微积分 A(1) —— 导数与微分

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107 导数与微分

内容：

• 微分与导数的概念。
• 微分与导数的运算规律。
• 曲线与曲线的切线。

相关概念

微积分的核心思想是给函数在局部寻找简单近似。近似为常值函数引出了连续的概念，近似为线性函数引出了微分的概念。

线性函数

称 $L:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是 线性函数，若

$$\mathrm{\forall }x,y,\lambda \in \mathbb{R},L(x)+L(y)=L(x+y),L(\lambda x)=\lambda L(x)$$

一维线性函数是正比例函数 $L(x)=L(x\cdot 1)=xL(1)$。

内点

称 $x_0$ 为 $I$ 的内点，若

$$\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x,|x-x_0|<\delta ⟹x\in I$$

内点一定是聚点。聚点要求一串收敛到 $x_0$ 的点，内点要求 $x_0$ 完全在某个区间内。

可微和微分

设 $x_0$ 为 $I$ 的内点。称函数 $f:I\to \mathbb{R}$ 在 $x_0$ 处可微，指存在线性函数 $L$ 使得

$$f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+o(h),h\to 0$$

称 $L$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的 微分，记作 $\mathrm{d}f(x_0)$。

若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，则 $f(x)=f(x_0)+O(x-x_0),x\to x_0$，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续。可微一定连续，不连续一定不可微。

本质：在局部给非线性函数找线性近似，使误差是自变量变化量的高阶无穷小。于是线性函数的微分是它本身。

导数

一元函数的微分 $\mathrm{d}f(x_0)$ 是正比例函数，其比例系数记为 $f^{\prime }(x_0)$，称为 $f$ 在 $x_0$ 处的 导数。

$$\mathrm{d}f(x_0)(h)=f^{\prime }(x_0)h$$

微分是直线，导数是斜率。

可导

如果函数可微，则

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-f^{\prime }(x_0)h}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{o(h)}{h}=0$$

于是

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

若该极限存在，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导。一元函数可微等价于可导。

传统记号：记 $\mathrm{\Delta }x=h$，$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$。

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=:{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x_0}$$

例 $1$

$ax+b$ 的微分。

解

$$a(x+h)+b=(ax+b)+ah,h\to 0$$

所以

$$\mathrm{d}(ax+b)(h)=ah,(ax+b{)}^{\prime }=a$$

例 $2$

$x^n$ 的微分。

解

$$(x+h{)}^n=x^n+n{x}^{n-1}+o(h),h\to 0$$

所以

$$\mathrm{d}{x}^n(h)=n{x}^{n-1}h,(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$$

例 $3$

${\mathrm{e}}^x$ 的微分。

解

$${\mathrm{e}}^{x+h}={\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^h={\mathrm{e}}^x(1+h+o(h))={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{x}h+o(h),h\to 0$$

所以

$$\mathrm{d}{\mathrm{e}}^x(h)={\mathrm{e}}^{x}h,({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x$$

例 $4$

$\sin x$ 的微分。

解

$$\sin (x+h)=\sin x[1+o(h)]+\cos x[h+o(h)]=\sin x+\cos x\cdot h+o(h),h\to 0$$

所以

$$\mathrm{d}(\sin x)(h)=\cos x\cdot h,(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$

必须熟练使用微分的视角，因为用极限求导数的方法在自变量有多维时不适用。

单侧导数

导数计算式的左极限称为 左导数，右极限称为 右导数。

由极限存在当且仅当左右极限存在且相等，可知函数在一点处可导当且仅当左右导数存在且相等。

例 $5$

$|x|$ 不可微。

证明

$|x|$ 的左导数为 $-1$，右导数为 $1$，极限不存在。

运算性质

复合函数微分（链索法则）

若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，$g$ 在 $y_0=f(x_0)$ 处可微，则 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处可微，且

$$\mathrm{d}(g\circ f)(x_0)=\mathrm{d}g(y_0)\circ \mathrm{d}f(x_0)$$

$$(g\circ f{)}^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(y_0)f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)$$

理解：对于两个线性函数，它们的复合的比例系数为它们各自比例系数的乘积。对于两个可微函数，先在局部近似看成线性函数，再做复合，等价于先复合再近似成线性函数。复合的微分是微分的复合。

证明

已知

$$\begin{array}{r}f(x_0+h)-f(x_0)=ah+o(h),h\to 0\\ g(y_0+v)-g(y_0)=bv+o(v),v\to 0\end{array}$$

于是

$$\begin{array}{rl}& g(f(x_0+h))-g(f(x_0))\\ =& b(f(x_0+h)-f(x_0))+o(f(x_0+h)-f(x_0))\\ =& b(ah+o(h))+o(ah+o(h))\\ =& bah+o(h),h\to 0\end{array}$$

$◻$

证明中不严谨的地方：$v\to 0$ 要求 $v\ne 0$，但 $f(x_0+h)-f(x_0)$ 可能为 $0$。

解决方法：当 $v=0$ 时，$g(y_0+v)-g(y_0)-bv=0=o(0)$，等式依然成立。

例 $6$

$\cos x$ 的微分。

解

$$\mathrm{d}\cos x(h)=(\mathrm{d}\sin )(\frac{\pi }{2}-x)(\mathrm{d}(\frac{\pi }{2}-x)(h))=\cos (\frac{\pi }{2}-x)(-1)h=-\sin x\cdot h$$

例 $7$

$a^x$ 的微分。

解

$$\mathrm{d}{a}^x(h)=\mathrm{d}\left({\mathrm{e}}^{x\ln a}\right)(h)={\mathrm{e}}^{x\ln a}\ln a\cdot h=a^x\ln a\cdot h$$

反函数微分

设 $f$ 有连续反函数，$f$ 在 $x_0$ 处可微且 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$，则 $f^{-1}$ 在 $y_0=f(x_0)$ 处可微，且

$$\mathrm{d}(f^{-1})(y_0)=(\mathrm{d}f(x_0){)}^{-1}$$

证明

$$y-y_0=a(x-x_0)+o(x-x_0),x\to x_0$$

于是

$$x-x_0=\frac{1}{a}(y-y_0)+o(y-y_0),y\to y_0$$

$◻$

例 $8$

$\ln x$ 的导数。

解

$$(\ln y{)}_y^{\prime }=\frac{1}{({\mathrm{e}}^x{)}_x^{\prime }}=\frac{1}{{\mathrm{e}}^x}=\frac{1}{y}$$

例 $9$

$x^{\mu }$ 的导数。

解

$$(x^{\mu }{)}^{\prime }=({\mathrm{e}}^{\mu \ln x}{)}_x^{\prime }={\mathrm{e}}^{\mu \ln x}\mu \frac{1}{x}=\mu x^{\mu -1}$$

例 $10$

$\arcsin x$ 和 $\arccos x$ 的导数。

解

在 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 上 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x\ne 0$。设 $y=\sin x$，则 $x=\arcsin y$。

$$(\arcsin y{)}_y^{\prime }=\frac{1}{(\sin x{)}_x^{\prime }}=\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$$

另一种思路

$y=\arcsin x⟺x=\sin y$。等号两侧同时对 $x$ 求导，$1=\cos y\cdot y_x^{\prime }$。

于是

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=y_x^{\prime }=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

由 $\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x$ 可知 $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

四则运算（一）

设 $f,g$ 在 $x_0$ 处可微，则 $f+g,fg$ 在 $x_0$ 处可微，且

$$\begin{array}{rl}(f+g{)}^{\prime }(x_0)& =f^{\prime }(x_0)+g^{\prime }(x_0)\\ (fg{)}^{\prime }(x_0)& =f^{\prime }(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime }(x_0)\end{array}$$

第二行称为 Leibniz 公式。

证明

设 $f(x_0+h)=f(x_0)+ah+o(h),g(x_0+h)=g(x_0)+bh+o(h)$。

$$f(x_0+h)g(x_0+h)=f(x_0)g(x_0)+[f(x_0)b+g(x_0)a]h+o(h),h\to 0$$

$◻$

微分的形式不变性

如何理解 $f^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$：恒同映射 $\mathrm{id}$ 的函数值是 $x$ 自身。它是线性映射，其微分和它相等，$\mathrm{d}x(h)=h$。对 $y=f(x)$，$y$ 既代表函数值，又代表 $f$ 本身，于是

$$\mathrm{d}y(h)=\mathrm{d}f(x)(h)=f^{\prime }(x)h=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x(h)$$

因此

$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x$$

如果 $y=y(u)$ 和 $u=u(x)$ 可微，则链索法则可写为

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$$

写成微分即

$$\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\mathrm{d}u$$

无论 $y$ 作为变量 $x$ 的函数还是变量 $u$ 的函数，微分 $\mathrm{d}y$ 具有相同的形式 —— 微分的形式不变性。

反函数求导公式为

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}$$

Leibniz 的符号体系方便初学者记忆，但也有很强的迷惑性。不要做经验主义的驴。

四则运算（二）

设 $f,g$ 在 $x_0$ 处可微，$g(x_0)\ne 0$，则 $f/g$ 在 $x_0$ 处可微，且

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(x_0)=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{g(x_0{)}^2}$$

证明

$${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$$

于是 $\frac{f}{g}$ 可以看成 $f\cdot h(g)$，其中 $h=\frac{1}{x}$。使用链索法则和 Leibniz 公式即得。$◻$

例 $11$

$\tan x$ 和 $\cot x$ 的导数。

解

$$\begin{array}{rl}(\tan x{)}^{\prime }& =\frac{(\sin x{)}^{\prime }\cos x-(\cos x{)}^{\prime }\sin x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x\\ (\cot x{)}^{\prime }& =\frac{(\cos x{)}^{\prime }\sin x-(\sin x{)}^{\prime }\cos x}{{\sin }^{2}x}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-1-{\cot }^{2}x=-{\csc }^{2}x\end{array}$$

改除为乘（隐函数求导）

$y\cos x=\sin x$，于是

$$\begin{gathered} y^{\prime }\cos x-y\sin x=\cos x \\ ⟹y^{\prime }=1+y\tan x=1+{\tan }^{2}x \end{gathered}$$

以上运算性质的重要之处在于它提供了可微性的保证。

例 $12$

$\arctan x$ 的导数。

解

$y=\arctan x$，于是 $x=\tan y$，则

$$1=(1+{\tan }^{2}y)y_x^{\prime }=(1+x^2)y_x^{\prime }$$

因此

$$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

例 $13$（对数求导法）

$u,v,w,z$ 都是关于 $x$ 的可微函数，求 $\frac{u^{v}w}{z^2}$ 的导数。

解

记 $y=\frac{u^{v}w}{z^2}$，取对数

$$\ln |y|=v\ln |u|+\ln |w|-2\ln |z|$$

对 $x$ 求导

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{v{u}^{\prime }}{u}+v^{\prime }\ln u+\frac{w^{\prime }}{w}-\frac{2z^{\prime }}{z}$$

所以

$$y^{\prime }=\frac{u^{v}w}{z^2}(\frac{v{u}^{\prime }}{u}+v^{\prime }\ln u+\frac{w^{\prime }}{w}-\frac{2z^{\prime }}{z})$$

对数求导法的本质是 $(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$。对 $y=y(x)$，有 $|y|=|y(x)|$。将绝对值下放至每一项乘积因子，再求导，可保证每一项非负。需要特殊讨论 $y=0$ 的情况。

• 对数求导法的缺陷。

• 对微分形式不变性的理解。

初等函数都是可微函数。

曲线

定义

设 $\mathbf{x}(t)=(x_1(t),\cdots ,x_n(t))(a\le t\le b)$，其中每个 $x_k:[a,b]\to \mathbb{R}$ 连续，在 $(a,b)$ 内可微，$x_k^{\prime }(t)$ 连续。此时称 $\mathbf{x}(t)$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中一条 光滑曲线。

若对任意 $t\in [a,b]$，$x_k^{\prime }(t)$ 不全为 $0$，则称为 正则光滑曲线。

称 ${\mathbf{x}}^{\prime }(t_0)=(x_1^{\prime }(t_0),\cdots ,x_n^{\prime }(t_0))$ 为曲线在 $\mathbf{x}(t_0)$ 处的 切向量。$\mathbf{v}=\underset{t\to t_0}{lim}\frac{\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}(t_0)}{t-t_0}$，对一元映射也可以定义微分和导数。

称 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(t_0)+{\mathbf{x}}^{\prime }(t_0)s(s\in \mathbb{R})$ 为曲线在 $\mathbf{x}(t_0)$ 处的 切线。

