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第3章线性模型

3.1 基本形式

问题描述：给定由d个属性描述示例 $x=(x_{1};x_{2};...;x_{d})$ ,其中 $x_{i}$ 是x自第i个属性上的取值，线性模型(Linear model)试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测函数，即

函数描述： $f(x)=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+...+w_{d}x_{d}+b$

向量形式： $f(x)=w^{T}x+b$ ，其中 $f(x)=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+...+w_{d}x_{d}+b$ .w和b学得之后，模型就得以确认。

3.2线性回归

问题描述：给定数据集 $D=\{(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),..,(x_{m},y_{m})\}$ ,其中 $x_{i}=(x_{i1};x_{i2};...;x_{id}）,y_{i}\in \mathbb{R}$ .“线性回归”(linear regression)试图学得一个线性模型以尽可能准确地预测实值输出标记，即线性回归试图学习 $f(x_{i})=wx_{i}+b$ ，使得 $f(x_{i})\approx y_{i}$

如何确定w和b?

1、一元线性回归

关键在于如何衡量f(x)与y之间的差别，(均方误差是回归任务最常用的性能度量)。因此可试图让均方误差最小化，从而确定w和b

\begin{aligned} (1) & （ w^{*}, b^{*} ） = & a r g m i n_{(w, b)} \sum_{i = 1}^{m} (f (x_{i}) - y_{i})^{2} \\ (2) & = & a r g m i n_{(w, b)} \sum_{i = 1}^{m} (y_{i} - w x_{i} - b)^{2} \end{aligned}

$\begin{align} （w^{*},b^{*}）=&arg\space min_{(w,b)} \sum_{i=1}^{m}(f(x_{i})-y_{i})^{2} \\ =&arg\space min_{(w,b)} \sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i}-b)^{2} \end{align}$

argument of the maximum/minimum
arg max f(x): 当f(x)取最大值时，x的取值
arg min f(x)：当f(x)取最小值时，x的取值

"最小二乘法"：基于均方误差最小化来进行模型求解的方法。即试图找到一条直线，使所有样本到直线上的欧氏距离之和最小。

确定w和b使均方误差最小的过程，称为线性回归模型的最小二乘"参数估计"(parameter estimation).

即通过对w,b求导确定最优解

对 w 求 导 ： \frac{\partial E_{(w, b)}}{\partial w} = 2 (w \sum_{i = 1}^{m} x_{i}^{2} - \sum_{i = 1}^{m} (y_{i} - b) x_{i}) 对 b 求 导 ： \frac{\partial E_{(w, b)}}{\partial b} = 2 (m b - \sum_{i}^{m} (y_{i} - w x_{i})) 导 数 为 0 得 到 最 优 解 ： \begin{aligned} (3) & w = & \frac{\sum_{i}^{m} y_{i} (x_{i} - \bar{x})}{\sum_{i = 1}^{m} x_{i}^{2} - \frac{1}{m} (\sum_{i = 1}^{m} x_{i})^{2}}, \\ (4) & b = & \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} (y_{i} - w x_{i}) \\ (5) & 其 中 \bar{x} 是 x 的 均 值 \end{aligned}

$对w求导：\frac{\partial{E_{(w,b)}}}{\partial{w}}=2(w\sum_{i=1}^{m}x_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-b)x_{i}) \\ 对b求导：\frac{\partial{E_{(w,b)}}}{\partial{b}}=2(mb-\sum_{i}^{m}(y_{i}-wx_{i})) \\ 导数为0得到最优解： \\ \begin{align} w=&\frac{\sum_{i}^{m}y_{i}(x_{i}-\overline{x})}{\sum_{i=1}^{m}x_{i}^{2}-\frac{1}{m}(\sum_{i=1}^{m}x_{i})^{2}}, \\ b=&\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i}) \\ 其中\overline{x}是x的均值 \end{align}$

最小二乘法的参数估计推导：

2、多元线性回归

关系式: $f(x_{i})=w^{T}x_{i}+b$

目标函数:

目标函数求解：

代码实践：https://github.com/Gievance/Python-MachineLearning/blob/master/Machine Learning note/多元线性回归.ipynb

高维问题可以使用梯度反向传播法,见3.7

3、对数线性回归

将模型预测值逼近y的衍生物，便有“对数线性回归”:

l n y = w^{T} w + b y = e^{w^{T} w + b}

$lny=w^{T}w+b \\ y=e^{w^{T}w+b}$

拓展：

更一般地，考虑单调可微函数g(·),令 $y=g^{-1}(w^{T}w+b)$ ，便得到“广义线性模型”
对数线性回归时广义模型在g(·)=ln(·)时的特例

3.3、对数几率回归(逻辑回归)

问题描述：
1、分类问题：将x的取值映射到固定的y空间内
2、线性模型进行的回归学习，对样本做了预测，但对分类问题而言，需要将预测值与真实标记联系起来。
3、通过广义线性模型，用一个单调可微的联系函数将预测值y做个转换，映射到标记空间。

实例：二分类任务

关系函数：

最 理 想 ： 单 位 阶 跃 函 数 : y = {\begin{cases} 0, z < 0 \\ 0.5, z = 0 \\ 1, z > 0 \end{cases} 近 似 代 替 ： 对 数 几 率 函 数 (s i g m o i d) ： y = \frac{1}{1 + e^{- z}}

$最理想：单位阶跃函数:y=\begin{cases}0,z<0\\0.5,z=0\\1,z>0\end{cases} \\ 近似代替：对数几率函数(sigmoid)：y=\frac{1}{1+e^{-z}}$

单位阶跃函数不连续，对数几率函数单调可微故可做联系函数

函数形式：

y = \frac{1}{1 + e^{- (w^{T} w + b)}} l n \frac{y}{1 - y} = w^{T} w + b

$y=\frac{1}{1+e^{-(w^{T}w+b)}}\\ ln\frac{y}{1-y}=w^{T}w+b$

几率： $\frac{y}{1-y}$ ，y视为样本的正例可能性，1-y视为样本的反例可能性
对数几率: $ln\frac{y}{1-y}$

在对数几率回归模型下，如何确定w和b?

极大似然估计法

小结：
1、利用线性回归模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率，其对应的模型称为“对数几率回归”
2、logistic回归是一个分类算法，它可以处理二元分类以及多元分类。首先逻辑回归构造广义的线性回归函数，然后使用sigmoid函数将回归值映射到离散类别。

3.4 线性判别分析

LDA=Linear Discriminant Analysis=Fisher判别分析

基本思想：

想让同类样本点的投影点尽可能接近，不同类样本点投影之间尽可能远，即：让各类的协方差之和尽可能小，不用类之间中心的距离尽可能大。基于这样的考虑，LDA定义了两个散度矩阵。

类内散度矩阵（within-class scatter matrix）

类间散度矩阵(between-class scaltter matrix)

因此得到了LDA的最大化目标：“广义瑞利商”（generalized Rayleigh quotient）。

从而分类问题转化为最优化求解w的问题，当求解出w后，对新的样本进行分类时，只需将该样本点投影到这条直线上，根据与各个类别的中心值进行比较，从而判定出新样本与哪个类别距离最近。求解w的方法如下所示，使用的方法为λ乘子。

若将w看做一个投影矩阵，类似PCA的思想，则LDA可将样本投影到N-1维空间（N为类簇数），投影的过程使用了类别信息（标记信息），因此LDA也常被视为一种经典的监督降维技术。

3.5多分类学习

基本思路：“拆解法”将多分类任务拆为若干个二分类任务求解。具体来说，先对问题进行拆分，然后为拆出的每个二分类任务训练一个分类器；在测试时，对这些分类器的预测结果进行集成以获得最终的分类结果。

