微积分 A(1) —— 连续与极限

$$

101 从自然数到实数

有理数集

自然数

数学家们定义满足何种性质的集合为自然数集，而不是定义自然数本身。

自然数集 $\mathbb{N}$ 是这样一个集合：

• 存在 $0\in \mathbb{N}$ 和 单射 $S:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\mathrm{\setminus }\{0\}=:{\mathbb{N}}^{\ast }$。

• $\mathbb{N}$ 满足 数学归纳法原理：对 $\mathbb{N}$ 的任意子集 $A$，

  $$\{\begin{array}{l}0\in A,\\ n\in A⟹S(n)\in A\end{array}⟹A=\mathbb{N}.$$

称 $S(n)$ 为 $n$ 的 后继。

该定义提取了自然数集最本质的特征。

定理

后继映射是一一对应：$S$ 是满射。

证明

设 $A:=\{0\}\cup S(\mathbb{N})$，则

• $0\in A$。
• 若 $n\in A$，则 $n\in \mathbb{N}$，因此 $S(n)\in S(\mathbb{N})\subset A$。

根据数学归纳法原理，$A=\mathbb{N}$。因为 $0\notin S(\mathbb{N})$，所以 $S(\mathbb{N})=A\mathrm{\setminus }\{0\}=\mathbb{N}\mathrm{\setminus }\{0\}={\mathbb{N}}^{\ast }$。$◻$

加法与乘法

对任意 $m,n\in \mathbb{N}$，定义

$$m+n:=\{\begin{array}{ll}m,& n=0;\\ S(m+n^{\prime }),& n=S(n^{\prime }).\end{array}$$

$$m\cdot n:=\{\begin{array}{ll}0,& n=0;\\ m\cdot n^{\prime }+m,& n=S(n^{\prime }).\end{array}$$

基本推论：

$$S(m)=m+1,m+(n+1)=(m+n)+1$$

运算律：

• 加法结合律 $a+(b+c)=(a+b)+c$。
• 加法单位元 $a+0=0+a=a$。
• 加法交换律 $a+b=b+a$。
• 加法对乘法的分配律 $(a+b)c=ac+bc$。
• 乘法单位元 $a\cdot 1=1\cdot a=a$。
• 乘法交换律 $a\cdot b=b\cdot a$。
• 乘法结合律 $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$。

整数

记

$$\mathbb{Z}:=\{m-n|m,n\in \mathbb{N}\}$$

为 整数集，规定

$$m-n=p-q⟺m+q=p+n$$

$$(m-n)+(p-q):=(m+p)-(n+q)$$

$$(m-n)\cdot (p-q):(m\cdot p+n\cdot q)-(n\cdot p+m\cdot q)$$

必须证明加法和乘法良定义：相等元素互相替换不影响运算结果。

定义 加法逆元：对任意 $a\in \mathbb{Z}$，存在唯一的 $-a\in \mathbb{Z}$ 使得 $a+(-a)=0$。进而定义 减法。

有理数

记

$$\mathbb{Q}:=\{\frac{m}{n}|m\in \mathbb{Z},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$$

为 有理数集，规定

$$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}⟺m\cdot q=p\cdot n$$

$$\frac{m}{n}+\frac{p}{q}:=\frac{mq+np}{nq}$$

$$\frac{m}{n}\cdot \frac{p}{q}:=\frac{mp}{nq}$$

定义非零元素的 乘法逆元：对任意 $a\in \mathbb{Q}$，存在唯一的 $a^{-1}$ 使得 $a\cdot a^{-1}=1$，进而定义 除法。

序域

记

$${\mathbb{Q}}^{+}:=\{\frac{m}{n}|m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$$

对有理数 $r_1,r_2$，定义 $r_1<r_2⟺r_2-r_1\in {\mathbb{Q}}^{+}$。

不等式的性质

对任意 $r_1,r_2\in \mathbb{Q}$，三者有且仅有一个成立：$r_1<r_2,r_2<r_1,r_1=r_2$。

对任意 $r_1,r_2,r_3\in \mathbb{Q}$，若 $r_1\le r_2$ 且 $r_2\le r_3$，则 $r_1\le r_3$。

对任意 $r_1,r_2,r_3\in \mathbb{Q}$，若 $r_1\le r_2$，则 $r_1+r_3\le r_2+r_3$。

对任意 $r_1,r_2\in \mathbb{Q}$ 和 $r_3\in {\mathbb{Q}}^{+}$，若 $r_1\le r_2$，则 $r_1\cdot r_3\le r_2\cdot r_3$。

第一次数学危机

假设存在 $m^2=2n^2$，则 $n<m<2n$。由 $(2n-m{)}^2=2(m-n{)}^2$ 和 $2n-m,m-n<n$ 导出矛盾。

从自然数出发依靠四则运算，只能够得到有理数。

上确界与实数集

界

设 $A$ 为序域 $\mathbb{F}$ 的子集，称 $A$ 有上界，若存在 $u\in \mathbb{F}$ 使得对任意 $a$，$a\in A⟹a\le u$。称 $u$ 是 $A$ 的一个 上界。