与切向量正交的向量 $\mathbf{n}\in {\mathbb{R}}^n$ 称为曲线在 $\mathbf{x}(t_0)$ 处的一个 法向量。

称 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(t_0)+s\mathbf{n}(s\in \mathbb{R})$ 为曲线在 $\mathbf{x}(t_0)$ 处的一条 法线。

空间中的直线方程

过点 $A$，方向为 $\mathbf{v}$ 的直线：

$$\begin{array}{rl}& P-A=s\mathbf{v},s\in \mathbb{R}\\ & \frac{x_1-a_1}{v_1}=\cdots =\frac{x_n-a_n}{v_n}\end{array}$$

称为 点向式方程。在比例关系中，若 $v_k=0$，则 $x_k=a_k$。

过点 $A,B$ 的直线：

$$\begin{array}{rl}& (P-A)=s(B-A),s\in \mathbb{R}\\ & \frac{x_1-a_1}{b_1-a_1}=\cdots =\frac{x_n-a_n}{b_n-a_n}\end{array}$$

称为 两点式方程。

例 $14$

可微函数的图像是一条光滑曲线。

解

$(x(t),y(t){)}^{\prime }=(1,f^{\prime }(t))$ 不是零向量。

切线：$y=f(t_0)+f^{\prime }(t_0)(x-t_0)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。

法向量：$(f^{\prime }(t_0),-1)$。

法线：$\frac{x-x_0}{f^{\prime }(x_0)}=\frac{y-y_0}{-1}$，即 $f^{\prime }(x_0)(y-f(x_0))+(x-x_0)=0$。

例 $15$

$\sqrt{x}$ 不是可微函数，但 $y=\sqrt{x}$ 是一条光滑曲线。

例 $16$

在原点处与抛物线 $y=x^2$ 有共同切线的圆中，哪一个与抛物线最接近？

解

切线为 $x$ 轴，圆心在 $y$ 轴上，设圆方程为 $x^2+(y-c{)}^2=c^2$。

$$y=c-\sqrt{c^2-x^2}=c[1-(1-\frac{1}{2}\frac{x^2}{c^2}+o(x^2))]=\frac{x^2}{2c}+o(x^2)$$

解得 $c=\frac{1}{2}$。因此 $x^2+(y-\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4}$ 和 $y=x^2$ 在原点附近最接近。

定义圆的曲率为其半径的倒数。光滑曲线在一点处的曲率为密切圆的曲率。

如何计算密切圆？圆心在法线上，且圆的任何两条直径交于圆心。在当前点的附近取法线，和当前点的法线求交点，取极限。只在二维时有用。

例 $17$

计算圆 $x^2+y^2=1$ 的切线。

解

圆的参数方程为 $x(\theta )=\cos \theta ,y(\theta )=\sin \theta$。切线方程

$$\{\begin{array}{l}x=x(\theta )+s{x}^{\prime }(\theta )=x_0-s{y}_0\\ y=y(\theta )+s{y}^{\prime }(\theta )=y_0+s{x}_0\end{array}⟹x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)=0⟹x_{0}x+y_{0}y=1$$

另解

圆的参数方程为 $x(t)=\frac{1-t^2}{1+t^2},y(t)=\frac{2t}{1+t^2}$。

108 高阶导数

内容：

• 高阶导数的定义。
• 高阶导数的计算。
• 高阶导数的应用。

相关概念

高阶导数

若 $f$ 在区间 $I$ 内处处可微，则称函数 $f^{(1)}:=f^{\prime }:I\to \mathbb{R}$ 为 $f$ 的一阶 导函数。

若已有 $f$ 的 $n$ 阶导函数 $f^{(n)}$，且 $f^{(n)}$ 在 $x_0$ 处可导，则记 $f^{(n+1)}(x_0)=(f^{(n)}{)}^{\prime }(x_0)$ 称为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n+1$ 阶导数。

$f\in {\mathcal{C}}^n(I)$ 表示 $f^{(n)}$ 是 $I$ 上的连续函数。

$f\in {\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ 表示 $f$ 在 $I$ 上有任意阶导数。

用 Leibiniz 的符号表示高阶导数：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{x}^n}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cdots \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=f^{(n)}(x)$$

基本初等函数的高阶导数

$$\begin{array}{rl}({\mathrm{e}}^{\lambda x}{)}^{(n)}& ={\mathrm{e}}^{\lambda x}{\lambda }^n\\ (a^x{)}^{(n)}& =a^x(\ln a{)}^n\\ (\sin x{)}^{(n)}& =\sin (x+\frac{n\pi }{2})\\ (\cos x{)}^{(n)}& =\cos (x+\frac{n\pi }{2})\\ (x^{\mu }{)}^{(n)}& ={\mu }^{\underset{―}{n}}{x}^{\mu -n}\end{array}$$

运算性质

四则运算（一）

$$\begin{array}{rl}(\lambda f+\mu g{)}^{(n)}(x_0)& =\lambda f^{(n)}(x_0)+\mu g^{(n)}(x_0)\\ (fg{)}^{(n)}(x_0)& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}(x_0)g^{(n-k)}(x_0)\end{array}$$

证明即归纳。

复合函数

设 $f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，$g$ 在 $y_0=f(x_0)$ 处 $n$ 阶可微，则 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。

证明

对 $n$ 做数学归纳。假设 $n$ 时结论成立，设 $f$ 在 $x_0$ 处，$g$ 在 $y_0$ 处 $n+1$ 阶可微。则 $f^{\prime },g^{\prime }$ 在 $x_0,y_0$ 处 $n$ 阶可微。根据归纳假设，$g^{\prime }\circ f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，于是 $(g^{\prime }\circ f)\cdot f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。由链索法则 $(g\circ f{)}^{\prime }(x)=g^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x)$，所以 $(g\circ f{)}^{\prime }$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。$◻$

$(g\circ f{)}^{(n)}$ 是关于 $f^{\prime },f^{″},\cdots ,f^{(n)},g^{\prime }\circ f,g^{″}\circ f,\cdots ,g^{(n)}\circ f$ 的多项式。

复合函数的高阶导数公式（Faa di Bruno）

$$(g\circ f{)}^{(n)}(x)=\sum _{\sum i\cdot m_i=n}\frac{n!}{m_1!m_2!\cdots m_n!}\cdot g^{(m_1+\cdots +m_n)}(f(x))\cdot \prod _{j=1}^n{\left(\frac{f^{(j)}(x)}{j!}\right)}^{m_j}$$

当内层是一次函数时，$(g(ax+b){)}^{(n)}=g^{(n)}(ax+b)a^n$。

四则运算（二）

设 $f,g$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，且 $g(x_0)\ne 0$，则 $f/g$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。

例 $1$

$y=\frac{1}{1+x^2}$ 的高阶导数。

解（一）

$$(1+x^2)y=1$$

$$(1+x^2)y^{(n)}+n\cdot 2x{y}^{(n-1)}+n(n-1)y^{(n-2)}=0$$

得到递推关系

$$y^{(n)}=-\frac{2xn{y}^{(n-1)}}{1+x^2}-\frac{n(n-1)y^{(n-2)}}{1+x^2}$$

解（二）

$$y=\frac{1}{2\mathrm{i}}(\frac{1}{x-\mathrm{i}}-\frac{1}{x+\mathrm{i}})$$

$$y^{(n)}=\frac{1}{2\mathrm{i}}(\frac{n!(-1{)}^n}{(x-\mathrm{i}{)}^{n+1}}-\frac{n!(-1{)}^n}{(x+\mathrm{i}{)}^{n+1}})=\frac{n!(-1{)}^n}{2\mathrm{i}}\frac{(x+\mathrm{i}{)}^{n+1}-(x-\mathrm{i}{)}^{n+1}}{(1+x^2{)}^{n+1}}$$

反函数

设 $f$ 在区间 $I$ 上 $n$ 阶可微且 $f^{\prime }(x)\ne 0$（此时 $f$ 在 $I$ 上有连续的反函数），则 $f^{-1}$ 在区间 $f(I)$ 上 $n$ 阶可微。

证明

$$(f^{-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}}$$

归纳即可。$◻$

推论：所有初等函数都是 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ 函数。

例 $2$

推导反函数的二阶导数公式。

解

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{y}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{-\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}}{{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2}\frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=\frac{-y^{″}}{(y^{\prime }{)}^3}$$

对于写不出表达式的反函数，对反函数求导可以求出反函数在某点处的任意阶导数，得到 Taylor 展开的近似。如 $x(t)=t-\epsilon \sin t$。

应用

参数方程的高阶导数

设平面曲线 $(x(t),y(t))$ 二阶可微。若 $x^{\prime }(t)\ne 0$，则存在 ${\mathcal{C}}^2$ 的反函数 $t=t(x)$，从而 $(x,y(t(x)))$ 是以 $x$ 为自变量的函数图像。

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\right)=\frac{1}{x^{\prime }(t)}\left(\frac{y^{″}(t)x^{\prime }(t)-y^{\prime }(t)x^{″}(t)}{(x^{\prime }(t){)}^2}\right)=\frac{\left|\begin{array}{cc}{x}^{\prime }(t)& x^{″}(t)\\ y^{\prime }(t)& y^{″}(t)\end{array}\right|}{(x^{\prime }(t){)}^3}$$

曲线的曲率

$$\kappa =\frac{|det\left(\begin{array}{cc}{x}^{\prime }(t)& x^{″}(t)\\ y^{\prime }(t)& y^{″}(t)\end{array}\right)|}{{\left[\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}\right]}^3}$$

在现有工具下推导较复杂。

从物理的角度看，$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)\\ y^{\prime }(t)\end{array}\right)$，$\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}{x}^{″}(t)\\ y^{″}(t)\end{array}\right)$，$\frac{det(\mathbf{v},\mathbf{a})}{\Vert \mathbf{v}\Vert }$ 是 $\mathbf{v},\mathbf{a}$ 形成的平行四边形以 $\mathbf{v}$ 为底边的高，即法向加速度 ${\mathbf{a}}^{\perp }$ 的大小。得到 $\kappa =\frac{\Vert {\mathbf{a}}^{\perp }\Vert }{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}$.

从量纲的角度看，$\kappa$ 的量纲为 $L^{-1}$。因此它与时间无关，反映了运动的几何性质。对任意维度的空间曲线 $\mathbf{x}(t)$，$\kappa =\frac{|det({\mathbf{x}}^{\prime }(t),{\mathbf{x}}^{″}(t))|}{\Vert {\mathbf{x}}^{\prime }(t){\Vert }^3}$ 与曲线的参数表达无关，反映了曲线的几何性质，是曲线的曲率。

如何计算 $det(\mathbf{u},\mathbf{v})$（高维空间中 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 形成的平行四边形面积）？使用向量内积：

$$\sqrt{det\left(\begin{array}{cc}⟨\mathbf{u},\mathbf{u}⟩& ⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩\\ ⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩& ⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩\end{array}\right)}$$

于是高维空间中曲率的计算公式

$$\kappa =\frac{\Vert {\mathbf{a}}^{\perp }\Vert }{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}=\frac{\Vert {\mathbf{x}}^{″}(t)-\frac{⟨{\mathbf{x}}^{″}(t),{\mathbf{x}}^{\prime }(t)⟩}{⟨{\mathbf{x}}^{\prime }(t),{\mathbf{x}}^{\prime }(t)⟩}{\mathbf{x}}^{\prime }(t)\Vert }{\Vert {\mathbf{x}}^{\prime }(t){\Vert }^2}$$

109 微分中值定理

微分中值定理是连接导数的微观性质和函数的宏观性质的桥梁。

内容：

• 极值和驻点，Fermat 引理。
• 微分中值定理，Rolle-Cauchy-Lagrange。
• 应用：函数的单调性。
• 应用：用导数判断极值。

定理介绍

极值点和驻点

称 $x_0\in I$ 为 $f$ 的 极大值点，若存在 $x_0$ 的邻域 $V$ 使得 $\mathrm{\forall }x\in V\cap I,f(x)\le f(x_0)$。类似定义极小值点。

称 $x_0\in I$ 为 $f$ 的 临界点（驻点），若 $f^{\prime }(x_0)=0$。

导数与单调性（一）

若可微函数 $f$ 在 $(a,b)$ 上单调不减，$\mathrm{\forall }{x}_0\in (a,b)$，根据极限的保号性，$f^{\prime }(x_0)\ge 0$。因此，若 $f^{\prime }(x_0)<0$，则 $f$ 在 $x_0$ 的任意邻域内都不是单调不减，且存在 $\delta >0$ 使得

$$x_0-\delta <x_1<x_0<x_2<x_0+\delta ⟹\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}<0,\frac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}<0$$

