[12/11/19] 折半&倍增思想学习笔记

折半思想和倍增思想不是同一种思想，但思想接近，并且都是优化程序的黑科技。

折半

　　即传说中的 $Meet$ $in$ $the$ $middle$ , 核心思想就是将原问题分成两个或多个部分，分别解决各个部分后合并。

　　适用范围 这种思想一般被广泛运用于优雅的暴力，比如暴搜。当然还可以和乘法逆元之类的东西合用.

　　（形如 $a*b*c*d\equiv k(mod$ $m)$ 的式子可化为$a*b\equiv k*(c*d)^{-1}(mod$ $m)$.）

　　操作步骤 将一组数据分为两组，分别搜索或暴力求得答案，然后合并答案。合并时通常需要使用排序+双指针，排序+二分等算法统计答案。有时并不是平均分配，可以考虑分为较小部分与较大部分，较小部分先暴搜排序，然后较大部分暴搜+二分即可剪枝。或直接分为两个较小部分与一个极小部分，极小部分直接分类讨论。

倍增

　　即传说中可以直接求答案也可以用来优化 $dp$ 的神器，核心思想就是递归计算，对于一个规模为 $n$ 的问题，求出如适用范围的通式。

　　适用范围

$$f(x)=\left\{\begin{aligned}g(f(x-1))\\g(f(\frac x 2))\end{aligned}\right.$$

　　其中 $g(x)$ 为可推递推式。

　　操作步骤 求递推式。若优化 $dp$ 先思考是否可以直接倍增求得 $f(x)$，再推 $dp$ 方程。

//bzoj 2165
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int T,n,p;
bool flag;
ll f[70][105][105],g[105][105],t[105][105],ans,m;    //f[i][j][k] 记录从第i个房间走2^p步到达j房间最多能走几层 
                                                     //g[i][j] 记录从i房间走到j房间最多能走几层 
inline ll read()
{
    ll a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}
inline void work1()
{
    for(p=1;p<=log2(m);p++)
    for(int k=1;k<=n;k++)
	for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++){
        f[p][i][j]=max(f[p-1][i][k]+f[p-1][k][j],f[p][i][j]);
        if(i==1&&f[p][i][j]>=m)return;              //已经从第一层走到了M以上 
    }
}
inline void work2()
{
    memset(t,0xef,sizeof(t));
    for(int k=1;k<=n;k++)
	for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++){
        t[i][j]=max(t[i][j],f[p][i][k]+g[k][j]);    //为了避免走第2^p步刚好跨越了M，所以只需要求出最接近M且小于M的值，再在最后ans++跨越M即可  
        if(i==1&&t[i][j]>=m)return;
    }
    memcpy(g,t,sizeof(g));                          //迭代 
    ans+=1ll<<p;
}
int main()
{
    T=read();
    while (T--) 
    {
        n=read(); m=read();
        memset(f,0xef,sizeof(f));
        memset(g,0xef,sizeof(g));
        for(int i=1;i<=n;i++)g[i][i]=0;
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            f[0][i][j]=read();
            if(!f[0][i][j])f[0][i][j]=-1e18;
        }
        work1();
        while(p--)work2();
        printf("%lld\n",ans+1);
    }
    return 0;
}