Codeforces 专区

Codeforces Round #932（Div.2）

怎么只会 A 啊。

$\text{Problem A}$#

题目大意#

对于一个字符串 $s$，可以进行 $n$ 次操作（$n$ 为偶数），每次操作有两种形式：

1. 令 $t$ 为 $s$ 的反串，$s=s+t$。
2. 令 $t$ 为 $s$ 的反串，$s=t$。

要求操作完后 $s$ 的字典序最小，并输出 $s$。

$1\le n\le {10}^9,1\le |s|\le 100$。

题目思路#

考虑到一个字符串越短越好，所以我们尽量是用第二种形式的，发现如果 $s$ 比 $s$ 的反串的字典序要小，那么进行 $n$ 次操作 $2$ 后必然还是 $s$，显然是字典序最小的。

但是如果 $s$ 比 $s$ 的反串的字典序要大，那么显然最优的做法是第一次进行操作 $1$，后面进行操作 $2$，否则到最后就反不到字典序最小的串了，具体来说，答案就是 $s$ 的反串拼上 $s$。

$\text{Problem B}$#

题目大意#

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$，要求分成若干段（段数不为 $1$），使得每段的 $\text{mex}$ 相同。

$1\le n\le {10}^5,0\le a\le n$。

题目思路#

对于区间仔细分析后发现是可以合并的，具体来说：

• 对于 $\text{mex}(i,k)=\text{mex}(k+1,j)=x$，可以得出 $\text{mex}(i,j)=x$。

简单证明一下就是考虑 $[i,k]$ 中没有出现 $x$，$[k+1,j]$ 中也没有出现 $x$，那么 $[i,j]$ 中也没有出现 $x$，因此得 $\text{mex}(i,j)=x$。

那么问题就变得很简单了，因为划分 $k$ 段合法是划分 $2$ 段合法的充分条件，所以只要能划分出 $2$ 段就可以了，预处理前缀/后缀 $\text{mex}$ 就好了。

$\text{Problem C}$#

题目大意#

给你 $n$ 个二元组 $(a_i,b_i)$，要求从中选出 $k$ 个二元组并任意打乱，设其下标集合 $S=\{p_1,p_2,...,p_k\}$，要求在 $\sum _{i=1}^k{a}_i+\sum _{i=2}^k|b_{p_i}-b_{p_{i-1}}|\le l$ 的情况下将 $k$ 最大化。

$1\le n\le 2000$。

题目思路#

我们考虑一个事情，如果选出了 $k$ 个且下标集合 $S=\{p_1,p_2,...,p_k\}$，那么当 $p_1\le p_2\le ...\le p_k$ 的时候是这个集合所有顺序排列中值最小的，此时的代价是 $\sum _{i=1}^k{a}_i+b_{p_k}-b_{p_1}$。

因此我们考虑枚举这个集合中的下标最小值和下标最大值，在这中间，很明显元素是按照 $a$ 的大小从小往大放，直到放到不能放为止，这可以用堆来做，发现是三方的，然后我们在枚举最大值的时候顺便加进去计算，时间复杂度就是 $O(n^2{\log }_{2}n)$。

$\text{Problem D}$#

题目大意#

给定一个大小为 $n$ 的集合 $S$，其中元素大小 $\le c$，问满足以下条件的数对 $(x,y)$ 的个数有多少对：

1. $x,y\in \mathbb{Z},0\le x\le y\le c$。
2. $x+y\notin S,y-x\notin S$。

$1\le n\le 3\times {10}^5,0\le c\le {10}^9$。

题目思路#

首先发现这个一看就很容斥的样子，考虑容斥完我们要计算什么：

$$ans=\sum _{i=0}^c\sum _{j=i}^{c}1-\sum _{i=0}^c\sum _{j=i}^c[i+j\in S]-\sum _{i=0}^c\sum _{j=i}^c[j-i\in S]+\sum _{i=0}^c\sum _{j=i}^c[i+j\in S]\times [j-i\in S]$$