于是

$$f(x_1)>f(x_0)>f(x_2)$$

即 $x_0$ 不是 $f$ 的极值点。

考虑

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+A{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0;\\ 0,& x=0.\end{array}$$

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}1+2Ax\sin \frac{1}{x}-A\cos \frac{1}{x},& x\ne 0;\\ 1,& x=0.\end{array}$$

当 $A>1$ 时，$f^{\prime }(\frac{\pm 1}{2k\pi })=1-A<0$，$f$ 在 $0$ 的任意邻域内非严格增。因此，$f^{\prime }(x)>0$ 不能说明 $f$ 在 $x$ 的邻域内单调不减。$x^2\sin \frac{1}{x}$ 常用于构造反例。

总结：（严格）单调则导数有对应（严格）符号。导数有对应符号则不一定单调。

Fermat 引理

设 $f$ 在极值点 $x_0$ 处可微，则 $x_0$ 是 $f$ 的临界点。

证明

若 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$，则 $x_0$ 的任意邻域中，$f(x_0)$ 都不是最大值或最小值，$x_0$ 不是 $f$ 的极值点。$◻$

Rolle 定理

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可微，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

推广的 Rolle 定理

设 $-\mathrm{\infty }\le a<b\le +\mathrm{\infty }$，$f$ 在 $(a,b)$ 内可微，且

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=A\in \mathbb{R}\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$$

则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

证明

假设存在 $x_0$ 使得 $f(x_0)\ne A$，否则 $f$ 为常值函数，结论成立。

不妨设 $f(x_0)<A$，则存在 $a<x_1<x_0<x_2<b$ 使得 $f(x_1)>f(x_0)$，$f(x_2)>f(x_0)$。

因为 $f$ 可微，所以 $f$ 连续，于是 $f$ 在有界闭区间 $[x_1,x_2]$ 上有最小值 $f(\xi )$，且 $\xi \in (x_1,x_2)$。于是 $\xi$ 是可微极值点。根据 Fermat 引理，$f^{\prime }(\xi )=0$。$◻$

Cauchy 微分中值定理

设 $-\mathrm{\infty }\le a\le b\le +\mathrm{\infty }$，$\alpha ,\beta ,A,B\in \mathbb{R}$，$f,g$ 在开区间 $(a,b)$ 内可微，且 $f$ 在 $a^{+}$ 和 $b^{-}$ 处的极限分别为 $\alpha ,\beta$，$g$ 在 $a^{+}$ 和 $b^{-}$ 处的极限分别为 $A,B$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得

$$f^{\prime }(\xi )(B-A)=g^{\prime }(\xi )(\beta -\alpha )$$

证明

令

$$F(x)=(f(x)-\alpha )(B-A)-(g(x)-A)(\beta -\alpha )$$

则 $F$ 在 $(a,b)$ 内可微且 $\underset{x\to a^{+}}{lim}F(x)=\underset{x\to b^{-}}{lim}F(x)=0$。由 Rolle 定理得证。$◻$

这里 $\alpha ,\beta ,A,B$ 都是极限而非函数的具体取值，这使得它的适用范围更广，如 L’ Hopital 法则的正确性证明。

Cauchy 微分中值定理的传统形式要求 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可微且 $g^{\prime }(x)\ne 0$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得

$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

Lagrange 微分中值定理

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可微，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得

$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

证明

取 $g(x)=x$，使用 Cauchy 微分中值定理即可。$◻$

Lagrange 中值定理也可以写成极限的形式。

总结

Cauchy 中值定理是 Lagrange 中值定理的参数方程形式。Lagrange 中值定理将 Rolle 定理水平化斜，且最常用。

微分中值定理的几何解释：可微曲线上任意两点之间存在切线与这两点所连的弦平行的点。

• 在任意一段平面运动过程中，存在速度与总位移平行的时刻。

• 对于参数曲线 $\{\begin{array}{l}x=t^3\\ y=t^2\end{array}$，曲线图像形如 $⋎$，此时 Cauchy 中值定理还有效吗？$x^{\prime }(0)=y^{\prime }(0)=0$。几何切线与速度向量不一定相同。

• Cauchy 微分中值定理的几何解释只适用于平面曲线，不适用于空间曲线。

应用

导数与单调性（二）

设 $f$ 在区间 $I$ 上连续，在 $I$ 内可微，则：

• $\mathrm{\forall }x\in I,f^{\prime }(x)\ge 0⟺$ $f$ 在 $I$ 上单调不减。
• $\mathrm{\forall }x\in I,f^{\prime }(x)=0⟺$ $f$ 在 $I$ 上为常值。
• $\mathrm{\forall }x\in I,f^{\prime }(x)>0⟹$ $f$ 在 $I$ 上严格增。

导数的非严格符号等价于函数的非严格单调性，但只能从导数的严格符号推出函数的严格单调性，反之则不行。反例：$f(x)=x^3$。

例 $1$

讨论函数 $f(x)=(1+\frac{1}{x}{)}^{x+a}$ 的单调性。

解

定义域 $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (0,+\mathrm{\infty })$。

以 $\mathrm{e}$ 为底换掉指数上的 $x$，即令 $f(x)={\mathrm{e}}^{g(x)}$，则 $g(x)=(x+a)\ln (1+\frac{1}{x})$ 且 $f,g$ 单调性相同。

$$g^{\prime }(x)=\ln (1+\frac{1}{x})+(x+a)(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x})$$

一阶导数较复杂，求二阶导。

$$g^{″}(x)=\frac{(2a-1)x+a}{x^2(x+1{)}^2}$$

若 $a=\frac{1}{2}$，则 $g^{″}(x)>0$，$g^{\prime }(x)$ 在定义域的每个区间上 是严格增函数。计算得 $g^{\prime }(\pm \mathrm{\infty })=0$，于是 $g^{\prime }$ 在 $(-\mathrm{\infty },-1)$ 上大于 $0$，在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上小于 $0$。因此 $g$ 在 $(-\mathrm{\infty },-1)$ 上严格增，$f$ 从 $\mathrm{e}$ 增加到 $+\mathrm{\infty }$；在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上严格减，$f$ 从 $+\mathrm{\infty }$ 减小到 $\mathrm{e}$。

$a\ne \frac{1}{2}$ 的情况留作练习。

讨论单调性时需要写单调区间和值域范围。

例 $2$

求参数 $a,b$ 的范围，使得对任意 $x>-1$ 且 $x\ne 0$，都有 $\frac{x}{1+ax}<\ln (1+x)<\frac{x}{1+bx}$。

解

研究 $f_a(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{1+ax}$ 恒为正或恒为负。

$$f_a^{\prime }(x)=\frac{x[a^2(x+1)-(a-1{)}^2]}{(x+1)(1+ax{)}^2}$$

当 $a=0$ 时，$f_0^{\prime }(x)=\frac{-x}{1+x}$，在 $(-1,0)$ 上大于 $0$，$f$ 单调增；在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上小于 $0$，$f$ 单调减。因为 $f_0(0)=0$，所以对任意 $x>-1$ 且 $x\ne 0$ 都有 $f_0(x)<0$。

当 $a=1$ 时，$f_1^{\prime }(x)=\frac{x}{(1+x{)}^2}$，在 $(-1,0)$ 上小于 $0$，$f$ 单调减，在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上大于 $0$，$f$ 单调增。因为 $f_1(0)=0$，所以对任意 $x>-1$ 且 $x\ne 0$ 都有 $f_1(x)>0$。

当 $a\ne 0$ 且 $a\ne 1$ 时，$f_a((-1{)}^{+})=-\mathrm{\infty }$，$f_a(+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$，$f_a$ 变号。

综上，$a=1$，$b=0$，得到不等式

$$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$$

用导数研究原函数单调性，原函数越简单越好。尽量让 $\ln x$ 单独出现，求导后变成有理函数，方便讨论。

Darboux 定理

设 $f$ 在区间 $I$ 上可微，则 $f^{\prime }(I)$ 是区间。

证明

设 $f^{\prime }(x_1)<f^{\prime }(x_2)$。不妨设 $x_1<x_2$，则 $\mathrm{\forall }c\in (f^{\prime }(x_1),f^{\prime }(x_2))$：设 $g(x)=f(x)-cx$，则 $g^{\prime }(x_1)<0<g^{\prime }(x_2)$，于是 $x_1,x_2$ 不是极小值点。$g$ 在 $[x_1,x_2]$ 上有最小值点 $\xi \in (x_1,x_2)$，根据 Fermat 引理，$g^{\prime }(\xi )=0$，此时 $f^{\prime }(\xi )=c$。$◻$

推论

若 $f$ 在区间 $I$ 上可微且 $f^{\prime }(x)\ne 0$，则 $f$ 在 $I$ 上严格单调。

导函数有 介值性。但导函数 不一定连续。反例：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0;\\ 0,& x=0.\end{array}$$

该例中 $f^{\prime }$ 不连续，但 $f^{\prime }$ 仍具有介值性。函数的导函数不存在第一类间断点。

导数与极值（一）

设 $f$ 在 $x_0$ 处可微，$f^{\prime }(x_0)=0$。

若 $f^{″}(x_0)>0$，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格极小值点；

若 $f^{″}(x_0)<0$，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格极大值点。

证明

因为 $f^{″}(x_0)$ 存在，所以 $f$ 在 $x$ 的邻域 $V$ 中一阶可微。

对任意 $y,z\in V$ 且 $y<x_0<z$，都有 $f^{\prime }(y)<0<f^{\prime }(z)$，于是 $f$ 在 $x_0$ 左侧邻域严格减，在 $x_0$ 右侧邻域严格增，$f$ 在 $x_0$ 处取到极小值。$◻$

二阶导数的正负性结合 $f^{\prime }(x_0)=0$ 推出一阶导数在 $x_0$ 两侧的正负性，再根据导数与单调性的关系推出原函数在 $x_0$ 两侧的单调性。如何记忆：$f(x)=a{x}^2$。

导数与极值（二）

设 $f$ 在 $x_0$ 处 $2n$ 阶可微，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，且 $\mathrm{\forall }i\in [1,2n-1]$，$f^{(i)}(x_0)=0$。

若 $f^{(2n)}(x_0)>0$，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格极小值点；

若 $f^{(2n)}(x_0)<0$，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格极大值点。

证明

对 $n$ 作数学归纳，$n=1$ 时成立。

假设 $n$ 时成立，且满足 $n+1$ 的条件，不妨设 $f^{(2n+2)}(x_0)>0$，则由归纳假设知 $f^{″}$ 在 $x_0$ 处取极小值。而 $f^{″}(x_0)=0$，所以 $f^{″}$ 在 $x_0$ 的去心邻域内恒正。因此 $f^{\prime }$ 在 $x_0$ 左侧严格单调增至 $0$，在 $x_0$ 右侧从 $0$ 开始严格单调增，于是 $f$ 在 $x_0$ 左侧严格单调减，在 $x_0$ 右侧严格单调增，$x_0$ 是严格极小值点。$◻$

推论

将上述定理中的 $2n$ 改为 $2n+1$（奇数）。

若 $f^{(i)}(x_0)=0,\mathrm{\forall }i\in [1,2n]$ 且 $f^{(2n+1)}(x_0)\ne 0$，则 $x_0$ 一定不是 $f$ 的极值点，且 $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有严格单调性。注意 $n=0$ 时不成立。

考虑

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{|x|}}(0.1+{\sin }^2\frac{1}{x}),& x\ne 0;\\ 0,& x=0.\end{array}$$

在 $x=0$ 取严格极小值，但 $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},f^{(n)}(0)=0$，且 $x=0$ 左右两侧函数都不单调。

椭圆的光学性质

在均匀介质中，从 $(-c,0)$ 发出的所有光线经曲线 $(x(s),y(s))$ 反射后都汇聚到点 $(c,0)$，求曲线方程。

$$T(s)=\sqrt{(x(s)-c{)}^2+y(s{)}^2}+\sqrt{(x(s)+c{)}^2+y(s{)}^2}$$

根据费马原理，光沿最省时间的路径传播，于是 $T^{\prime }(s)=0$，即 $T(s)$ 是常数。因此曲线是椭圆。

折射定律

光线从 $(0,y_1)$ 出发经交界面 $x$ 轴上的点 $(x,0)$ 到点 $(x_2,y_2)$，用时

$$T(x)=\frac{\sqrt{x^2+y_1^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(x-x_2{)}^2+y_2^2}}{v_2}$$

$$T^{\prime }(x)=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+y_1^2}}+\frac{x-x_2}{v_2\sqrt{(x-x_2{)}^2+y_2^2}}$$

$$T^{″}(x)=\frac{y_1^2}{v_1(x^2+y_1^2{)}^{\frac{3}{2}}}+\frac{y_2^2}{v_2((x-x_2{)}^2+y_2^2{)}^{\frac{3}{2}}}>0$$

