拉格朗日乘子

在数学 最优化 问题中, 拉格朗日乘数（以 约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名） 是一种寻找变量受一个或多个限制的多元方程的极值的方法。 这种方法将一个有n 变量与 k 约束的问题转换为一个更易解的n + k个变量的方程组，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的斜率（gradient）的线性组合里每个向量的系数。

此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。

先看一个二维的例子：假设有方程： f(x,y)，要求其最大值，且

c 为常数。对不同d_n的值，不难想象出

的等高线。而方程g的等高线正好是g(x,y) = c。想象我们沿着g = c的等高线走；因为大部分情况下f和g的等高线不会重合，但在有解的情况下，这两条线会相交。想象此时我们移动g= c上的点，因为f是连续的方程，我们因此能走到更高或更低的等高线上，也就是说d_n可以变大或变小。只有当g = c和相切，也就是说，此时，我们正同时沿着g = c和走。这种情况下，会出现极值或鞍点。

气象图中就很常出现这样的例子，当温度和气压两列等高线同时出现的时候，切点就意味着约束极值的存在。

用向量的形式来表达的话，我们说相切的性质在此意味着f和g的斜率在某点上平行。此时引入一个未知标量λ，并求解：

且 λ ≠ 0.

一旦求出λ的值，将其套入下式，易求在无约束极值和极值所对应的点。

 = 

新方程F(x,y)在达到极值时与f(x,y)相等，因为F(x,y)达到极值时g(x,y) ? c总等于零。

运用方法

 

如f定义为在Rⁿ上的方程，约束为g_k(x) = c（或将约束左移得到g_k(x) ? c = 0）。定义拉格朗日Λ为

注意极值的条件和约束现在就都被记录到一个式子里了：

和

拉格朗日乘数常被用作表达最大增长值。原因是从式子：

中我们可以看出λ_k是当方程在被约束条件下，能够达到的最大增长率。 拉格朗日力学就使用到这个原理。

拉格朗日乘数法在Karush-Kuhn-Tucker最優化條件被推广。

很简单的例子

求此方程的最大值：

f(x,y) = x²y

同时未知数满足

x² + y² = 1

因为只有一个未知数的限制条件，我们只需要用一个乘数λ.

g(x,y) = x² + y² - 1

Φ(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y) = x²y + λ(x² + y² - 1)

将所有Φ方程的偏微分设为零，得到一个方程组，最大值是以下方程组的解中的一个：

2xy + 2λx = 0

x² + 2λy = 0

x² + y² - 1 = 0

 

另一个例子

求此离散分布的最大熵：

所有概率的总和是1，因此我们得到的约束是g(p) = 1 即

可以使用拉格朗日乘数找到最高熵（概率的函数）。对于所有的k 从1 到 n, 要求

由此得到

计算出这n个等式的微分，我们得到：

这说明p_i 都相等 (因为它们都只是 λ 的函数). 解出约束 ∑_k p_k = 1, 得到

因此，使用均匀分布可得到最大熵的值。