经典的拆分策略：
1、OvO（一对一:one vs one）

OvO给定数据集 $D={(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n}),}, y_{i}=\{ C_{1},C_{2},...,C_{N} \}$ ;OvO将这N个类别两两配对，从而产生N(N-1)/2个二分类任务。

2、OvR（一对其余：one vs rest）

OvR每次将一个类的样例作为正例，所有其他类的样例作为反例来训练N个分类器；在测试时若仅有一个分类器预测为正类，则对应的类别标记作为最终分类结果。

3、MvM（多对多:Many vs Many）

MvM每次将若干个类作为正类，若干个其他类作为反类。OvO和OvR是MvM的特例。MvM的正、反例构造必须有特殊的设计（比如：“纠错输出码”，(Error Correcting Output Codes:ECOC)）

ECOC将编码的思想引入类别拆分，并尽可能在解码过程中具有容错性。

编码：对N个类别做M次划分，每次划分将一部分类别划为正类，一部分划分为反类，从而形成一个二分类训练集；这样一共产生M个训练集，可训练出M个分类器
解码：M个分类器分别对测试样本进行预测，这些预测标记组成了一个编码。将这个预测编码与每个类别各自的编码进行比较，返回其中距离最小额类别作为最终预测结果。
类别划分：通过“编码矩阵”指定，常见的主要有二元码和三元码。

手稿阐述二元码、三元码：

3.6 类别不平衡

类别不平衡(class-imbalance)
问题描述：分类任务中不同类别的训练样例差别很大的情况。

类别不平衡的基本处理方法：
1、当正、反例可能性相同时(即阈值为0.5的情况)，分类器的决策规则为： $\frac{y}{1-y} （3.46）$ 则预测为正例。
2、当训练集是样本总体的无偏采样时，m+代表正例数量，m-代表负例数量，观测几率= $\frac{m^{+}}{m^{-}}$ ,分类器的决策规则为 $\frac{y}{1-y}>\frac{m^{+}}{m^{-}}(3.47)$ 则预测为正例
当分类器决策时基于形式（3.46），可以通过“再缩放”策略，使其基于式(3.46)决策，实际是执行(3.47)
"再缩放"： $\frac{y^{'}}{1-y^{'}}=\frac{y}{1-y}×\frac{m^{-}}{m^{+}} （3.48）$
3、上面假设不成立时，则无法基于训练集类别进行推断真实几率，但也有三种处理方法

欠采样（undersampling）:去除一些反例，从而使正、反例数目接近。
过采样（oversampling）:增加一些正例，使得正、反例数目接近
阈值移动（threshold-moving）:直接基于原始数据集进行学习，但在训练好的分类器进行预测时，将式（3.48）嵌入到决策过程。

上篇主要介绍和讨论了线性模型。首先从最简单的最小二乘法开始，讨论输入属性有一个和多个的情形，接着通过广义线性模型延伸开来，将预测连续值的回归问题转化为分类问题，从而引入了对数几率回归，最后线性判别分析LDA将样本点进行投影，多分类问题实质上通过划分的方法转化为多个二分类问题进行求解。本篇将讨论另一种被广泛使用的分类算法--决策树（Decision Tree）。

第4章决策树

4.1基本流程

一棵决策树包含一个根节点、若干个内部节点和若干叶节点；叶节点对应于决策结果，其他每个节点对应与一个属性测试；

决策树的目的是为了产生一棵泛化能力强，即处理未见示例能力强的决策树。

决策树的构造：
决策树的构造是一个递归的过程，有三种情形会导致递归返回：

(1) 当前结点包含的样本全属于同一类别，这时直接将该节点标记为叶节点，并设为相应的类别；
(2) 当前属性集为空，或是所有样本在所有属性上取值相同，无法划分，这时将该节点标记为叶节点，并将其类别设为该节点所含样本最多的类别；
(3) 当前结点包含的样本集合为空，不能划分，这时也将该节点标记为叶节点，并将其类别设为父节点中所含样本最多的类别。

算法的基本流程如下图所示：

可以看出：决策树学习的关键在于如何选择划分属性，不同的划分属性得出不同的分支结构，从而影响整颗决策树的性能。属性划分的目标是让各个划分出来的子节点尽可能地“纯”，即属于同一类别。因此下面便是介绍量化纯度的具体方法，决策树最常用的算法有三种：ID3，C4.5和CART。

4.2 划分选择

问题描述：如何选择最优划分属性.一般而言，随着划分过程的进行，我们希望决策树的分支节点所包含的样本尽可能属于同一类别.