于是 $T^{\prime }$ 严格增，且

$$T^{\prime }(\pm \mathrm{\infty })=\pm (\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2})$$

因此 $T^{\prime }$ 有唯一零点 $x_{\ast }$，对应 $T$ 的唯一最小值点。

根据

$$0=T^{\prime }(x_{\ast })=\frac{x_{\ast }}{v_1\sqrt{x_{\ast }^2+y_1^2}}+\frac{x_{\ast }-x_2}{v_2\sqrt{(x_{\ast }-x_2{)}^2+y_2^2}}=\frac{\sin {\theta }_1}{v_1}-\frac{\sin {\theta }_2}{v_2}$$

得 Snell 折射定律

$$\frac{\sin {\theta }_1}{v_1}=\frac{\sin {\theta }_2}{v_2}$$

最速降线问题

由机械能守恒得 $v=\sqrt{2gy}$。

变速运动最省时间的路径服从折射定律 $\frac{\sin \theta }{v}=C$，而 $y_x^{\prime }=\cot \theta$，且 $1+{\cot }^2\theta =\frac{1}{{\sin }^2\theta }=\frac{1}{C^{2}2gy}$，于是 $y$ 满足微分方程 $y[1+(y_x^{\prime }{)}^2]=A$。

验证摆线 $\{\begin{array}{l}x=\frac{A}{2}(\theta -\sin \theta )\\ y=\frac{A}{2}(1-\cos \theta )\end{array}$ 是解。

110 函数的凹凸性

内容：

• 凸函数与凹函数的概念。
• 用导数判断函数的凹凸性。
• 凸函数的连续性与可微性。
• 凸函数的最值，曲线的凸性。
• 凸函数与不等式。

相关概念

凸函数和凹函数

称 $f$ 在区间 $I$ 上是 凸函数（其函数图像 下凸），若 $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in I$ 以及 $\mathrm{\forall }t:0<t<1$ 都有

$$f((1-t)x_1+x_2)\le (1-t)f(x_1)+tf(x_2)$$

若不等式的等号成立当且仅当 $x_1=x_2$，则称 $f$ 为 严格凸函数。类似定义 凹函数。

下凸曲线的性质：弧位于弦的下方。

凸集

$C\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是 凸集：$\mathrm{\forall }A,B\in C$，线段 $AB$ 上的点都在 $C$ 中。

$f:I\to \mathbb{R}$ 是凸函数当且仅当 $\{(x,y)\mid x\in I,y\ge f(x)\}$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中的凸集。

例 $1$

证明 $x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上是严格凸函数。

证明

$$(1-t)x_1^2+t{x}_2^2-((1-t)x_1+t{x}_2{)}^2=t(1-t)(x_1-x_2{)}^2\ge 0$$

等号成立当且仅当 $x_1=x_2$。$◻$

例 $2$

证明 $a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上是严格凸函数。

证明

任取 $x_1\ne x_2$ 以及 $t\in (0,1)$，设

$$g(t)=(1-t)f(x_1)+tf(x_2)-f((1-t)x_1+t{x}_2)$$

则 $g(0)=g(1)=0$，由 Rolle 定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $g^{\prime }(\xi )=0$。

$$g^{″}(t)=-f^{″}((1-t)x_1+t{x}_2)(x_2-x_1{)}^2<0$$

$g^{\prime }$ 是严格减函数，$g$ 在 $[0,\xi ]$ 上严格增，在 $[\xi ,1]$ 上严格减，于是 $\mathrm{\forall }t\in (0,1)$，

$$g(t)>min\{g(0),g(1)\}=0$$

$◻$

由证明，只要二阶导恒为正，就是严格凸函数。

定理（导数和凸函数）

在区间 $I$ 上：

• 若 $f$ 二阶可微，则 $f^{″}\ge 0$ 当且仅当 $f$ 是凸函数。
• 若 $f$ 一阶可微，则 $f^{\prime }$ 单调不减（严格增）当且仅当 $f$ 是凸函数（严格凸函数）。

证明

设 $f$ 是可微凸函数。设 $x_1<x_2<x_3$ 以及它们在函数图像上的对应点 $P_1,P_2,P_3$，$x_2=(1-t)x_1+t{x}_3$，则

$$f(x_2)\le (1-t)f(x_1)+tf(x_3)$$

设

$$k_1=k_{P_1{P}_2}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

$$k_2=k_{P_1{P}_3}=\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}$$

$$k_3=k_{P_2{P}_3}=\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$$

因为

$$x_2-x_1=t(x_3-x_1),f(x_2)-f(x_1)\le t(f(x_3)-f(x_1))$$

所以

$$k_1=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le \frac{t(f(x_3)-f(x_1))}{t(x_3-x_1)}=k_2$$

同理 $k_2\le k_3$，于是 $k_{P_1{P}_2}\le k_{P_1{P}_3}\le k_{P_2{P}_3}$。

用 $Q_1$ 从 $P_2$ 向 $P_1$ 逼近，$Q_2$ 从 $P_2$ 向 $P_3$ 逼近，$k_{P_1{Q}_1}\le k_{P_1{P}_2}\le k_{P_2{P}_3}\le k_{P_3{Q}_3}$。$Q_1\to P_1$ 过程中 $k_{P_1{Q}_1}$ 不断减小，$Q_3\to P_3$ 类似，于是 $f^{\prime }(x_1)\le k_{P_1{P}_2}\le k_{P_2{P}_3}\le f^{\prime }(x_3)$。

另一个方向由例 $2$ 证明。$◻$

凸函数上任选三个点作三角形，中间的点一定朝下。

注意：

• 二阶导数的严格正负性可以推出函数的严格凸性，反之则不可以。考虑反例 $x^4$，严格凸，但二阶导不恒为正。根本原因是极限保序只有一个方向严格。
• 一阶导数严格的单调性等价于函数的严格凸性。

性质与应用

连续性和可微性

凸函数没有保证连续，所以需要研究它们的连续性与可微性。

设 $f$ 是凸函数，$x_1<x_2<x_3$。设 $g_k(x)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}$，因为

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$$

所以 $g_1(x)$ 在 $x_1$ 右侧单调不减，$g_2(x)$ 在 $x_2$ 右侧的值比它在 $x_2$ 左侧的值大，$g_3(x)$ 在 $x_3$ 左侧单调不减。根据单调有界收敛定理，凸函数在非端点两侧一定有单侧切线，该点左连续且右连续，凸函数连续。

设 $g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，则

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}g(x)=f_{+}^{\prime }(x_0),\underset{x\to x_0^{-}}{lim}g(x)=f_{-}^{\prime }(x_0)$$

可知 $f_{-}^{\prime }(x_0)\le f_{+}^{\prime }(x_0)$。

对 $x_1<x_2$ 有

$$f_{-}^{\prime }(x_1)\le f_{+}^{\prime }(x_1)\le f_{-}^{\prime }(x_2)\le f_{+}^{\prime }(x_2)$$

可知 $f_{-}^{\prime }$ 和 $f_{+}^{\prime }$ 单调不减，且

• 若 $f_{+}^{\prime }$ 在 $x_2$ 处连续，则 $f_{-}^{\prime }(x_2)=f_{+}^{\prime }(x_2)$，$f$ 在 $x_2$ 处可导；
• 若 $f_{-}^{\prime }$ 在 $x_1$ 处连续，则 $f_{-}^{\prime }(x_1)=f_{+}^{\prime }(x_1)$，$f$ 在 $x_1$ 处可导。

因为单调函数的间断点至多有可数无穷个，所以除去一个至多可数无穷集，$f$ 在 $I$ 上处处可导。

最值性

若 $x_0$ 是可微凸函数 $f$ 的临界点，则 $x_0$ 是 $f$ 的最小值点。若 $f$ 严格凸，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格最小值点。

更一般的结论：

定理

若凸函数 $f$ 可微，则 $y=f(x)$ 位于它在任意 $x_0$ 处的切线的上方。

$$f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0),\mathrm{\forall }x$$

若 $f$ 严格凸，则取等当且仅当 $x=x_0$。

证明

令 $g(x)=f(x)-f(x_0)-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$，则 $g$ 是可微凸函数且 $g(x_0)=g^{\prime }(x_0)=0$。$◻$

上述定理可加强为仅要求 $f$ 在 $x_0$ 处可微。

例 $3$

证明 ${\mathrm{e}}^x>x+1,\mathrm{\forall }x\ne 0$。

证明

${\mathrm{e}}^x$ 在 $x=0$ 处的切线为 $x+1$，而 ${\mathrm{e}}^x$ 严格凸，于是 ${\mathrm{e}}^x>x+1,\mathrm{\forall }x\ne 0$。$◻$

例 $4$

求曲线 $y=\frac{2x^2}{x+1}$ 的渐近线。

解

当 $x\to -1$ 时有渐近线 $x=-1$。

当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时

$$\frac{2x^2}{x(1+\frac{1}{x})}=2x[1-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)]=2x-2+o(1)$$

于是渐近线为 $y=2x-2$。

此时渐近线像函数在无穷远处的切线，再根据凹凸性可知右侧分支永远在渐近线上方，左侧分支永远在渐近线下方。

Newton 法的全局收敛性

设凸函数 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微且 $f^{\prime }(x)>0$。若 $f(a)<0<f(b)$，则 $\mathrm{\forall }{x}_0\in (a,b)$，只要 $f(x_0)>0$，Newton 迭代

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$

收敛到 $f$ 的唯一零点。

证明

$x_n$ 单调递减收敛至 $x^{\ast }$，$f^{\prime }(x_n)$ 单调不增且有下界 $f^{\prime }(x^{\ast })$，因此有极限 $\beta \ge f^{\prime }(x^{\ast })$。此时

$$f(x^{\ast })=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }(x_n)(x_n-x_{n+1})=\beta \cdot 0=0$$

$◻$

$$|x_{n+1}-x^{\ast }|=|x_n-x^{\ast }-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}|=|x_n-x^{\ast }||1-\frac{f^{\prime }({\xi }_n)}{f^{\prime }(x_n)}|$$

其中 ${\xi }_n\in (x^{\ast },x_n)$ 且 $f^{\prime }({\xi }_n)(x_n-x^{\ast })=f(x_n)-f(x^{\ast })=f(x_n)$。在 $n\to +\mathrm{\infty }$ 的过程中，$x_n\to (x^{\ast }{)}^{+}$，于是 $f^{\prime }({\xi }_n)$ 和 $f^{\prime }(x_n)$ 都趋于 $f^{\prime }(x)$ 在 $x^{\ast }$ 处的右极限，因此收敛速度逐渐加快。

平面参数曲线

$(x(t),y(t))$ 是平面正则曲线（任意时刻 $x^{\prime }(t)$ 和 $y^{\prime }(t)$ 至少一个不为 $0$），设 $x^{\prime }(t)\ne 0$，则

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\left|\begin{array}{cc}{x}^{\prime }(t)& x^{″}(t)\\ y^{\prime }(t)& y^{″}(t)\end{array}\right|}{x^{\prime }(t{)}^3}$$

当 $x^{\prime }(t)$ 与上述行列式同号时，曲线下凸，否则上凸。当 $y^{\prime }(t)$ 与上述行列式同号时，曲线右凸，否则左凸（$x,y$ 交换身份，行列式变号）。

曲线的 拐点 定义为平面曲线上凸性发生转换的点。

若 $f^{″}(x)$ 在 $x^{\ast }$ 处变号，则 $f^{\prime }$ 单调性发生改变，$x^{\ast }$ 是 $y=f(x)$ 的拐点。因此在 $y=f(x)$ 的拐点 $x^{\ast }$ 处若存在二阶导数，则 $f^{″}(x^{\ast })=0$（$f^{″}$ 是 $f^{\prime }$ 的导函数，有介值性）。

不等式

Jesen 不等式

设 $f$ 是区间 $I$ 上的凸函数，则对任意 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in I$ 以及任意正数 $t_1,t_2,\cdots ,t_n$，

$$f\left(\frac{\sum t_i{x}_i}{\sum t_i}\right)\le \frac{\sum t_{i}f(x_i)}{\sum t_i}$$

