么和叉积有什么区别？！

　　至此凸包构造完毕。