1、信息增益(决策树ID3训练算法)

1、信息与熵的概念和度量

熵：一种事件的不确定性称为熵。比如刮刮乐，没刮之前不知道结果，熵最大；
信息：消除不确定性的物理量。消除方法有：调整概率、排除干扰、确定情况
噪声：不能消除某人对某事件不确定的实物
数据：噪声+信息

2、信息熵(information entropy)如何度量？

等概率分布： $n=log_{2}^{m}$
8个等概率的不确定情况，相当于抛3个硬币，熵为3bit
4个等概率的不确定情况，相当于抛2个硬币，熵为2bit
假设有m种等概率的不同情况，m=2^k，那么 $n=log_{2}^m=k(bit)$

非等概率分布(一般分布): $Ent(D)=-\sum_{k=1}^{|y|}p_{k}log_{2}^{p_{k}},其中|y|表示类别数$

3、信息如何量化？

得知信息前后，熵的差额，就是信息的量。
比如：ABCD 四个选项，一开始的熵为2bit，当得知C有一半正确时，A(1/6),B(1/6),C(1/2),D(1/6) 此时的熵为：1.79，则信息为0.21bit

4、信息增益

信息增益表示了属性a对样本集D划分所获得的纯度越大(尽可能归属同一类别)。ID3决策树算法就是以信息增益为准则来选择划分属性。

G a i n (D, a) = E n t (D) - \sum_{v = 1}^{V} \frac{| D^{v} |}{| D |} E n t (D^{v}) 解 释 ： G a i n (D, a) : 通 过 属 性 a 对 样 本 集 D 进 行 划 分 的 信 息 增 益 V ： 属 性 a 的 取 值 个 数 ， D^{v} ： 属 性 值 v 的 样 本 集

$Gain(D,a)=Ent(D)-\sum_{v=1}^{V}\frac{|D^{v}|}{|D|}Ent(D^{v}) \\解释：Gain(D,a):通过属性a对样本集D进行划分的信息增益 \\V：属性a的取值个数，D^{v}：属性值v的样本集$

5、西瓜数据集2.0案例，演示ID3算法

步骤：

2、增益率(C4.5算法)

信息增益准则对可取值数目较多的属性有所偏好，为减少这种偏好可能带来的不利影响，著名的C4.5决策树算法不直接使用信息增益，而是使用 “增益率”来选择最优划分属性。

增 益 率 定 义 ： G a i n_r a t i o (D, a) = \frac{G a i n (D, a)}{I V (a)} 其 中 ： I V (a) = - \sum_{v = 1}^{V} \frac{| D^{v} |}{| D |} l o g_{2} \frac{| D^{v} |}{| D |} ， 称 为 属 性 a 的 固 有 值 .

$增益率定义：Gain\_ratio(D,a)=\frac{Gain(D,a)}{IV(a)} \\其中：IV(a)=-\sum_{v=1}^{V}\frac{|D^{v}|}{|D|}log_{2}\frac{|D^{v}|}{|D|}，称为属性a的固有值.$

属性a的可能取值数目越多(即V越大)，则IV(a)的值通常会越大。

增益率准则对可取值数较少的属性有所偏好，因此C4.5并不是选择增益率最大的候选划分属性，而是使用一个启发式：先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的。

3、基尼指数(CART算法)