若 $f$ 严格凸，则等号成立当且仅当所有 $x_i$ 相等。对 $n$ 做数学归纳法易证。

例 $5$

设 $a_1,a_2,\cdots ,a_n>0$ 不全相同，证明

$$f(x)={\left(\frac{\sum a_i^x}{n}\right)}^{\frac{1}{x}}$$

是严格增函数。

证明

任取 $0<x_1<x_2$，则 $f(x_1)<f(x_2)$ 当且仅当

$${\left(\frac{\sum b_i}{n}\right)}^t\le \frac{\sum b_i^t}{n}$$

其中 $t=\frac{x_2}{x_1}$，$b_k=a_k^{x_1}$。后者是 $x^t(x>0,t>1)$ 的 Jesen 不等式，而 $x^t$ 严格凸。

对于 $x_1<x_2<0$，类似证明 $f(x_1)<f(x_2)$。

当 $x\to 0$ 时

$$\begin{array}{rl}\ln f(x)& =\frac{1}{x}\ln \left(\frac{a_1^x+\cdots +a_n^x}{n}\right)\\ & =\frac{1}{x}\ln (1+x\frac{\ln a_1+\cdots +\ln a_n}{n}+o(x))& (a^x=1+x\ln a+o(x),x\to 0)\\ & =\frac{\ln a_1+\cdots +\ln a_n}{n}+o(1)\end{array}$$

因此 $f(x)\to \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$（几何平均），以它作为 $f(0)$ 的函数值，则 $f$ 连续。$◻$

例 $6$

设 $p_1+p_2+\cdots +p_n=q_1+q_2+\cdots +q_n=1$。证明 $\sum p_i\ln q_i\le \sum p_i\ln p_i$。

证明

左式减去右式，根据 $\ln$ 为凹函数使用 Jesen 不等式得

$$\sum p_i\ln \frac{q_i}{p_i}\le \ln (\sum p_i\frac{q_i}{p_i})=0$$

$◻$

$-\sum p_i\ln p_i$ 称为离散概率分布的 熵，它是某种情况发生时其概率 $P$ 的 $-\ln P$ 的期望值。$n$ 个取值的离散分布的最大熵为 $\ln n$。

概率为 $0\le p\le 1$ 的事件发生时带来的惊喜程度为 $S(p)$，有

• $S(1)=0$（必然事件不产生惊喜），$S(0)=+\mathrm{\infty }$（不可能事件欣喜若狂）。
• $S(p_1{p}_2)=S(p_1)+S(p_2)$（两个独立事件同时发生，喜上加喜）。
• $S(p)$ 关于 $p$ 单调减。

根据以上要求，$S(p)=-C\ln p$，规范化取 $C=1$。

Holder 不等式

对正数 $a_1,\cdots ,a_n;b_1,\cdots ,b_n$ 以及 $p,q:\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，有

$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\le {\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^q\right)}^{\frac{1}{q}}$$

$p=q=2$ 是 Cauchy-Schwarz 不等式。

证明

记 $c_k=\frac{b_k}{a_k^{p-1}}$，则

$$\frac{\sum a_k{b}_k}{\sum a_k^p}=\frac{\sum a_k^p(c_k^q{)}^{\frac{1}{q}}}{\sum a_k^p}\le {\left(\frac{\sum a_k^p{c}_k^q}{\sum a_k^p}\right)}^{\frac{1}{q}}={\left(\frac{\sum b_k^q}{\sum a_k^p}\right)}^{\frac{1}{q}}$$

因此

$$\sum a_k{b}_k\le {(\sum a_k^p)}^{1-\frac{1}{q}}{(\sum b_k^q)}^{\frac{1}{q}}={(\sum a_k^p)}^{\frac{1}{p}}{(\sum b_k^q)}^{\frac{1}{q}}$$

$◻$

Minkowski 不等式

对正数 $a_1,\cdots ,a_n;b_1,\cdots ,b_n$ 以及 $p\ge 1$，有

$${(\sum _{k=1}^n(a_k+b_k{)}^p)}^{\frac{1}{p}}\le {\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^p\right)}^{\frac{1}{p}}+{\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^p\right)}^{\frac{1}{p}}$$

$p=2$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的三角形不等式。

证明

记 $t={\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^p\right)}^{\frac{1}{p}}$，$s={\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^p\right)}^{\frac{1}{p}}$，$u_k=\frac{a_k^p}{t^p}$，$v_k=\frac{b_k^p}{s^p}$，则 $\sum _{k=1}^n{u}_k=\sum _{k=1}^n{v}_k=1$。

要证明的不等式等价于

$$\sum _{k=1}^n{\left(\frac{u_k^{1/p}t+v_k^{1/p}s}{t+s}\right)}^p\le 1$$

使用 Jesen 不等式即得。$◻$

Legendre 变换

设 $f$ 是区间 $I$ 上的可微严格凸函数，于是 $J=f^{\prime }(I)$ 是区间且 $f^{\prime }$ 严格单调。

$\mathrm{\forall }u\in J$，存在唯一的 $x_u$ 使得 $f^{\prime }(x_u)=u$，于是 $f(x)\ge f(x_u)+u(x-x_u)$。

记 $g(u)=sup(xu-f(x))=u{x}_u-f(x_u)$，称 $g:J\to \mathbb{R}$ 为 $f$ 的 Legendre 变换。则

$$f(x)+g(u)\ge ux,\mathrm{\forall }x\in I,\mathrm{\forall }u\in J$$

$g(u)$ 为对应切线在 $y$ 轴截距的相反数。

例 $7$

设 $p>1$，求 $f(x)=\frac{x^p}{p}$ 的 Legendre 变换。

解

$f^{\prime }(x)=x^{p-1}$ 的值域为 $(0,+\mathrm{\infty })$，对任意 $u>0$，由 $f^{\prime }(x)=u$ 解得 $x_u=u^{\frac{1}{p-1}}$。

于是 $g(u)=u^{\frac{p}{p-1}}-\frac{u^{\frac{p}{p-1}}}{p}=\frac{u^q}{q}$，其中 $q=\frac{p}{p-1}$。可知 $q>0$ 且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，得到 Young 不等式

$$\frac{x^p}{p}+\frac{u^q}{q}\ge ux,\mathrm{\forall }x,u>0$$

111 L' Hopital 法则与 Taylor 公式

内容：

• L' Hopital 法则。
• Taylor 公式。
• Taylor 公式的应用。

主要是在求未定型极限方面的应用。

L' Hopital 法则

不定型极限

引入无穷大和无穷小时，一些关于它们的四则运算不成立，如 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},\frac{o(1)}{o(1)},\mathrm{\infty }\cdot o(1),\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },o(1{)}^{o(1)},{\mathrm{\infty }}^{o(1)}$。这些运算大都可以归结到计算形如 $\frac{o(1)}{o(1)}$ 的极限。

L' Hopital $\frac{o(1)}{o(1)}$

设 $f(x)=o(1),x\to a$，$g(x)=o(1),x\to a$，$g^{\prime }(x)\ne 0$。若

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A\in \mathbb{R}\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$$

则 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=A$。其中 $a$ 可以是无穷远。

证明

Cauchy 中值定理。

L' Hopital $\frac{\mathrm{something}}{\mathrm{\infty }}$

设 $g(x)\to \mathrm{\infty },x\to a$，$g^{\prime }(x)\ne 0$。若

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A\in \mathbb{R}\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$$

则 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=A$。

若 $f$ 有界，则极限为 $0$。注意 $f$ 无界 $\ne$ $f\to +\mathrm{\infty }$，$f$ 可以来回震荡。趋于无穷一定无界，无界不一定趋于无穷。

证明

不妨设 $\underset{x\to a^{-}}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }$，$g^{\prime }(x)>0$。任取 $A_1<A_3<A<A_4<A_2$，存在 $a$ 的去心邻域 $W$ 使得对任意 $x\in W$，$\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\in (A_3,A_4)$，于是 $f-A_{4}g$ 严格减，$f-A_{3}g$ 严格增。

任取 $x_1\in W$，存在 $a$ 的去心邻域 $W_1$ 使得 $W_1\subseteq (x_1,a)$ 且 $\mathrm{\forall }x\in W_1$，

$$\begin{array}{r}f(x)-A_{4}g(x)<f(x_1)-A_{4}g(x_1)<(A_2-A_4)g(x)\to +\mathrm{\infty }\\ f(x)-A_{3}g(x)>f(x_1)-A_{3}g(x_1)>(A_1-A_3)g(x)\to -\mathrm{\infty }\end{array}$$

从而 $A_1<\frac{f(x)}{g(x)}<A_2$。因此 $\underset{x\to a^{-}}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=A$。$◻$

例 $1$

设 $\alpha >0$，求 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln x}{x^{\alpha }}$。

解

当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时，$x^{\alpha }\to 0$。于是

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln x}{x^{\alpha }}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\alpha x^{\alpha }}=0$$

若右侧极限存在，则左侧极限存在且与右侧极限相等。需要验证使用前提 $\frac{o(1)}{o(1)}$ 或 $\frac{\mathrm{something}}{\mathrm{\infty }}$。

例 $2$

求 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2}}}{x}$。

解

直接 L' Hopital 无法求出结果，需要换元。可根据 ${\mathrm{e}}^x>x$ 放缩求出答案为 $0$。

Stolz 定理

对数列 $\{a_n\},\{b_n\}$：

• 设 $b_n$ 严格递增且 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=+\mathrm{\infty }$，若 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=A$，则 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=A$。
• 设 $b_n$ 严格递减且 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$，若 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=A$，则 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=A$。

几何证明思路：将 $(a_n,b_n)$ 看成平面上的点。

离散的 L' Hopital 法则。

导数极限定理（部分）

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $\underset{x\to a^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=A\in \mathbb{R}$，则 $f$ 在 $x=a$ 处右侧可导且 $f_{+}^{\prime }(a)=A$。

证明

$$f_{+}^{\prime }(a)=\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

对等式右侧的极限使用 L' Hopital 法则即可。$◻$

导函数没有可去间断点（Darboux 定理）。

Taylor 公式

Taylor 多项式

设 $f$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，称

$$T{f}_{x_0,n}(h)=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}{h}^i$$

为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶 Taylor 多项式。用简单的函数（多项式）逼近任意函数。

Peano 余项

设 $f$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，则 $n$ 阶多项式 $P_n(h)$ 满足

$$\begin{array}{r}f(x_0+h)=P_n(h)+o(h^n),h\to 0\end{array}$$

当且仅当 $P_n$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶 Taylor 多项式。

证明

$n=1$ 易证（注意：充分性和必要性都需要证明）。假设 $n$ 时结论成立，$f$ 在 $x_0$ 处 $n+1$ 阶可微。

设 $F(h)=f(x_0+h)-T{f}_{x_0,n}(h)$，$G(h)=\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}$，则 $\mathrm{\forall }k\in [0,n]$，$F^{(k)}(0)=G^{(k)}(0)=0$。当 $h\to 0$ 时

$$\frac{F(h)}{G(h)}=\frac{F(h)-F(0)}{G(h)-G(0)}=\frac{F^{\prime }(h_1)}{G^{\prime }(h_1)}=\cdots =\frac{F^{(n)}(h_n)}{G^{(n)}(h_n)}=\frac{F^{(n+1)}{h}_n+o(h_n)}{G^{(n+1)}{h}_n+o(h_n)}\to f^{(n+1)}(x_0)$$

其中 $0<h_n<h_{n-1}<\cdots <h_0=h$，前 $n$ 步使用了 Cauchy 中值定理，最后一步是微分的定义。

• 最后一步不能使用微分中值定理，没有保证 $F^{(n)}$ 在 $(0,h_n)$ 内可导。

剩下的处理是容易的。$◻$

定理保证了 Taylor 展开的唯一性。

注：高阶可微性的条件至关重要。考虑 $g(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2}}& x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}\\ 0& x\in \mathbb{Q}\end{array}$。对任意正整数 $n$，$g(x)=o(x^n),x\to 0$，但 $g(x)$ 只在 $x=0$ 处可微，没有高阶导函数，也没有对应的高阶 Taylor 多项式。因此，存在 $P(h)$ 满足 $f(x_0+h)=P(h)+o(h^n),h\to 0$ 并不蕴含 $f$ 有相应的高阶可微性，也不蕴含 $P$ 是 $f$ 在 $x_0$ 处的 Taylor 多项式。

注：$f\mapsto T{f}_{x_0,n}$ 不是单射。$g(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2}}& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$ 是 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ 函数，它与恒为零的函数具有相同的任意阶 Taylor 多项式。$f(x)$ 和 $f(x)[1+g(x)]$ 在 $x=0$ 处有相同的任意阶 Taylor 多项式。

