网络流 & 二分图の学习笔记

\(\mathfrak{Part} \ 0\) 前言

因为最近一直在学网络流与二分图，所以写一下留作纪念（其实就是怕自己东西全忘光了）。

\(\mathfrak{Part} \ 1\) 网络流 & 二分图基础

首先让我们介绍一下二分图是什么，基本定义如下：

• 如果一张无向图，能够分为两个互不相交的点集 \(A, B\)，且对于任意一条边 \((u, v)\)，都有 \(u \in A, v \in B \vee u \in B, v \in A\)，那么这张图就叫二分图。当然点集可能有多种划分方式。

然后来讲一下二分图的判定方法：

• 如果一张无向图没有长度为奇数的环，那么这张图就是一张二分图。

然后介绍一下网络流的概念，这里讲述一下抽象定义：

• 对于一张有向图，每条边都有一个容量 \(c(u, v)\) 和一个不固定的流量 \(f(u, v)\)，而且还有一个源点和一个汇点，满足以下性质：

1. 容量限制，即 \(f(u, v) \le c(u, v)\)。
2. 流量守恒，即对于每个不是源点和汇点点 \(i\) 都有 \(\sum\limits_{x \to i}f(x, i) = \sum\limits_{i \to y}f(i, y)\)，且源点流出的流量与汇点接受到的流量相等。

就相当于河道问题。

至于这里大家可以自学以下二分图的匈牙利求最大匹配算法和 Dinic/EK 求最大流/费用流算法。一些基本概念：增广路，残量网络等在此不做讲解。

\(\mathfrak{Part} \ 2\) 二分图的基本问题

\(\mathfrak{Part} \ 2.1\) 二分图的最大匹配

首先是一切的基础：二分图最大匹配问题。定义如下：

• 找到最多的边数，使得这些边都没有共同的端点。

然后我们可以使用匈牙利算法 A 了这道题。同样我们使用网络流也可以做，就是把源点连向左点集里的点，右点集的点连向汇点，然后边权为 \(1\) 跑最大流就 OK 了。

接下来讲讲如何输出方案：考虑对于右部点我们匈牙利都有一个 \(match\)，然后直接输出就行了，而网络流则是找剩余流量为 \(0\) 的边。

然后讲一下建模方法：就是取得两个点不能相同（也对应端点不同），记住这句话很关键！！！

接下来讲讲矩阵游戏这道题怎么做：我们发现对角线上的点横竖都是不相同的，而且交换行或列都不会改变元素集合，所以我们考虑如果一个点为 \(1\)，那么对应的行向列连边，跑最大匹配就行了，看，是不是 “不相同” 这个字眼非常的关键，只不过隐藏在对角线里了。

还有一道题目叫小狗散步，相对比较简单，可以独立完成。

\(\mathfrak{Part} \ 2.2\) 二分图的最小点覆盖

然后是最小点覆盖问题，基本定义如下：

• 选取最少点的个数，使其能覆盖所有的边，或者这么说，对于一条边，要么选其中一个端点，要么两个都选，不能不选。

然后就是著名的 König 定理，要说的内容只有一个：最小点覆盖 = 最大匹配，定理内容如下：

• 考虑如果设最大匹配为 \(a\)，最小点覆盖为 \(b\)，那么最大匹配中的每条边一定能够覆盖所有的端点（最大匹配的定义），则 \(b \ge a\)，从最小点覆盖的点集中，每个点可以射出一条边形成一组最大匹配，所以 \(b \le a\)，由此可知，\(b = a\)。

主要证明方法就是构造。

然后建模思路基本一致：每条 "边" “至少” 要选一个 “端点”。

然后讲一道板题，但是要输出方案，题号为 P7086，考虑怎么输出，对于每个右部点，如果 \(match = 0\)，那么进行 DFS，对于 DFS 内部，我们给遍历到的结点打标记，如果这个点是右部点，那么走非匹配边，否则就走匹配边。这样，左部打了标记的点可以加入点集，右部没打标记的点不能加入点集。至于这道题的建模，就是前缀往后缀连边啦！

\(\mathfrak{Part} \ 2.3\) 二分图的最大独立集

然后是最小点覆盖的相反面，最大独立集，基本定义如下：

• 选出一个点集，使得任意两点之间没有连边。

不难发现最大独立集 = \(n\) - 最小点覆盖，所以如果最大独立集需要你输出方案，那么就是最小点覆盖的方案之外的其他点就是了。

相比最小点覆盖，经典的建模是两点之间互相不能攻击，这种建模方法常常用在网格图中，对于一般网格图，我们可以黑白染色，然后跑最大匹配，但是对于一些特殊题目而言，需要我们使用不同的染色方法。

比如说长脖子鹿这道题，我们就不能进行普通的黑白染色，而是对于行的奇偶性黑白染色，不难发现这样的正确性。

\(\mathfrak{Part} \ 2.4\) 最大团问题

然后讲一下最大团，基本定义如下：

• 对于一张无向图，我们找出若干个可以相同的点集，使得两两之间，我们通常把点数和称作最大团。

对于一个最大团，我们该如何求呢，一个结论是：

• 原图上的最大团等同于补图上的最大独立集。

其中补图是把原图边的状态反过来。

然后我们看一道题目，新型城市化，这道题规定不超过两个最大团，所以它的补图一定是一张二分图，所以是在补图上跑最大匹配，求所有的删掉了最大匹配就会减一的边，明显可以在网络流的残余网络里跑 tarjan 找强连通分量，判断一条边能否被另一条替代就 OK 啦！