博弈论总结

博弈论定义

博弈论，是经济学的一个分支，主要研究具有竞争或对抗性质的对象，在一定规则下产生的各种行为。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。

以上摘自 OI-Wiki。

具体来说，博弈论是一个二人不断进行决策的过程。

博弈论的分类

博弈论分为三类：

1. 公平组合游戏。
2. 非公平组合游戏。
3. 反常游戏（又被称为 Anti SG）。

这里只介绍公平组合游戏。

公平组合游戏#

定义如下：

1. 游戏有两个人参与，两人分别作出决策，两人在游戏过程中均知道游戏的全部信息。
2. 两人能够做出的决策仅与当前局面有关，与其它因素无关（如游戏者，时间等）。
3. 游戏中的某个状态不可多次抵达，以玩家无法移动为结束，且游戏一定会在有限步后以非平局结束。

博弈论的基本原理

对于一个人要进行操作的某个状态 $x$，我们定义它为必胜态，当且仅当 $x$ 存在一个后继状态 $p$ 为必败态，定义它为必败态，当且仅当 $x$ 任意一个后继状态 $p$ 为必胜态。特殊的，没有后继状态的 $x$ 为必败态。

以上为做博弈论的基本原理，所有模型都是由这个定理推出。

Nim 游戏

题目大意：给定 $n$ 堆石子，每堆石子有 $a_i$ 个，双方可以从一堆非空石堆中选取任意正整数个，当谁无法操作时，谁就输了，问先手必胜还是后手必胜。

结论：如果 $\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{a}_i=0$，那么后手必胜，否则，先手必胜。

证明：

考虑终止状态的异或和肯定为 $0$，那么终止状态符合结论。

分 $x$ 是必胜态和必败态讨论：

1. $x$ 是必胜态，那么如果异或和不为 $0$，那么总可以找到一个 $<a_i$ 的数，使得之后异或为 $0$。
2. $x$ 是必败态，那么如果异或和为 $0$，那么总可以找到一个 $<a_i$ 的数，使得之后异或不为 $0$。

根据终止状态，逆推即可。

翻棋子游戏

题目大意：给定一个棋盘，每个格子上有一个棋子。两人轮流操作，每次可以选择一个正面朝上的棋子 $(x,y)$，然后选择一个格子 $(x,a)$ 或者 $(b,y)$，其中 $0\le a\le y,0\le b\le x$，将这个棋子与 $(x,y)$ 一起翻转，无法操作的人输，问先手必胜还是后手必胜。

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考虑纵坐标和横坐标是独立的，所以分开来看，发现去掉正面反面的限制，就是一个 $2\times n$ 的 Nim 游戏，我们发现一个棋子翻两次等于没翻，所以没有影响，还是做 $2\times n$ 的 Nim 游戏。

SG 函数

首先我们要了解 Mex 运算。

Mex 运算#

设 $S$ 为一个可重非负整数集合，那么：

$$\text{mex}(S)=\underset{x\in \mathbb{N},x\notin S}{min}x$$

即 $S$ 中没有出现的最小的非负整数。

SG 函数的定义#

在公平组合游戏中，我们定义状态 $x$ 的 SG 为所有后继状态 SG 的 Mex，定义终止状态的 SG 为 $0$，对于有向图游戏中，一张有向图 $G$ 的 SG 值为决策起点 $s$ 的 SG 值。

有向图游戏的和#

对于一个游戏 $G$，可以抽象为在 $n$ 个图上进行决策，设这 $n$ 个有向无环图为 $G_1,G_2,...G_n$，那么规则为：

• 选择任意一个有向图 $G_i$，并且在它上面做一步决策。

当每个有向图游戏都无法进行决策时，此时必败。

SG 定理#

参考有向图游戏的定义，那么 $SG(G)$ 于子游戏的 SG 满足如下关系：

$$SG(G)=\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}SG(G_i)$$

如果 $SG(G)$ 为 $0$，那么先手必败，否则，先手必胜，具体证明可以参考 Nim 游戏的证明。