Lagrange 余项

设 $f$ 在区间 $I$ 上连续，在区间 $I$ 内 $n+1$ 阶可微，则对 $I$ 的任何内点 $x_0$ 以及任意 $x\in I$，都存在严格介于 $x,x_0$ 之间使得

$$f(x)=T{f}_{x_0,n}(x-x_0)+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

$n=0$ 时为 Lagrange 余项。

证明和 Peano 余项类似，最后一步将微分定义改成 Cauchy 中值定理。

Lagrange 余项要求更强的条件：在 $I$ 内 $n+1$ 阶可微远强于 Peano 余项的在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。它得到的结论更强，同时刻画了函数在区间 $I$ 上的整体性质，而 Peano 余项只是在 $x_0$ 一点附近的性质，此时 Lagrange 余项较为精确地表示了 $h^{n+1}$ 前的系数。

• 微分中值定理的作用：将离得很远的函数值用导数连接在一起。
• Peano 余项的 Taylor 公式只在极限过程中成立，是局部性质，常用于渐进展开，求极限；Lagrange 余项 Taylor 公式在整个区间上成立，是整体性质，常用于误差分析。

基本初等函数的泰勒公式（一）

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{e}}^x& =1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n),x\to 0\\ \sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2}),x\to 0\\ (1+x{)}^{\alpha }& =1+\alpha x+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n+o(x^n),x\to 0\end{array}$$

根据函数之间的求导关系，它们的 Taylor 多项式之间也有联系。设 $F$ 是 $f$ 的一个 原函数：$F^{\prime }(x)=f(x)$，则

$$\begin{array}{rl}F(x_0+h)& =\sum _{i=0}^{n+1}\frac{F^{(i)}(x_0)}{i!}{h}^i+o(h^{n+1}),h\to 0\\ f(x_0+h)& =\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}{h}^i+o(h^n),h\to 0\end{array}$$

已知 $F,f$ 中任何一个函数的 Taylor 多项式，可求出另一个函数的 Taylor 多项式。

基本初等函数的泰勒公式（二）

由 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ 和 $\sin$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开可知

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1}),x\to 0$$

由 $(\ln (1+x){)}^{\prime }=\frac{1}{1+x}$，$\ln (1+0)=0$ 和 $(1+x{)}^{-1}$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开可知

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1}),x\to 0$$

由 $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$，$\arctan 0=0$ 和 $(1+x^2{)}^{-1}$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开可知

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+1}),x\to 0$$

由 $(\arcsin x{)}^{\prime }=(1-x^2{)}^{-\frac{1}{2}}$，$\arcsin 0=0$ 和 $(1-x^2{)}^{-\frac{1}{2}}$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开可知

$$\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+\cdots +\frac{(2n-1)!!x^{2n+1}}{(2n)!!(2n+1)}+o(x^{2n+1}),x\to 0$$

注意区分在 $x=0$ 处展开的 Taylor 多项式在 $x_0$ 附近的取值，和在 $x=x_0$ 处展开的 Taylor 多项式在 $0$ 附近的取值。

偶函数在 $x=0$ 处的 Taylor 展开只含偶次项。奇函数在 $x=0$ 处的 Taylor 展开只含奇次项。

112 Taylor 公式的计算与应用

内容：

• Taylor 公式的计算。
• Taylor 公式的应用。

计算

计算 Taylor 展开式的办法：

• 按定义求导。
• 利用 $T(f^{\prime }{)}_{x_0,n}(h)=(T{f}_{x_0,n+1}{)}^{\prime }(h)$ 逐项求导。
• 利用 Peano 余项 Taylor 公式的唯一性间接展开：四则运算，复合，待定系数。

应用

求极限

尽量使用 Taylor 公式，因为求导的计算量较大。

例 $1$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\cos x-\sin x}{x^3}$$

解

分母是三阶，所以分子也要展开到三阶。

$$f(x)=\frac{x(1-\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2))-(x+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3))}{x^3}=-\frac{1}{3}+o(1),x\to 0$$

先通过分析主项确定分子和分母的展开阶数。

例 $2$

$$\underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{\frac{1}{x^2}}$$

解

设 $f(x)={\mathrm{e}}^{g(x)}$。

$$g(x)=\frac{\ln (\frac{x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x})}{x^2}=\frac{\ln (1-\frac{x^2}{6}+o(x^2))}{x^2}=\frac{-\frac{x^2}{6}+o(x^2)}{x^2}\to -\frac{1}{6},x\to 0$$

极限为 ${\mathrm{e}}^{-\frac{1}{6}}$。

例 $3$

$$\underset{x\to 1}{lim}(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x})$$

解

设 $x=1+t$，则

$$f(x)=\frac{1+t}{t}-\frac{1}{\ln (1+t)}=1+\frac{\ln (1+t)-t}{t\ln (1+t)}=1+\frac{t-\frac{1}{2}{t}^2+o(t^2)-t}{t(t+o(t))}\to \frac{1}{2},t\to 0$$

尽量换元至 $x=0$ 处展开。

例 $4$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}=\frac{\ln \cot x}{\ln x}$$

解

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)-\ln (\sin x)}{\ln x}=\frac{o(1)-\ln (x(1+o(1)))}{\ln x}\to -1,x\to 0^{+}$$

例 $5$

$$\underset{x\to 0}{lim}{\mathrm{e}}^{-x}{(1+\frac{1}{x})}^{x^2}$$

解

设 $f(x)={\mathrm{e}}^{g(x)}$，则

$$g(x)=x^2\ln (1+\frac{1}{x})-x=(x-\frac{1}{2}+o(1))-x\to -\frac{1}{2},x\to +\mathrm{\infty }$$

极限为 ${\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$。

不可以先对一部分 $x$ 取极限，再对另一部分 $x$ 取极限。

求渐进展开

例 $6$

$x_{n+1}=\sin x_n$，求 $x_n$ 的渐进展开式。

解

猜测 $x_n\approx \frac{A}{n^{\alpha }}$，根据 $x_{n+1}=\sin x_n$ 和 $x_n-x_{n+1}\approx \frac{A}{n^{\alpha }}-\frac{A}{(n+1{)}^{\alpha }}$ 解得 $\alpha =\frac{1}{2}$，$A=\sqrt{3}$。

证明 $x_n=\sqrt{\frac{3}{n}}(1+o(1))$，即计算 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n{x}_n^2=3$。使用 Stolz 定理和 Taylor 展开。

例 $7$

用圆内接正多边形周长求圆周率的近似值。

解

圆内接正 $3\cdot 2^n$ 边形的周长为

$$L_n=3\cdot 2^{n+1}\sin \frac{2\pi }{3\cdot 2^{n+1}}=2\pi -\frac{{\pi }^3}{27\cdot 2^{2n}}+o\left(\frac{1}{2^{2n}}\right)$$

误差是 $O\left(\frac{1}{2^{2n}}\right)$ 级别。考虑到

$$L_{n+1}=2\pi -\frac{{\pi }^3}{27\cdot 2^{2n+2}}+o\left(\frac{1}{2^{2n}}\right)$$

于是

$$(1-\lambda )L_n+\lambda L_{n+1}=2\pi -\frac{{\pi }^3}{27\cdot 2^{2n+2}}(4-3\lambda )+o\left(\frac{1}{2^{2n}}\right)$$

取 $\lambda =\frac{4}{3}$，则 $L_n^{\prime }=(1-\lambda )L_n+\lambda L_{n+1}=2\pi +o(\frac{1}{2^{2n}})$。这种技巧称为 外推修正。

平面曲线的曲率圆

取切线为 $x$ 轴，法线为 $y$ 轴，使正则曲线局部为 $y=f(x)=a{x}^2+o(x^2)$（$a>0$）。

• 曲线与 $y$ 轴相切，所以 $y_t^{\prime }=0$。于是 $x_t^{\prime }\ne 0$，$x,t$ 之间有可微反函数关系，于是 $y$ 在局部可以写成关于 $x$ 的函数。
• 写成 $a{x}^2+o(x^2)$ 的原因：在原点处 $y=y^{\prime }=0$，于是 Taylor 展开后最高项为二次项。

在 $x=0$ 处的曲率

$$\kappa =\frac{|det\left(\begin{array}{cc}{x}_x^{\prime }& x_x^{″}\\ y_x^{\prime }& y_x^{″}\end{array}\right)|}{(\sqrt{(x_x^{\prime }{)}^2+(y_x^{\prime }{)}^2}{)}^3}=2a$$

曲率圆

$$x^2+{(y-\frac{1}{2a})}^2={\left(\frac{1}{2a}\right)}^2$$

取曲率圆过原点的一段

$$y=\frac{1}{2a}-\sqrt{{\left(\frac{1}{2a}\right)}^2-x^2}=\frac{1}{2a}-\frac{1}{2a}\sqrt{1-(2ax{)}^2}=a{x}^2+o(x^2)$$

所以曲线和曲率圆 二阶相切（其它圆是一阶相切）。

估计 Newton 法的误差

设 $f(x^{\ast })=0$，则

$$x_{n+1}-x^{\ast }=x_n-x^{\ast }-\frac{f(x_n)-f(x^{\ast })}{f^{\prime }(x_n)}=(x_n-x^{\ast })(1-\frac{f^{\prime }(\xi )}{f^{\prime }(x_n)})=(x_n-x^{\ast })\frac{f^{″}(\eta )(x_n-\xi )}{f^{\prime }(x_n)}$$

而 $|x_n-\xi |\le |x_n-x^{\ast }|$，于是 $|x_{n+1}-x^{\ast }|\le \frac{M}{m}|x_n-x^{\ast }{|}^2$，其中 $M$ 是 $|f^{″}|$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，$m$ 是 $|f^{\prime }|$ 在 $[a,b]$ 上的最小值。

这说明 Newton 迭代是 二阶收敛 的，且在 $x^{\ast }$ 附近收敛极快。

${\mathrm{e}}^x$ 的无穷级数

将 ${\mathrm{e}}^x$ 在 $x=0$ 处展开，得到幂级数

$${\mathrm{e}}^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$$

无穷求和定义为部分和的极限。

限定 $x$ 在有界范围内：$\mathrm{\forall }M\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$\mathrm{\forall }x\in [-M,M]$，存在 $\xi \in [0,x]$ 使得

$${\mathrm{e}}^x=1+x+\cdots +\frac{{\mathrm{e}}^{\xi }}{(N+1)!}{x}^{N+1}$$

所以

$$|{\mathrm{e}}^x-1-x-\cdots -\frac{x^N}{N!}|\le \frac{{\mathrm{e}}^M}{(N+1)!}{M}^{N+1}:=a_N$$

对 $N\ge 2M$

$$0<a_N<\frac{{\mathrm{e}}^M{M}^{2M}}{(2M)!}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{N-2M}\to 0,N\to +\mathrm{\infty }$$

于是 $\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_N=0$，即 $\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(\sum _{k=0}^N\frac{x^k}{k!}\right)={\mathrm{e}}^x$。

定义可以推广到复数：证明部分和收敛（Cauchy 收敛准则），将极限定义为 ${\mathrm{e}}^z$。

验证 ${\mathrm{e}}^z{\mathrm{e}}^w={\mathrm{e}}^{z+w}$（不是严谨证明）：

$$\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}\right)\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{w^j}{j!}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\frac{z^k{w}^{n-k}}{k!(n-k)!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})z^k{w}^{n-k}}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z+w{)}^n}{n!}$$

三角函数的无穷级数

将 $\cos$ 和 $\sin$ 展开得

$$\begin{array}{rl}\cos x& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!}\\ \sin x& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}& =\cos z+\mathrm{i}\sin z\\ \cos z& =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2}\\ \sin z& =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}\end{array}$$

可以推出和差角公式。

求近似值

求 $\ln 2$ 的近似值。

用 Lagrange 余项的 Taylor 公式在 $x=0$ 处展开 $\ln (1+x)$：

$$\ln (1+x)=\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}{x}^k}{k}+\frac{(-1{)}^n{x}^{n+1}}{(n+1)(1+\xi {)}^{n+1}}$$

对 $-\frac{1}{2}\le x\le 1$，有 $\left|\frac{x}{1+\xi }\right|\le 1$，所以

$$|R_n(x)|=\left|\frac{(-1{)}^n{x}^{n+1}}{(n+1)(1+\xi {)}^{n+1}}\right|\le \frac{1}{n+1}\to 0,n\to +\mathrm{\infty }$$