CART算法使用"基尼指数"(Gini index)来选择划分属性。数据集D的纯度用基尼值来度量：

G i n i (D) = \sum_{k = 1}^{| y |} \sum_{k^{^{'}} \neq k} p_{k} p_{k^{^{'}}} = 1 - \sum_{k = 1}^{| y |} p_{k}^{2}

$Gini(D)=\sum_{k=1}^{|y|}\sum_{k^{'}\neq k}p_{k}p_{k^{'}}=1-\sum_{k=1}^{|y|}p_{k}^{2}$

直观来说，Gini(D)反映了从数据集D中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率.因此Gini(D)越小，则数据集D的纯度越高。

属性a的基尼指数：

G i n i_i n d e x (D, a) = \sum_{v = 1}^{V} \frac{| D^{v} |}{| D |} G i n i (D^{v})

$Gini\_index(D,a)=\sum_{v=1}^{V}\frac{|D^{v}|}{|D|}Gini(D^{v})$

于是，我们在候选属性集合A中，选择哪个使得划分后基尼指数最小的属性作为最优划分属性， $a_{*}=arg_{a\in A}\space min\space Gini\_index(D,a)$

CART算法回归树，待定

4.3 剪枝处理

目的：防止过拟合

基于信息增益准则生成的决策树：

训练集与验证集在决策树上的情况

1、预剪枝

自上而下，能减则减

预剪枝分析：

2、后剪枝

自下而上，能不减则不减

3、对剪枝细节的补充

1、每次计算验证集精度时，是考虑了所有验证集的样本，不是某一分支下的样本数。

4.4连续与缺失值

1、连续值处理

C4.5算法下有：二分法

属性a的取值连续，比如从1到100，并分成 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$
根据二分法，则取 $t=\frac{a_{i}+a{j}}{2},i与j相邻$ ，故此时的信息增益表示为：

G a i n (D, a) = m a x G a i n (D, a, t), t = 1, 2, 3 其 中 t_{1} == \frac{a_{1} + a 2}{2}; t_{2} == \frac{a_{2} + a 3}{2}; t_{3} == \frac{a_{3} + a 4}{2};

$Gain(D,a)=max\space Gain(D,a,t),t=1,2,3\\ 其中t_{1}==\frac{a_{1}+a{2}}{2};t_{2}==\frac{a_{2}+a{3}}{2};t_{3}==\frac{a_{3}+a{4}}{2};$

2、缺失值处理

C4.5例子

注:
1、思绪梳理：按去除缺失值的样本计算信息增益，再对信息增益放大到整个样本进行权重处理。
2、 $\frac{14}{17}$ 有两种解释：1、对缺失值的惩罚；2、样本数减少，信息增益也减少

其他方法：
离散值：众数填充；相关性最高的列填充
连续值：中位数；相关性最高的列做线性回归进行估计

4.5多变量决策树

普通决策树

普通决策树的特点：形成的分类边界有一个明显的特点:轴平行(axis- parallel) ，即它的分类边界由若干个与坐标轴平行的分段组成.
然而真实分类边界比较复杂。"多变量决策树"可以实现斜划分

多变量决策树

在多变量决策树的学习过程中，不是为每个非叶结点寻找一个最优划分属性，而是试图建立一个合适的线性分类器。

4.6阅读资料

决策树有很多算法：
ID3 ; C4.5 ; CART ; C4.5Relu ; 多变量决策树算法OC1(贪心寻找每个属性的最优权值；线性分类器最小二乘法) ；感知机树（决策树的叶节点上嵌入神经网络）；

泛化能力影响：
剪枝方法：有实验研究表明，在数据具有噪声的情况下，通过剪枝可提高25%的性能

参考资料

知乎：决策数算法的Python实现-黄耀鹏
youtube:StatQuest
hands on machine learning 2nd
西瓜书
知乎：Yjango视频
A Mathematical Theory of Communication By C.E.SHANNON 1948

posted @ 2023-10-10 00:16 AlexanderOscar 阅读(65) 评论(0) 编辑收藏举报

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