类似定义 下界。

称 $A$ 有界，若 $A$ 既有上界又有下界。

最值

称 $a_0$ 为 $A$ 的 最大值，若 $a_0\in A$ 且 $a_0$ 是 $A$ 的上界，记 $a_0=maxA=\underset{a\in A}{max}a$。

类似定义 最小值。

上确界

设 $A$ 有上界。若 $A$ 的上界有最小值，则称最小的上界为 $A$ 的 上确界，记为 $supA$。

类似定义 下确界，记为 $infA$。

例 $1$

在有理数集上，集合 $A:=\{r\in \mathbb{Q}|r>0,r^2<2\}$ 非空有上界，无上确界。

证明

$1\in A$，所以 $A$ 非空。

$2$ 是 $A$ 的上界。

任何满足 $u^2\ge 2$ 的正有理数 $u$ 都是 $A$ 的上界。进一步地，任何满足 $a^2>2$ 的正有理数 $a$ 都不是 $A$ 的最小上界。

任何满足 $a^2<2$ 的正有理数 $a$ 不是 $A$ 的上界：考虑正有理数 $a_n=a(1+\frac{1}{n})$，当正整数 $n>\frac{3}{\frac{2}{a^2}-1}$ 时，$a_n^2\le a^2(1+\frac{3}{n})<2$。

任何正有理数 $a$ 都不满足 $a^2=2$，所以 $A$ 在 $\mathbb{Q}$ 没有最小上界。$◻$

实数

实数集 $\mathbb{R}$ 是一个序域，满足任何非空有上界的子集都有上确界。

确界性是在实数集上建立微积分的基本性质。

• 实数的 Dedekind 分割定义法：将有理数分成左右两部分。

阿基米德性质

自然数集 $\mathbb{N}$ 在实数集无上界。

证明

假设有上界，则有上确界 $x_0=sup\mathbb{N}$。由上确界的定义，存在 $n_0\in \mathbb{N}$ 使得 $n_0>x_0-1$，此时 $n_0+1\in \mathbb{N}$，但 $n_0+1$ 大于所有自然数，矛盾。$◻$

例 $2$

$\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 上稠密。

证明

对任意实数 $a<b$，设有理数步长 $d$ 满足 $d<b-a$。从足够小的整数每次加 $d$，由阿基米德性质，总会从 $a$ 左侧到 $a$ 右侧，且第一次跨过 $a$ 时取到的有理数 $r$ 满足 $a<r<b$。$◻$

例 $3$

对任意正实数 $y$ 和正整数 $n\ge 2$，存在唯一的正实数 $x$ 使得 $x^n=y$。

证明

记 $A=\{z\in \mathbb{R}|z>0,z^n<y\}$，则 $A$ 非空有上界。

由数学归纳法知 $z^n$ 关于整数 $z$ 严格增，所以 $x$ 至多一个，且满足 $u^n>y$ 的正数 $u$ 都是 $A$ 的上界。

类似例 $1$ 证明任何 $x^n>y$ 的 $x$ 都不是 $A$ 的最小上界，且任何 $x^n<y$ 的 $x$ 都不是 $A$ 的上界。$◻$

Bernoulli 不等式（$(1+h{)}^n\ge 1+nh,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }h>-1$）帮助我们在讨论不等式时避免开方。

102 初等函数与简易逻辑

指数函数

整数指数幂

对任意实数 $a$ 和任意正整数 $n$，定义

$$a^n=\{\begin{array}{ll}a,& n=1;\\ a^{n-1}\cdot a,& n>1.\end{array}$$

对 $a\ne 0$，$a^0=1$，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$。

幂的运算性质：$a^r{b}^r=(ab{)}^r$，$a^r{a}^s=a^{r+s}$，$(a^r{)}^s=a^{rs}$。

有理数指数幂

对任意 $a>0$，$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$\mathrm{\forall }m\in \mathbb{Z}$，记 $a^{\frac{m}{n}}$ 为方程 $x^n=a^m$ 的唯一正整数解。

无理数指数幂

能否定义 $2^{\sqrt{3}}$？

第一步：证明 $2^n$ 关于正整数 $n$ 是增函数。

第二步：证明 $2^r$ 关于有理数 $r$ 是增函数。

第三步：用有理指数幂逼近。

实数指数幂

对任意 $a>1$ 及任意实数 $x$，$A=\{a^r|r\in \mathbb{Q},r\le x\}$ 非空有上界，上确界记为 ${\exp }_a(x)$。