但是它收敛太慢，考虑

$$\ln 2=-\ln (1-\frac{1}{2})=-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}{(-\frac{1}{2})}^k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k{2}^k}$$

113 一个例子

考虑方程

$$xy+{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^y=0$$

a. 证明对任意 $x\in \mathbb{R}$，上述方程关于 $y$ 在区间 $[x,+\mathrm{\infty })$ 上有唯一解 $y=f(x)$。

• 这是由方程定义的隐函数，无法写出 $y$ 关于 $x$ 的表达式。
• WXF：教材上讲了怎么对隐函数求导，但放在一元微积分不合适。对一般的方程论证 $x$ 唯一确定 $y$，目前的知识不够。可以对特殊的方程论证。

证明

视 $x$ 为参数，设 $F_x(y)=xy+{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^y$。

由 $F_x(x)=x^2\ge 0$，$F_x(+\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$ 可知零点存在。

由 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{F}_x(y)=x-{\mathrm{e}}^y\le x-{\mathrm{e}}^x\le -1<0$ 可知零点唯一。$◻$

b. 证明 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ 函数。

证明

连续性

对任意 $x_0$，记 $y_0=f(x_0)$，则 $y_0\ge x_0$。

当 $x_0\ne 0$ 时，$y_0>x_0$。因为 $F_x(y)$ 在 $y\ge x$ 时连续且递减，所以对任意 $x_0<y_1<y_0<y_2$，$F(y_1)>F(y_0)=0>F(y_2)$。固定 $y$ 时，$F_y(x)$ 关于 $x$ 连续，所以存在 $\delta >0$ 使得 $x_0+\delta <y_1$ 且 $\mathrm{\forall }|x-x_0|<\delta$，$F_x(y_1)>0>F_x(y_2)$。于是 $y_1<f(x)<y_2$。

由 $xf(x)+{\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^{f(x)}\ge 1+f(x)$ 得到

$$x\le f(x)\le \frac{{\mathrm{e}}^x-1}{1-x}⟹\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0=f(0)$$

因此 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 连续。

可微性

记 $u=f(x+h)-f(x)$，则

$$(x+h)(f(x)+u)+{\mathrm{e}}^{x+h}-{\mathrm{e}}^{f(x)+u}=0$$

因为 $f$ 连续，所以当 $h\to 0$ 时，$u\to 0$。于是

$$xf(x)+hf(x)+xu+{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{x}h+o(h)-{\mathrm{e}}^{f(x)}-{\mathrm{e}}^{f(x)}u+o(u)=0$$

即

$$u+o(u)=\frac{{\mathrm{e}}^x+f(x)}{{\mathrm{e}}^{f(x)}-x}h+o(h)⟹u=\frac{{\mathrm{e}}^x+f(x)}{{\mathrm{e}}^{f(x)}-x}h+o(h)$$

因此 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 可微，且导函数为 $\frac{{\mathrm{e}}^x+f(x)}{{\mathrm{e}}^{f(x)}-x}$。使用数学归纳法可证 $f$ 任意阶可微，$f\in {\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$。$◻$

c. 求 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的四阶 Taylor 展开式。

虽然不能写出 $y$ 关于 $x$ 的表达式，但可以 Taylor 展开得到近似表达式。

解

因为 $y=f(x)$ 无穷阶可导，所以对 $x$ 依次求导，得

$$\begin{array}{rl}0& =y+x{y}^{\prime }+{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^y{y}^{\prime }⟹y^{\prime }(0)=1\\ 0& =2y^{\prime }+x{y}^{″}+{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^y((y^{\prime }{)}^2+y^{″})⟹y^{″}(0)=2\\ 0& =3y^{″}+x{y}^{(3)}+{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^y((y^{\prime }{)}^3+3y^{\prime }{y}^{″}+y^{(3)})⟹y^{(3)}(0)=0\\ 0& =4y^{(3)}+x{y}^{(4)}+{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^y((y^{\prime }{)}^4+6(y^{\prime }{)}^2{y}^{″}+3(y^{″}{)}^2+4y^{\prime }{y}^{(3)}+y^{(4)})⟹y^{(4)}(0)=-24\end{array}$$

可知

$$y=x+x^2-x^4+o(x^4),x\to 0$$

d. 讨论 $f$ 的单调性，估计 $f$ 的值域。

解

当 $x\ge 0$ 时，$f(x)\ge x\ge 0$，于是 ${\mathrm{e}}^{f(x)}\ge {\mathrm{e}}^x\ge x+1$，可知

$$f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x+f(x)}{{\mathrm{e}}^{f(x)}-x}>0$$

且 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$。

$f^{\prime }(x)=0$ 当且仅当

$$\{\begin{array}{l}xy+{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^y=0\\ {\mathrm{e}}^x+y=0\end{array}$$

由第二个方程知 $x=\ln (-y)$，得 $g(y)=y\ln (-y)-y-{\mathrm{e}}^y=0$。

由 $y>x=\ln (-y)$ 可知 $-1<y<0$，而 $\underset{y\to 0^{-}}{lim}g(y)=-1$，$g(-1)=1-{\mathrm{e}}^{-1}>0$ 且 $g^{\prime }(y)=\ln (-y)-{\mathrm{e}}^y<0$，根据连续性，上述方程有唯一解 $\xi$。又因为 $f^{\prime }(0)=1>0$，所以 $f$ 在 $[\xi ,+\mathrm{\infty })$ 上严格增。

因为 $-1<y<0$，所以若 $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)\ne 0$，则存在 $\epsilon >0$ 和 $x_n\to -\mathrm{\infty }$ 使得 $f(x_n)<-\epsilon$。而

$${\mathrm{e}}^{-\epsilon }>{\mathrm{e}}^{-\epsilon }-{\mathrm{e}}^{x_n}\ge {\mathrm{e}}^{f(x_n)}-{\mathrm{e}}^{x_n}=x_{n}f(x_n)>-\epsilon x_n\to +\mathrm{\infty }$$

矛盾，所以 $f$ 在 $(-\mathrm{\infty },\xi ]$ 上严格减。

e. 讨论当 $x\to -\mathrm{\infty }$ 和 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时的渐近线。

解

由 $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$ 知 $x\to -\mathrm{\infty }$ 时的渐近线为 $y=0$。

分析 $F$ 可知对充分大的 $x$，$x<f(x)<2x$。设 $u=f(x)-x$，则 $0<u<x$，且

$$0=x(x+u)+{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^u\le 2x^2+{\mathrm{e}}^x(1-{\mathrm{e}}^u)\le 2x^2-{\mathrm{e}}^{x}u⟹u\to 0,x\to +\mathrm{\infty }$$

所以 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时的渐近线为 $y=x$。

114 不定积分的概念与计算

不定积分是求导的逆运算，属于微分学。Newton-Leibniz 公式将求导的逆运算和求面积联系在一起。

内容：

• 不定积分与原函数的概念。
• 不定积分计算技巧。
• 有理函数不定积分。
• 沿代数曲线的不定积分。

相关概念

原函数

称 $F$ 是 $f$ 在 $I\subseteq \mathbb{R}$ 上的一个 原函数，若

$$F^{\prime }(x)=f(x),\mathrm{\forall }x\in I$$

若 $F$ 是原函数，则 $F+C$ 也是原函数，其中 $C$ 是任意常数。

不定积分

$f$ 在 $I\subseteq \mathbb{R}$ 上的 不定积分 是 $f$ 在 $I$ 上的 全体 原函数。记为

$$\int f(x)\mathrm{d}x$$

记号里写 $\mathrm{d}x$：明确对哪个变量求积分，使得换元公式和分部积分公式容易记忆，体现积分是微分的逆运算。

求导和求原函数：$F(x)\to f(x)\to F(x)$。微分和积分：$F(x)\to f(x)\mathrm{d}x\to F(x)$。

定理

若 $I\subseteq \mathbb{R}$ 是区间，$F_1,F_2$ 是 $f$ 在 $I$ 上的原函数，则 $F_1(x)-F_2(x)$ 是常数。

$$\int f(x)\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}F(x)=F(x)+C$$

证明

由 Lagrange 中值定理，区间上只有常函数的导数恒为 $0$。$◻$

常见函数的原函数

$$\begin{array}{rl}\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^x+C& {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\mathrm{d}{\mathrm{e}}^x\\ \int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C& \sin x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(-\cos x)\\ \int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C& \cos x\mathrm{d}x=\mathrm{d}\sin x\\ \int \sinh x\mathrm{d}x=\cosh x+C& \\ \int \cosh x\mathrm{d}x=\sinh x+C& \end{array}$$

其中双曲正弦 $\sinh x=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$，双曲余弦 $\cosh x=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$，为双曲线意义下的三角函数。

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$，恰好是双曲线的方程。

$$\begin{array}{rl}& \int x^{\alpha }\mathrm{d}x=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\\ & \int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C\\ & \int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C\\ & \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C\end{array}$$

运算性质

求积分需要更多经验和观察。

定理（线性）

若 $F,G$ 分别是 $f,g$ 在 $I$ 上的原函数，则 $\lambda F+\mu G$ 是 $\lambda f+\mu g$ 的原函数。

$$\int (\lambda f(x)+\mu g(x))\mathrm{d}x=\lambda \int f(x)\mathrm{d}x+\mu \int g(x)\mathrm{d}x$$

特殊规定

$$0\int f(x)\mathrm{d}x=C$$

例 $1$

计算

$$\int \frac{1}{(x-a)(x-b)}\mathrm{d}x$$

解

利用线性性将二次式化为一次式。

$$\begin{array}{rl}& \int \frac{1}{(x-a)(x-b)}\mathrm{d}x\\ =& \int \frac{1}{a-b}[\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x-b}]\mathrm{d}x\\ =& \frac{1}{a-b}[\ln |x-a|-\ln |x-b|]+C\end{array}$$

例 $2$

计算

$$\int \frac{1}{(x-a)(x-b{)}^2}\mathrm{d}x$$

解

利用线性性做 部分分式分解。

$$\begin{array}{rl}& \int \frac{1}{(x-a)(x-b{)}^2}\mathrm{d}x\\ =& \int [\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{x-b}+\frac{A_3}{(x-b{)}^2}]\mathrm{d}x\\ =& A_1\ln |x-a|+A_2\ln |x-b|+\frac{A_3}{x-b}+C\end{array}$$

结合 直接代入 和 待定系数法 确定 $A_1,A_2,A_3$：

$$1=A_1(x-b{)}^2+A_2(x-a)(x-b)+A_3(x-a)$$

• 代入 $x=a$ 解得 $A_1=\frac{1}{(a-b{)}^2}$。
• 代入 $x=b$ 解得 $A_3=\frac{1}{b-a}$。
• 比较 $x^2$ 的系数得到 $A_2=-A_1=-\frac{1}{(a-b{)}^2}$。

通分后先不要展开，代入特殊值解方程可以有效减少计算量。

定理（换元）

若 $F,G$ 分别是 $f,g$ 的原函数，则

$$\int f(G(x))g(x)\mathrm{d}x=F(G(x))+C$$

第一类换元法（凑微分）

$$\int f(G(x))g(x)\mathrm{d}x=\int f(y)\mathrm{d}y=F(y)+C=F(G(x))+C$$

第二类换元法（主动换元）

$$\int f(y)\mathrm{d}y=\int f(G(x))g(x)\mathrm{d}x=H(x)+C=H(G^{-1}(y))+C=F(y)+C$$

其中 $H(x)$ 是 $f(G(x))g(x)$ 的原函数。第二类换元法要求换元函数 $x=\phi (u)$ 严格单调（以确保有反函数）且可导。

例 $3$

计算

$$\int \frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x$$

解

凑微分

$$\int \frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}(1+x^2)=\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$$

例 $4$

计算

$$\int {\sin }^{n}x{\cos }^{m}x\mathrm{d}x$$

其中 $n,m$ 至少有一个是奇数。

解

设 $m>0$ 是奇数，根据 ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ 将积分写成 $\int f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x$，其中 $f$ 是多项式。

凑微分

$$\int f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x=\int f(\sin x)\mathrm{d}\sin x$$

对 $m<0$ 类似处理，得到有理分式积分。

当 $n,m$ 均为偶数时，积分较复杂。

例 $5$

$$\int \frac{1}{{\cos }^{2m}x}\mathrm{d}x$$

解

$$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$$

凑微分，$\frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{2}x}$ 写成 $\mathrm{d}\tan x$，剩下 $\frac{1}{{\cos }^{2m-2}x}$ 写成 $(1+{\tan }^{2}x{)}^{m-1}$。

$$\int f({\cos }^{2}x)\mathrm{d}x=\int \frac{f({\cos }^{2}x){\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{1+t^2}f\left(\frac{1}{1+t^2}\right)\mathrm{d}t$$