考虑第一项的值，就是 $\frac{(c+1)(c+2)}{2}$。

考虑第二项的值，发现对于每一个 $i\le \frac{s_i}{2}$，都有一个与之对应的 $j$，就是 $\sum _{i=1}^n(\frac{s_i}{2}+1)$。

考虑第三项的值，发现对于每一个 $s_i\le i\le c$，都有一个与之对应的 $j$，就是 $\sum _{i=1}^n(c-s_i+1)$。

考虑第四项的值，在此之前，我们要想明白一个事情，对于一对 $(i,j)$ 如果产生贡献，那么只会对应到一组 $(s_x,s_y)$ 上，换句话说，$i=\frac{s_x-s_y}{2},j=\frac{s_x+s_y}{2}$，当且仅当满足这个条件，才会对答案产生贡献，不难发现就是奇数的 $s$ 两两组合，偶数的 $s$ 两两组合。

然后直接计算即可。

Codeforces Round #919（Div.2）

怎么只会 A, B, D 啊。

感觉越打越智慧了。

$\text{Problem A}$#

题目大意#

给你 $n$ 个限制，有下面三种形式：

• $x$ 要大于等于给定数 $k$。
• $x$ 要小于等于给定数 $k$。
• $x$ 要不等于给定数 $k$。

问你满足条件的整数 $x$ 有多少个。

$1\le n\le 100$。

题目思路#

这个很显然就是求出前两种限制的限定范围，然后看这个限定范围内有多少数不可以选，然后就没了。

$\text{Problem B}$#

题目大意#

Alice 和 Bob 轮流操作一个长度为 $n$ 的序列 $a$，操作如下：

• Alice 可以选取 $k$ 个数字并删掉它们。
• Bob 可以选取 $x$ 个数字使它们乘上 $-1$。

现在 Alice 先操作一次，Bob 后操作一次，Alice 想要最大化 $a$ 的总和，Bob 想要最小化 $a$ 的总和，问你最终 $a$ 的总和是多少（Alice 和 Bob 都绝顶聪明）。

$1\le n\le 2\times {10}^5$。

题目思路#

考虑这么一个事情，那就是在 Alice 操作完后，Bob 一定会选择 $a$ 中最大的 $x$ 个数使其变为相反数，那么只需要在 Alice 的所有取数情况中对最终情况求一个最大值即可。不难发现，Alice 要阻止 Bob 选择大的数，就要删掉最大的一段前缀，但是删多了可能会不优，所以你去枚举删了多少个最大的前缀，再计算 Bob 最优取什么，最后在所有情况中取最大就好了。

$\text{Problem C}$#

题目大意#

对于一个长度为 $n$ 的序列 $a$，定义一个 $n$ 的正因子 $k$ 产生贡献当且仅当：

• 存在 $m>2$，使得令 $a_i=a_{i}modm$ ，并把 $a$ 依次分成 $\frac{n}{k}$ 个子串后，这 $\frac{n}{k}$ 个子串的每个位置的值依次相等。

问你有多少个 $k$ 能产生贡献。

$1\le n\le 2\times {10}^5$。

题目思路#

这个题妙妙。

考虑到 $n\le 2\times {10}^5$，我们去枚举 $n$ 的因子 $k$（$sqrtn$ 级别的），不难发现的一个性质就是如果 $xmodm=ymodm(x>y)$，那么 $m|x-y$，所以，我们对于每一个 $|a_{i+k}-a_i|$ 求最大公因数！这样每个位置的条件就都满足了，如果最大公因数等于 $1$，那就是不可行的。

不难得出时间复杂度为 $O(n\sqrt{n})$，实际上，这个复杂度只是上界，真实复杂度远远低于此复杂度（因为 $gcd$ 大概只需要 $2\log V$ 次就可以得到 $1$）。