对有理数 $r_0$，${\exp }_a(r_0)=a^{r_0}$，与现有定义一致。

幂函数的单调性

对 $a>1$，$a^x$ 关于 $x\in \mathbb{R}$ 严格增。

证明

对任意实数 $x<y$，因为有理数稠密，所以存在 $r_1,r_2\in \mathbb{Q}$ 使得 $x<r_1<r_2<y$。

对任意有理数 $r\le x$，$a^r<a^{r_1}<a^{r_2}\le a^y$，于是 $a^{r_1}$ 是 $\{a^r|r\in \mathbb{Q},r\le x\}$ 的上界。而 $a^x$ 是 $\{a^r|r\in \mathbb{Q},r\le x\}$ 的上确界，所以 $a^x\le a^{r_1}<a^{r_2}<a^y$。$◻$

引理

设 $a>1$，则 $\underset{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}{inf}{a}^{\frac{1}{n}}=1$。

证明

因为 $a^{\frac{1}{n}}\ge 1$，所以 $b=\underset{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}{inf}{a}^{\frac{1}{n}}$ 存在且 $b\ge 1$。

假设 $b>1$，则 $a\ge b^n>1+n(b-1)⟹n<\frac{a-1}{b-1}$，和阿基米德性质矛盾。$◻$

实指数幂的运算规则

对实数 $x,y$ 和正数 $a,b$，$a^x{b}^x=(ab{)}^x$，$a^x{a}^y=a^{x+y}$，$(a^x{)}^y=a^{xy}$。

证明（$a^x{a}^y=a^{x+y}$）

设 $a>1$，$\mathrm{\forall }0<\epsilon <\frac{1}{2}$，$\mathrm{\exists }r,s\in \mathbb{Q}$ 使得 $r\le x$，$s\le y$，$(1-\epsilon )a^x<a^r\le a^x$，$(1-\epsilon )a^t<a^s\le a^y$。

于是 $(1-2\epsilon )a^x{a}^t<(1-\epsilon {)}^2{a}^x{a}^y<a^r{a}^s=a^{r+s}\le a^{x+y}$，即 $1-\frac{a^{x+y}}{a^x{a}^y}\le 2\epsilon$。由 $\epsilon$ 的任意性可知 $1-\frac{a^{x+y}}{a^x{a}^y}\le 0$，即 $a^x{a}^y\le a^{x+y}$。

任取 $t\in \mathbb{Q}$ 满足 $t\le x+y$。任取正整数 $n$，则存在有理数 $r$ 满足 $x-\frac{1}{n}<r<x$。记 $s=t-r-\frac{1}{n}$，则 $s\le y$。因此

$$a^t=a^{r+s+\frac{1}{n}}=a^r{a}^s{a}^{\frac{1}{n}}\le a^x{a}^y{a}^{\frac{1}{n}}$$

于是 $a^{x+y}\le a^x{a}^t{a}^{\frac{1}{n}}$。由引理得 $a^{x+y}\le a^x{a}^y$。$◻$

指数函数的值域

对 $a>1$，$\mathrm{\forall }y>0$，$\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R}$ 使得 $a^x=y$。

证明

设 $B=\{r\in \mathbb{Q}|a^r\le y\}$。用 Bernoulli 证明 $B$ 非空有上界，因此 $B$ 有上确界 $x$。

任取正整数 $n$，存在有理数 $r\in B$ 满足 $x-\frac{1}{n}<r\le x$。于是 $a^x\le a^{r+\frac{1}{n}}=a^r{a}^{\frac{1}{n}}\le y{a}^{\frac{1}{n}}$。

另一方面，因为 $r+\frac{1}{n}\notin B$，所以 $a^x{a}^{\frac{1}{n}}\ge a^r{a}^{\frac{1}{n}}=a^{r+\frac{1}{n}}>y$。$◻$

对数函数、幂函数

对数函数

对任意 $a>1$ 及正数 $x$，$A=\{r\in \mathbb{Q}|a^r\le x\}$ 非空有上界，上确界记为 ${\log }_{a}x$，关于 $x>0$ 严格增。

对 $0<a<1$，定义 ${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}a}$，关于 $x>0$ 严格减。

对 $a,x,y>0$ 且 $a\ne 1$，${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$，${\log }_{a}a=1$。

${\log }_a$ 和 ${\exp }_a$ 互为反函数。

幂函数

对任意实数 $\mu$ 和 任意正数 $x$，定义 $x^{\mu }=2^{\mu {\log }_{2}x}$。

对任意 $\mu >0$，$x^{\mu }$ 关于正数 $x$ 是从 ${\mathbb{R}}^{+}$ 到 ${\mathbb{R}}^{+}$ 的严格增满射。

三角函数

公理

• $\cos (\theta -\phi )=\cos \theta \cos \phi +\sin \theta \sin \phi$。
• $\cos 0=1$。
• 存在整数 $\pi$ 使得 $\sin \frac{\pi }{2}=1$，$\cos \pi =-1$。

重要结论

对任意 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$，使得 $0<\cos \theta <\frac{\sin \theta }{\theta }<1$。