例 $6$

$$\int {\tan }^{n}x\mathrm{d}x$$

解

主动换元，设 $t=\tan x$，则 $x=\arctan t$。

$$\int {\tan }^{n}x\mathrm{d}x=\int t^n\mathrm{d}\arctan t=\int \frac{t^n}{1+t^2}\mathrm{d}t$$

例 $7$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x$$

解（三角换元）

设 $x=a\tan \theta$（动机：$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$），则

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2{\tan }^2\theta +a^2}}\mathrm{d}a\tan \theta =\int \sec \theta \mathrm{d}\theta$$

得到 $\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin \theta }{1-\sin \theta }$，再用 $\theta =\arctan x$ 换成关于 $x$ 的函数。

画三角形计算三角函数和反三角函数的代换，结果为 $\ln (x+\sqrt{a^2+x^2})+C$。

解（双曲换元）

设根式为 $y$，则 $y^2=x^2+a^2$。双曲线，使用双曲换元。设 $x=a\sinh t$，则

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2{\sinh }^{2}t+a^2}}\mathrm{d}a\sinh t=\int \frac{\cosh t}{\cosh t}\mathrm{d}t=t+C$$

求反双曲正弦的表达式：注意到

$${\left(\frac{x}{a}\right)}^2={\sinh }^{2}t={\left(\frac{{\mathrm{e}}^t-{\mathrm{e}}^{-t}}{2}\right)}^2={\left(\frac{{\mathrm{e}}^t+{\mathrm{e}}^{-t}}{2}\right)}^2-1$$

所以

$${\mathrm{e}}^t=\sinh t+\cosh t=\frac{x}{a}+\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}⟹t=\ln (x+\sqrt{a^2+x^2})-\ln a$$

类似计算

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x$$

三角换元 $x=a\sec \theta$ 或双曲换元 $x=a\cosh t$。

定理（分部积分）

$$\int F(x)g(x)\mathrm{d}x=F(x)G(x)-\int G(x)f(x)\mathrm{d}x$$

对应乘积求导的 Leibniz 公式。

$f,g$ 的选择是关键。

例 $8$

$$\int x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$$

解

通过求导使一部分变简单，选择多项式求导（作为 $F$）。

$$\int x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\int x\mathrm{d}{\mathrm{e}}^x=x{\mathrm{e}}^x-\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=x{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x+C$$

例 $9$

$$\int x\sin x\mathrm{d}x$$

解

$$\int x\sin x\mathrm{d}x=-\int x\mathrm{d}\cos x=-x\cos x+\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x-x\cos x+C$$

$$\int P(x){\mathrm{e}}^{\lambda x}\mathrm{d}x=\frac{1}{\lambda }{\mathrm{e}}^{\lambda x}P(x)-\frac{1}{\lambda }\int {\mathrm{e}}^{\lambda x}{P}^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^{\lambda x}Q(x)$$

其中 $Q$ 是次数不超过 $P$ 的多项式。有 待定系数法

$$\int {\mathrm{e}}^{-x}{x}^2\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^{-x}(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2)+C$$

求导得

$${\mathrm{e}}^{-x}{x}^2={\mathrm{e}}^{-x}(-a_0-a_{1}x-a_2{x}^2+a_1+2a_{2}x)$$

解得 $a_2=-1$，$a_1=2a_2=-2$，$a_0=-a_1=2$。

例 $10$

$$\int x^{\alpha }\ln x\mathrm{d}x$$

解

$$\begin{array}{rl}& \int x^{\alpha }\ln x\mathrm{d}x\\ =& \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\ln x-\frac{1}{\alpha +1}\int x^{\alpha +1}\mathrm{d}\ln x\\ =& \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\ln x-\frac{x^{\alpha +1}}{(\alpha +1{)}^2}+C\end{array}$$

例 $11$

$$\int {\mathrm{e}}^x{\sin }^{n}x\mathrm{d}x$$

解

被积函数两部分求导均无法降次，但产生循环（${\mathrm{e}}^x\to {\mathrm{e}}^x\to {\mathrm{e}}^x\to \cdots$）。解法为做两次分部积分，解方程求递推式。

$$\begin{array}{rl}{I}_n& =\int {\mathrm{e}}^x{\sin }^{n}x\mathrm{d}x\\ & ={\mathrm{e}}^x{\sin }^{n}x-\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}{\sin }^{n}x\\ & ={\mathrm{e}}^x{\sin }^{n}x-n\int {\sin }^{n-1}\cos x\mathrm{d}{\mathrm{e}}^x\\ & ={\mathrm{e}}^x{\sin }^{n}x-n{\mathrm{e}}^x{\sin }^{n-1}x\cos x-n\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}({\sin }^{n-1}\cos x)\\ & ={\mathrm{e}}^x({\sin }^{n}x-n{\sin }^{n-1}x\cos x)+n(n-1)(I_{n-2}-I_n)-n{I}_n\end{array}$$

其中 $I_1=\frac{{\mathrm{e}}^x(\sin x-\cos x)}{2}$。

有理函数不定积分

部分分式分解

对有理函数 $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$（$P,Q$ 是多项式），先用长除法让 $\mathrm{deg}P<\mathrm{deg}Q$（化为真分式），再将 $f(x)$ 写成有限多个最简分式的线性组合（$\mathbb{R}$ 上的 部分分式分解，有理函数积分的核心）。这需要将 $Q(x)$ 因式分解为一次式和最简二次式的乘积（依赖于 代数学基本定理），再使用待定系数法计算每个最简分式的分子。

• $\mathbb{R}$ 上的最简分式：$\frac{1}{(x-a{)}^m}$，$\frac{1}{[(x-p{)}^2+q^2{]}^m}$，$\frac{x}{[(x-p{)}^2+q^2{]}^m}$。

代数学基本定理

在 $\mathbb{C}$ 中任何多项式至少有一个根。

证明思路

寻找使得 $|Q(z)|$ 最小的 $z$。

$|Q(z)|$ 关于 $z$ 连续，且当 $\left|z\right|\to +\mathrm{\infty }$ 时 $|Q(z)|\to +\mathrm{\infty }$，所以存在 $R>0$ 使得当 $\left|z\right|>R$ 时 $|Q(z)|>|Q(0)|$。

在有界闭集 $K=\{z\in \mathbb{C}|\left|z\right|\le \mathbb{R}\}$ 中 $|Q(z)|$ 有最小值 $|Q(z_0)|\le |Q(0)|$。

假设 $|Q(z_0)|\ne 0$，令 $P(z)=\frac{Q(z+z_0)}{Q(z_0)}$，则 $|P(0)|=1$ 且 $|P(z)|\ge 1$。设 $m$ 为最小的 $b_m\ne 0$（$P(z)=1+\sum _{m=1}^n{b}_m{z}^m$），则当 $z\to 0$ 时，$P(z)=1+b_m{r}^m{\mathrm{e}}^{im\theta }(1+o(1))$，这和 $|P(z)|\ge 1$ 矛盾。

对于实系数多项式，复根共轭出现。$x-(a\mathrm{i}+b)$ 和 $x-(a\mathrm{i}-b)$ 的乘积是实系数二次多项式，所以总可以将实系数多项式分解为一次式和最简二次式的乘积。

分解之后写出待定系数的最简分式

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum _{i=1}^m\frac{A_i}{(x-a{)}^i}+\cdots +\sum _{i=1}^n\frac{B_i+C_{i}x}{[(x-p{)}^2+q^2{]}^i}+\cdots$$

等式两侧同时乘以 $(x-a{)}^m$，代入 $x=a$，右侧除 $A_m$ 以外的所有项均为 $0$，所以 $A_m=\frac{P(a)}{\frac{Q}{(x-a{)}^m}(a)}$。算出 $A_m$ 后将 $A_m$ 项移到左边，处理 $A_{m-1}$ 项，以此类推。对于平方项，代入 $x=p+q\mathrm{i}$，比较实部和虚部得到两个等式，解出 $B_n$ 和 $C_n$。

• 求因式分解的待定系数法：$x^4+1=(x^2+px+q)(x^2+\alpha x+\beta )$，展开比较系数。

最简分式积分

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{(x-a{)}^n}$$

$\mathrm{d}x$ 写成 $\mathrm{d}(x-a)$ 就可以直接积了。

$$\int \frac{x\mathrm{d}x}{(1+x^2{)}^m}$$

$x\mathrm{d}x$ 写成 $\frac{1}{2}\mathrm{d}(1+x^2)$ 就可以直接积了。

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2{)}^m}$$

方法一：设 $x=\tan \theta$，则 $\int {\cos }^{2m-2}\theta \mathrm{d}\theta$。二倍角公式降次，二项式展开，直到降为奇数次。次数高时较麻烦。

方法二：找递推关系

$$\begin{array}{rl}{I}_m& =\int \frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2{)}^{m-1}}-\int \frac{x^2\mathrm{d}x}{(1+x^2{)}^m}\\ & =I_{m-1}+\frac{1}{2(m-1)}\int x\mathrm{d}\frac{1}{(1+x^2{)}^{m-1}}\\ & =\frac{2m-3}{2m-2}{I}_{m-1}+\frac{x}{2(m-1)(1+x^2{)}^{m-1}}\end{array}$$

得到

$$I_m=\sum _{i=2}^{m-1}{A}_i\frac{x}{(1+x^2{)}^i}+B\arctan x+C$$

求导比较系数。

例 $12$

计算

$$\int \frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1{)}^2}\mathrm{d}x$$

解

写成若干最简分式的和，系数待定。此时可以先不求系数，而是积分得到答案每一项的形式（系数待定），再求导确定系数。

例 $13$

计算

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{x(x^5+1)}$$

解

$$I=\int \frac{\mathrm{d}{x}^5}{5x^5(x^5+1)}=\frac{1}{5}\ln \left|\frac{x^5}{x^5+1}\right|+C$$

每个问题都有自身的特殊性，普适的方法不一定最简单。

沿圆弧不定积分

$$\int R(\cos \theta ,\sin \theta )\mathrm{d}\theta$$

其中 $R(x,y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$，$P,Q$ 是二元多项式。

有理分式形式的圆周参数方程（万能公式）

$$x=\frac{1-t^2}{1+t^2},y=\frac{2t}{1+t^2},\mathrm{d}\theta =\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t(t=\tan \frac{\theta }{2})$$

万能公式的几何含义：从 $(-1,0)$ 连线段到圆周上任意一点 $P(x,y)$，记 $t=\frac{y}{x+1}$ 为连线斜率，则

$$\{\begin{array}{l}-tx+y=t\\ x+ty=1\end{array}$$

$t$ 是圆周角的斜率，圆周角是圆心角的一半，所以 $t=\tan \frac{\theta }{2}$。

$$\int R(\tan \theta )\mathrm{d}\theta$$

换元 $t=\tan \theta$。

$$\int R(\sin \theta )\cos \theta \mathrm{d}\theta$$

换元 $t=\sin \theta$。

$$\int R(x,\sqrt{1-x^2})\mathrm{d}x$$

换元 $t=\sin \theta$ 或 $t=\cos \theta$。

沿双曲线不定积分

$$\int R(x,\sqrt{x^2-1})\mathrm{d}x$$

或

$$\int R(\sqrt{y^2+1},y)\mathrm{d}y$$

有理分式形式的双曲线参数方程

$$x=\frac{1+t^2}{1-t^2},y=\frac{2t}{1-t^2}$$

于是

$$\int R(x,\sqrt{x^2-1})\mathrm{d}x=\int R(\frac{1+t^2}{1-t^2},\frac{2t}{1-t^2})\mathrm{d}\frac{1+t^2}{1-t^2}$$

或者换成

$$\int R(\frac{{\mathrm{e}}^t+{\mathrm{e}}^{-t}}{2},\frac{{\mathrm{e}}^t-{\mathrm{e}}^{-t}}{2})\mathrm{d}t=\int \tilde{R}({\mathrm{e}}^t)\frac{1}{{\mathrm{e}}^t}\mathrm{d}{\mathrm{e}}^t$$

沿可有理参数化代数曲线不定积分

$$\int R(x(t),y(t))\mathrm{d}t$$

需要能写成

$$\int R(x(t),\sqrt[n]{\frac{ax+b}{\alpha x+\beta }})\mathrm{d}t$$

将后面一坨换成 $y$，写成有理函数积分。