$\text{Problem D}$#

题目大意#

对于一个最开始为空的序列 $a$，有 $n$ 次操作：

• 向末尾添加 $x$。
• 复制 $x$ 份 $a$ 并添加到末尾。

有 $q$ 次询问，每次询问第 $k$ 个位置的数是多少。

$1\le n\le {10}^5,1\le k\le {10}^{18}$。

题目思路#

最为简单的一道题目，一中好像考过加强版？

考虑到 $2$ 操作最多只有 $59$ 次，所以考虑直接暴力。

但是 $1$ 操作可能会有很多次，该怎么办呢？考虑直接把相邻的 $1$ 操作捆绑在一起，然后进行计算，这一步你可以直接计算操作完后的长度取模，也可以直接二分。

Codeforces Round #917（Div.2）

$\text{Problem B}$#

题目大意#

给定一个字符串 $s$，每次只能删第一个字符或者第二个字符，问任意次操作后能得出多少个不同的非空串。

题目思路#

这个题妙妙妙。

考虑到进行操作后只可能是一段后缀加前面的某个字符，又因为每个后缀长度不同，所以直接枚举即可。

$\text{Problem C}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

考虑到如果 $a_i$ 全为 $0$，肯定交替进行。

如果又初始值，那么初始操作不会超过 $2n$ 次，否则就可以用全为 $0$ 的做法代替了（因为一次贡献不超过 $n$）。

Codeforces Round #772（Div. 2）

$\text{Problem A}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

考虑到 $a|b\le a+b$，所以最优方案当然是一个赋值为 $0$，另一个赋值为 $p_i|p_j$，答案就是全部 $p_i$ 或起来。

$\text{Problem B}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

对于本题，显然，如果 $a_i$ 是那个数，那么可以 $a_{i+1}=max(a_i,a_{i+2})$，这样一次就能消掉两个数了，是最优的。

$\text{Problem C}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

首先观察样例不难发现，如果在 $a$ 不有序的情况下，若 $a_{n-1}>a_n$ 或者 $a_n<0$，那么无解。

考虑为什么，首先第一种是好证的，因为 $a_{n-1}$ 无法通过任意一次操作更改，而 $a_n<0$ 则是因为那样的话 $a_{n-2}$ 就填不了了。

然后考虑将前面 $n-2$ 个数全部赋值为 $a_{n-1}-a_n$，就做完了（这也是为什么不能 $a_n<0$ 的原因）。

$\text{Problem D}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

考虑每一次就是在二进制末尾加 $00$ 或者 $1$，进行 DP 判断加了多少位的方案数，发现是斐波那契数列，然后考虑如何处理重复的问题，如果一个数 $x$，删除了末尾可以删除的二进制位后，可以变为另外的个数（广义包含），那么就可以把这个数去掉，否则就保留。

贪心的想，先排序，最小的数一定会带来最大的贡献。

Codeforces Round #727（Div. 2）

只会 A B C 捏。

$\text{Problem A}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

考虑每个点对答案的贡献，不难发现是：

$$\sum _{i=1}^{n}min(\lfloor \frac{t}{x}\rfloor ,n-i)$$

解释一下就是，我第 $i$ 个点后面最多有这么个可能被统计到答案里的。

不难发现是一段相等的数和一个等差数列，求和就完了。

$\text{Problem B}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

直接前缀和维护就完了。

$\text{Problem C}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

考虑每次就是连续一段数分组，每次想当于是花若干代价将两段连接起来，在贡献相等的情况下，当然是越小越好，所以按照这个贪心就好了。

$\text{Problem D}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

考虑按照 $b$ 从大到小排序，因为越小的就越要选。

然后在拿的过程中要注意能否拿 $b$ 小的了，能拿就拿（也可以拿一部分 $b$ 大的，再拿 $b$ 小的），排完序后发现是一个类似双指针的结构，然后扫一遍就做完了。