初等函数

基本初等函数

• 常值函数。
• 恒同函数 $\mathrm{id}(x)=x$。
• 指数、对数、幂函数。
• 三角、反三角函数。

初等函数

有限多基本初等函数经过有限多次四则运算和有限多次复合得到的函数。

多项式，有理分式，$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{n!}$ 是初等函数。$|x|,\mathrm{sgn}(x),D(x)$ 不是初等函数。

逻辑

否定、合取、析取、蕴含，逻辑量词。

蕴含式 $P⟹Q$ 只有在 $P$ 真 $Q$ 假时为假。

103 连续与极限

内容：

• 函数连续性的概念与性质。
• 函数在一点处的极限与单侧极限。
• 间断点分类。

连续

真正有价值的性质对一部分对象成立，对另一部分不成立。

连续

函数 $f:I\to \mathbb{R}$ 在 $x_0\in I$ 处 连续，若

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0:\mathrm{\forall }x\in I,|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$

称 $f$ 在 $A$ 上连续，指 $f$ 在每个 $x_0\in A$ 处连续。称 $f$ 是 连续函数，指 $f$ 在 $I$ 上连续。

自变量的小误差不会引起函数值的剧烈变化。我们希望当自变量的误差足够小时，函数值的误差也足够小。如何衡量 “任意小”？任意小就是 “想要多小有多小”。目标是函数值的误差任意小，那么任给函数值的非零误差，都要有自变量的非零误差，使得误差范围内所有自变量的函数值的误差也符合要求。

1. 前提条件：$f$ 在 $x_0$ 处有定义。
2. 对于 $0<{\epsilon }_2<{\epsilon }_1$，$|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-f(x_0)|<{\epsilon }_2<{\epsilon }_1$。如果较小的 $\epsilon$ 满足条件，那么较大的 $\epsilon$ 一定满足条件。$\epsilon$ 是不断变小的动态行为，$\delta$ 配合 $\epsilon$。可以限制 $\epsilon$ 不超过某个已知的正数（不能依赖于 $\epsilon$）。

• 对于一个 “任意正数”，如果它出现在不等式较大的一侧做限制，那么它描述的是任意小。如果它出现在不等式较小的一侧做限制，那么它描述的是任意大。

3. 连续描述的是函数在一个点处的 局部性质：局部函数值接近 $f(x_0)$。这里的 “局部” 不是固定的范围，而是一个任意小但没有小到只剩一个点的范围。
4. 因为 $\delta$ 出现在 $\epsilon$ 和 $x_0$ 之后，所以 $\delta$ 一般和 $\epsilon ,x_0$ 有关（如 $x^2$）。$\delta$ 和 $x_0$ 无关的连续（如 $\sqrt{x}$）称为 一致连续。

例 $1$

常值函数是连续函数。

例 $2$

绝对值函数是连续函数。

学会画图是理解数学的重要方式：可以受图像启发得到证明，但图像无法代替严格的证明。

例 $3$

$\sqrt{x}$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上连续。

证明

$\mathrm{\forall }{x}_0>0$，$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，若 $x_0+h\ge 0$，则

$$\begin{array}{rl}& |\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}|\\ =& \sqrt{|\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}||\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}|}\\ \le & \sqrt{|\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}||\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}|}\\ =& \sqrt{\left|h\right|}\\ <& \epsilon \end{array}$$

因此，当 $\sqrt{\left|h\right|}<\epsilon$，即 $\left|h\right|<{\epsilon }^2$ 时，$|f(x_0+h)-f(x_0)|<\epsilon$，即 $\delta ={\epsilon }^2$。$◻$

例 $4$

$x^2$ 是连续函数。

证明

$$\begin{array}{rl}& |(x_0+h{)}^2-x_0|\\ =& |2x_{0}h+h^2|\\ \le & 2|x_0||h|+|h{|}^2\\ \le & (2|x_0|+1)|h|& (|h|<1)\\ <& \epsilon \end{array}$$

$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，当 $|h|<\frac{\epsilon }{2|x_0|+1+\epsilon }$ 时（分母加 $\epsilon$ 保证 $|h|<1$），$|(x_0+h{)}^2-x_0^2|<\epsilon$。$◻$

证明连续不是解不等式，而是找使得不等式成立的充分条件。这给我们将不等式左侧自由放大的空间，并可以在放大的过程中对 $|h|$ 提出要求（$|h|$ 小于某个正数），只要将最终的结果与所有要求取交。

在证明 $\sqrt{x}$ 连续时，最终的 $\delta$ 与 $x_0$ 无关，$\sqrt{x}$ 一致连续。但 $x^2$ 的 $\delta$ 与 $x_0$ 有关，是否说明 $x^2$ 不一致连续？

$x^2$ 不一致连续。

证明

由于 $|(n+\frac{1}{n}{)}^2-n^2|=|2+\frac{1}{n^2}|>2$，所以对 $\epsilon =2$，$\delta (2,n)<\frac{1}{n}$，即随着 $x_0$ 增大，$\delta (2,x_0)$ 变得任意小。因此 $x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。随着抛物线远离对称轴，它会变得越来越陡峭。

$x^2$ 在任意有界区间上一致连续：令 $M$ 为 $x_0$ 的界，将 $M$ 带入 $\frac{\epsilon }{2|x_0|+1+\epsilon }$。

例 $5$

$\frac{1}{x}$ 在 $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}$ 上连续。

证明

$\mathrm{\forall }{x}_0\ne 0$，$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，

$$\begin{array}{rl}& |\frac{1}{x_0+h}-\frac{1}{x_0}|\\ =& \frac{|h|}{|x_0||x_0+h|}\\ \le & \frac{|h|}{|x_0|(|x_0|-|h|)}& (|h|<|x_0|)\\ <& \epsilon \end{array}$$

得 $|h|<\frac{\epsilon |x_0{|}^2}{1+\epsilon |x_0|}$，容易验证 $|h|<|x_0|$。$◻$

连续的性质

对于复杂函数，使用定义证明连续性太麻烦了。将复杂函数拆解为简单函数的方法是复合。

复合函数的连续性

若 $f$ 在 $x_0$ 处连续，$g$ 在 $y_0$ 处连续且 $y_0=f(x_0)$，那么 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处连续。

复合函数的连续性定理给予我们证明复杂函数连续性的简单方法。

连续函数的四则运算

若 $f,g$ 在 $x_0$ 处连续，那么 $f+g$，$f\cdot g$ 在 $x_0$ 处连续。若 $g(x_0)\ne 0$，则 $\frac{f}{g}$ 在 $x_0$ 处连续。

证明

加法显然，下证乘法。

$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，取 ${\epsilon }^{\prime }=\frac{\epsilon }{1+|f(x_0)|+|g(x_0)|+\epsilon }$，则 $0<{\epsilon }^{\prime }<1$ 且 $\mathrm{\exists }\delta >0$ 使得

$$|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-f(x_0)|<{\epsilon }^{\prime }\wedge |g(x)-g(x_0)|<{\epsilon }^{\prime }$$

此时

$$\begin{array}{rl}& |f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)|\\ =& |[f(x)-f(x_0)][g(x)-g(x_0)]+f(x_0)[g(x)-g(x_0)]+g(x_0)[f(x)-f(x_0)]|\\ \le & ({\epsilon }^{\prime }+|f(x_0)|+|g(x_0)|){\epsilon }^{\prime }\\ \le & (1+|f(x_0)|+|g(x_0)|){\epsilon }^{\prime }& ({\epsilon }^{\prime }<1)\\ <& \epsilon \end{array}$$

利用复合函数连续性将 $\frac{f}{g}$ 在 $x_0$ 处的连续性转化为 $f\cdot \frac{1}{g}$ 在 $x_0$ 处的连续性，而乘积在 $x_0$ 处的连续性已经被证明了。$◻$

推论

多项式和有理函数都是连续函数。

单侧连续

仅对 一元实变量函数 有单侧连续的概念。

称函数 $f:I\to \mathbb{R}$ 在 $x_0\in I$ 处 右连续，若

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0:\mathrm{\forall }x\in I,x_0\le x<x_0+\delta ⟹|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$

类似定义 $f$ 在 $x_0$ 处 左连续。

$f$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当它在 $x_0$ 处左连续且右连续。

区间映到区间的单调满射连续

设 $I,J\subseteq \mathbb{R}$ 是区间，$f:I\to J$ 是单调满射，则 $f$ 是连续函数。

• $I$ 是区间当且仅当 $\mathrm{\forall }a,b\in I(a<b),\mathrm{\forall }c:a<c<b⟹c\in I$。统一定义区间为了避免对开闭区间以及两侧是否有界的讨论。

证明

不妨设 $f$ 单调不减，否则考虑 $-f$。$\mathrm{\forall }{x}_0\in I$：

如果 $x_0$ 不是 $I$ 的右端点，则存在 $x_1\in I$ 使得 $x_1>x_0$，于是 $f(x_0)\le f(x_1)$。

若 $f(x_0)=f(x_1)$，则 $\mathrm{\forall }x\in [x_0,x_1)$，$f(x_0)\le f(x)\le f(x_1)=f(x_0)$，于是 $f$ 在 $x_0$ 处右连续。

若 $f(x_0)<f(x_1)$，则 $\mathrm{\forall }{y}_2\in (f(x_0),f(x_1))\subseteq J$，因为 $f$ 是满射，所以存在 $x_2$ 使得 $f(x_2)=y_2$。再由 $f$ 单调不减知 $x_2\in (x_0,x_1)$。于是 $\mathrm{\forall }x\in [x_0,x_2)$，$f(x_0)\le f(x)\le f(x_2)=y_2$，从而 $f$ 在 $x_0$ 处右连续。