Codeforces Round #569（Div. 2）

$\text{Problem A}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

考虑其是由四个阶梯型组合而成，再把多余的给去掉就好了。

$\text{Problem B}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

考虑把所有数都变为负数，然后如果是奇数那么就选绝对值最大的数取正（可以证明减少贡献最小），然后就没了。

$\text{Problem C}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

CF 出原题？

考虑经过最多 $n$ 轮，最大值一定在队首，然后后面都是循环的，分两种类讨论就好了。

Codeforces Round #666（Div. 2）

$\text{Problem A}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

发现此要求等价于所有字母出现次数都能被 $n$ 整除，然后没了。

$\text{Problem B}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

考虑到合法的 $c$ 非常小，大概只有 ${10}^{1}5$ 开 $n$ 次方根那么大，然后就没了。

$\text{Problem C}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

构造题。

考虑刻画这一本质，就是最后一定有一次 $[1,n]$ 操作。

然后我们把 $[1,1]$ 加上 $n-a_1$，然后 $[2,n]$ 加上 $(n-1)\times a_i$，然后最后进行一次操作就能全部变为 $0$ 了。

$\text{Problem D}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

首先如果最大的一堆要比其它的大，那么肯定先手赢。

然后判断奇偶性，如果是奇数就是先手赢，偶数就是后手赢。

Codeforces Round #509（Div. 2）

$\text{Problem A}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

发现最差一定是买了 $max-min$ 个键盘，然后减去没被抢的，就是被抢的了。

$\text{Problem B}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

首先把 $c,d$ 都除以最大公约数，然后再二分最多能乘多少，取个最小值就好了。

$\text{Problem C}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

肯定是能选小的就选小的，然后用 set 模拟贪心的过程，二分一下就好了。

$\text{Problem D}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

这个肯定就最优肯定是从一段上升区间开头的，然后维护下前缀和，二分一下，注意一下细节就好了。

$\text{Problem E}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

不难证明，如果能构造出一棵非链树，那么一定可以构造出一种链。

然后构造链就贪心的去选就好了，不难发现始终有一个数是 $n$。

Codeforces Round #495（Div. 2）

$\text{Problem A}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

考虑钦定 $x$ 为到新建酒店最小的，那么一共就只有 $2\times n$ 种新建酒店的方式，暴力枚举就好了。

$\text{Problem B}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

考虑基本不等式，$0$ 与 $1$ 的差最小是最好的，那么我们选择 $01$ 交替填，容易发现给的询问没有屁用。

$\text{Problem C}$#

题目大意#

自己可以看原题，

题目思路#

发现只有一种数的最后一个数的贡献最容易统计，记录一下前缀出现不同的数的个数就好了。

$\text{Problem D}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

我写了题解，可以去看，CF1004D。

Codeforces Round #404（Div. 2）

$\text{Problem A}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

就直接模拟就好了。

$\text{Problem B}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

贪心的想，肯定是选越远越好的，然后求一下最大最小就做完了。

$\text{Problem C}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

首先如果 $n\le m$，那么直接输出 $n$。

如果 $n>m$，那么前 $m$ 天肯定平安无事，从后面开始满足单调性，然后二分就可以了。

注意高精度。

$\text{Problem D}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

首先我们枚举前一半的终止位置在哪里，然后钦定这个位置为最后一个，那么位置 $i$ 答案就是：

$$\sum _{i=0}^{min(a-1,b-1)}{C}_{a-1}^i\times C_{b-1}^{i+1}$$

然后我们把组合数的第一个利用对称性转化，然后利用范德蒙德卷积的标准形式进行整合，就可以做到 $O(n)$ 了，这个东西我特意在 Trick 合集里写了。

Codeforces Round 965 (Div. 2)

每一道题目应该被铭记，每一次思考应该被珍惜。

$\text{C}$#

题目大意#

自己可以看原题。

题目思路#

考虑讨论一下贡献，发现除了非中位数位置上的数都是 $a_i+a_{m}id$，这样的话我们当然是选一个最大值最好。

然后有 $k$ 次操作，我们一定只有两种分配方式：

• 全部分配给最大值。
• 全部分配给中位数。

因为如果两者都分配很明显肯定不是最优的。

然后如果要增加最大值我们就直接选一个最大的 $b=1$ 的元素一直磊就好了。

如果要增加中位数的话这个问题不太好处理，我们，可以二分最大的中位数，这样一定是每次把最大的 $b=1$ 挪到前面来（就是选择 $<x$ 且 $b=1$ 的数一直增加到 $x$），然后我们 Check 一下中位数是否 $>ans$，然后就可以二分了，这个东西很明显具有单调性但是我没有做出来。