• 证明连续，不应拘泥于最基本的 $\epsilon -\delta$ 语言。以上证明没有出现 $\epsilon$ 和 $\delta$，但 $y_2$ 充当了 $\epsilon$ 的角色，$x_2$ 充当了 $\delta$ 的角色。$\mathrm{\forall }x\in [x_0,x_2]:f(x_0)\le f(x)\le f(x_2)=y_2$ 结合 $y_2$ 的任意性（$\mathrm{\forall }0<\epsilon <f(x_2)-f(x_0)$）和 $x_2$ 的存在性（存在 $x_2>x_0$ 使 $f(x_2)=y_2$），是 $\epsilon -\delta$ 语言的等价表述。

如果 $x_0$ 是 $I$ 的右端点，那么 $x_0$ 右侧没有定义，蕴含式恒为真。因此 $f$ 在 $x_0$ 处右连续。

同理知 $f$ 左连续。

综上，$f$ 是连续函数。$◻$

推论

指数函数，对数函数，幂函数是连续函数。

$\mathrm{\forall }a>0\wedge a\ne 1$，$a^x$ 是 $\mathbb{R}$ 到 ${\mathbb{R}}^{+}$ 的单调满射。

${\log }_{a}x$ 是 ${\mathbb{R}}^{+}$ 到 $\mathbb{R}$ 的单调满射。

幂函数 $x^{\mu }=2^{\mu {\log }_{2}x}$ 是连续函数的复合。

总结

• $|x-x_0|<\delta$ 是 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ 的充分条件，无需充要。不是解不等式 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。
• 只需证明 $\delta$ 的存在性，无需求出 $\delta$ 的具体值，也无需求出最优解（最大值）。
• 对复杂函数，用定义方式很难讨论。根据函数结构将问题分解为简单的情形（必须经过有限步拆解）。

极限

聚点

称 $x_0$ 是 $I$ 的 聚点，若

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }x\in I:0<|x-x_0|<\epsilon$$

若 $x_0\in I$ 不是 $I$ 的聚点，则 $x_0$ 是 $I$ 的 孤立点。

集合的聚点不一定在集合内：$0$ 是 $(0,1)$ 的聚点，因为 $0$ 的任意右侧都有属于该区间的点。

$I=\{\frac{1}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$ 的聚点只有 $0$。

$I=\{x\in \mathbb{R}|x^2<2\}$ 的聚点为 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。

$I=\{x\in \mathbb{Q}|x^2<2\}$ 的聚点为 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$（$\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 上稠密）。

极限

称 $A$ 为 $x$ 趋于 $x_0$ 时 $f(x)$ 的 极限，若 $x_0$ 是 $f$ 的定义域 $I$ 的 聚点（不要求 $x_0\in I$），且

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0:\mathrm{\forall }x\in I,0<|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-A|<\epsilon$$

记作 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$。

连续与极限的定义非常相似，它们都描述了 $f$ 在 $x_0$ 处的局部性质，但极限不要求 $f$ 在 $x_0$ 处有定义（$|x-x_0|>0$），也和 $f(x_0)$ 的取值无关（$|f(x)-A|<\epsilon$）。极限是对 $x_0$ 局部其它函数值的性质的刻画：随着邻域越来越小，取值波动减小，最终趋于某定值 $A$。这要求 $f$ 在 $x_0$ 任意小的邻域内都要有定义（定义域能够无限靠近 $x_0$：避免蕴含式条件 $0<|x-x_0|<\delta$ 恒不成立的情况），但并非所有位置都要有定义，进而引出了聚点的概念。

区别：连续的 $x_0$ 可以是孤立点（在小邻域内只有 $x_0$ 处有定义）（数学连续不等于几何连续），极限的 $x_0$ 可以没有定义（但不能是孤立点）。

极限与连续的关系

设 $x_0$ 是 $I$ 的聚点，则 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$ 当且仅当 $g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in I\mathrm{\setminus }\{x_0\};\\ A,& x=x_0.\end{array}$ 在 $x_0$ 处连续。

理解：$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$ 要求 $x_0$ 是 $I$ 的聚点。由于 $g(x_0)=A$，所以 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续的 $\epsilon -\delta$ 条件和 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$ 的 $\epsilon -\delta$ 语言几乎一致。

设 $x_0\in I$ 是 $I$ 的聚点，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$。

注：黄皮教材上用极限定义连续，所以教材上连续的定义不包含孤立点。

极限的四则运算

根据极限与连续的关系，以及连续函数的性质，得极限的四则运算……

数学上的很多性质都是通过条件加公式的形式描述的。等式不仅描述了相等关系，也告诉我们等式某一侧的式子为什么存在。因此，四则运算的极限的存在性也是定理重要的一部分。

复合函数极限

设 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=y_0$，$g$ 在 $y_0$ 处连续，则 $\underset{x\to x_0}{lim}g(f(x))=g(y_0)$。

特别注意

如果没有 $g$ 在 $y_0$ 连续的条件，但 $g$ 在 $y_0$ 处有极限，则不能简单认为 $\underset{x\to x_0}{lim}g(f(x))=\underset{y\to y_0}{lim}g(y)$。此时极限甚至不一定存在，因为 $x\to x_0$ 的过程中，$f(x)$ 可能不断取到 $y_0$，使得 $g(f(x))$ 被 $g(y_0)$ 处不一定等于极限的取值带偏，导致极限不存在。

如果能额外保证在 $x\to x_0$ 的过程中 $f(x)$ 时刻不等于 $y_0$，则 $\underset{x\to x_0}{lim}g(f(x))=\underset{y\to y_0}{lim}g(y)$。

• $y\to y_0$ 表示 $y$ 任意接近 $y_0$ 但 $y\ne y_0$。

复合函数极限定理允许我们在一定条件下使用 换元法。

夹挤定理

设 $x_0$ 是 $I$ 的聚点。若 $f(x)\le g(x)\le h(x),\mathrm{\forall }x\in I$，且 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}h(x)=A$，则 $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$ 存在 且等于 $A$。

注意：只有当两侧极限 存在且相等 时，中间函数的极限存在且等于两侧极限。如果不等，不能推出极限存在。

例 $6$

$$\underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}$$

解

$-|x|\le x\sin \frac{1}{x}\le |x|$。由夹挤定理，$\underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}=0$。

四则运算通过函数的等式关系计算极限，夹挤定理通过函数的不等式关系计算极限。

极限的保号性

极限 保号，但 不保持严格不等号：若 $f(x)\le g(x)$ 且极限存在，则 $limf(x)\le limg(x)$。若 $f(x)<g(x)$ 且极限存在，则 $limf(x)$ 不一定严格小于 $limg(x)$。

反之，若 $limf(x)<limg(x)$，则在某去心邻域内 $f(x)<g(x)$（局部有界）。

单侧极限

右极限 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A$，若

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0:\mathrm{\forall }x\in I,x_0<x<x_0+\delta ⟹|f(x)-A|<\epsilon$$

类似定义 左极限 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A$。

单侧极限和极限的关系：若 $x_0$ 两侧都可以被 $I$ 逼近，则

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A⟺\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A$$

极限的四则运算和夹挤定理也适用于单侧极限的情况。

例 $7$（重要极限）

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\sin x}{x}$$

解

根据几何意义，对 $0<x<\frac{\pi }{2}$，有 $0<\sin x<x<\tan x$。

由夹挤定理，$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sin x=0$。于是 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\cos x=\underset{x\to 0}{lim}\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=1$。

因为 $x<\tan x$，所以 $\cos x<\frac{\sin x}{x}$。因为 $\sin x<x$，所以 $\frac{\sin x}{x}<1$。于是 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$。

因为 $\frac{\sin x}{x}$ 是偶函数，所以 $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$。

因此，$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$。

• 仅用公理定义三角函数需要更复杂的知识在定义和几何解释之间建立联系。

利用四则运算得到一些重要极限：$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=1$，$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$。

间断

可去间断点

称 $x_0$ 是 $f$ 的 可去间断点，若

• $x_0$ 是 $I$ 的聚点，且极限存在。
• $x_0\notin I$ 或取值不等于极限。

没有函数值或函数值没给好导致不连续，但有极限，将函数值改成极限则连续。

例 $8$

Riemann 函数

$$R(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\wedge n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\wedge gcd(m,n)=1;\\ 0,& x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}.\end{array}$$

在无理数连续，所有有理数是可去间断点。

证明

思路：对长度小于 $\frac{1}{N^2}$ 的区间，最多有一个分母不大于 $N$ 的既约分数。

$\mathrm{\forall }{x}_0\in \mathbb{R}$，$\mathrm{\forall }N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$：考虑 $(x_0-\frac{1}{2N^2},x_0+\frac{1}{2N^2})$，则存在 $\delta >0$ 使得对任意 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，要么 $x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}$，要么 $x$ 是分母大于 $N$ 的既约分数。

而 $N$ 是任取的，所以总有 $\underset{x\to x_0}{lim}R(x)=0$。$◻$

（跳跃）间断点

设 $x_0$ 是定义域的 聚点。如果 $f$ 在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f$ 的 间断点。

$x_0$ 是 $f$ 的 跳跃间断点，指 $f$ 在 $x_0$ 处的左右极限存在但不相等。

• 可去间断点和跳跃间断点统称为 第一类间断点。
• 其它间断点统称为 第二类间断点（至少一侧极限不存在）。

例 $9$

$x=0$ 是 $f(x)=\frac{x}{|x|}$ 第一类间断点（跳跃间断点）。

$x=0$ 是 $f(x)=\frac{1}{x}$ 的第二类间断点。

$x=0$ 是 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 的第二类间断点。

104 无穷远与无穷大

内容：

• 无穷远，极限的一般概念，数列极限。
• 单调性与极限。

无穷大

无穷远

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$，若

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }M>0:\mathrm{\forall }x\in I,x>M⟹|f(x)-A|<\epsilon$$

例 $1$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+1}{x-2}$$

解

“主项法” 可以猜出答案是 $2$。

$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，当 $x>2+\frac{5}{\epsilon }$ 时，$|\frac{2x+1}{x-2}-2|=\left|\frac{5}{x-2}\right|<\epsilon$。

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$，若

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }M>0:\mathrm{\forall }x\in I,x<-M⟹|f(x)-A|<\epsilon$$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$，若

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }M>0:\mathrm{\forall }x\in I,|x|>M⟹|f(x)-A|<\epsilon$$

无穷远和数轴上的某个点没有本质区别（北极投影）。因此，函数在无穷远处的极限和在某一点处的极限具有相同的性质：四则运算、换元、夹挤定理、局部有界。

去心邻域

设 $c$ 为 $x_0,x_0^{+},x_0^{-},-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$ 的任何一个，则 $c$ 的 邻域 和 去心邻域 是……

为了统一所有不同情况的极限。

极限的统一定义

设 $c$ 是 $x_0,x_0^{+},x_0^{-},-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$ 的任何一个，$A$ 是实数或 $-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$ 的任何一个。$\underset{x\to c}{lim}f(x)=A$，指对 $A$ 的任何邻域 $V$，存在 $c$ 的去心邻域 $W$，使得 $\mathrm{\forall }x\in W\cap I:f(x)\in V$。

无穷大量

称 $x\to c$ 时 $f(x)$ 是 无穷大量，若 $\underset{x\to c}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$。类似定义正无穷大量和负无穷大量。

无穷大量不是任何数，是一个 动态过程。

加法未定型：两个异号无穷大相加，或至少一个符号未确定。

乘法未定型：零乘以无穷大。

数列极限

数列极限

数列 $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ 是定义在 ${\mathbb{N}}^{\ast }$ 上的函数，可定义极限 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$。

类似有极限的性质。

复合极限

设 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$，$\underset{x\to A}{lim}g(x)=B$。若 $g$ 在 $A$ 连续，或 $A$ 是无穷大，或 $a_n\ne A$，则 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(a_n)=B$。

复合极限定理反过来是海涅定理。

海涅定理

若对任意以 $A$ 为极限且 $a_n\ne A$ 的数列，均有 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(a_n)=B$，则 $\underset{x\to A}{lim}g(x)=B$。

证明

反证法。假设 $\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0$ 使得 $\mathrm{\forall }\delta >0$，$\mathrm{\exists }{x}_{\delta }\in I$，满足 $0<|x_{\delta }-A|<\delta$，但 $|g(x_{\delta })-B|\ge \epsilon$。取 $\delta =\frac{1}{n}$（技巧：将连续参数变成离散参数），得到 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=A$ 但 $g(x_n)$ 不以 $B$ 为极限。矛盾。$◻$

海涅定理联系了连续的极限和离散的极限。

子列

一种特殊的数列极限复合。

设 $\{n_k{\}}_{k\ge 1}$ 为严格增的正整数列，记 $b_k=a_{n_k}$，则称 $\{b_k{\}}_{k\ge 1}$ 为数列 $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ 的 子列。

子列极限

若 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$，则 $\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_{n_k}=A$。

定理

若 $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ 是单射，则 $\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(k)=+\mathrm{\infty }$。

允许 $n_k$ 不严格增。

单调函数极限

定理

设 $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ 单调不减。

若 $f$ 有上界，则 $\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\in (a,b)}{sup}f(x)$。

若 $f$ 无上界，则 $\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$。

证明

设 $A$ 是上界。对 $A_1<A$，存在 $x_1\in (a,b)$ 使得 $f(x_1)>A_1$。对任意 $x\in (x_1,b)$，$A_1<f(x_1)\le f(x)\le A$。

第二种情况类似。$◻$

单调有界收敛

设 $a_n$ 单调不减。

若 $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ 有上界，则 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\ge 1}{sup}{a}_n$。

若 $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ 无上界，则 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=+\mathrm{\infty }$。

推论

区间上的单调函数在区间内部的间断点是跳跃间断（端点可以是可去间断），且最多只有可数多个间断点（在函数值的跳跃区间内找一个有理数与之对应）。

能否构造严格增的有界函数，使得在无理数处连续，在所有有理数处间断？

重要极限 $\mathrm{e}$

定理

$a_n={(1+\frac{1}{n})}^n$ 单调增，$b_n={(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$ 单调减。

证明

$$\begin{array}{rl}& \frac{a_{n+1}}{a_n}\\ =& \frac{(n+2{)}^{n+1}{n}^n}{(n+1{)}^{2n+1}}\\ =& \frac{n+2}{n+1}{(1-\frac{1}{n^2+2n+1})}^n\\ >& \frac{n+2}{n+1}(1-\frac{n}{n^2+2n+1})\\ =& \frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\\ >& 1\end{array}$$

$b_n$ 类似。

可知 $a_1<\cdots <a_n<\cdots <b_n<\cdots <b_1$。

$a_n$ 单调增有上界，所以收敛。$b_n$ 等于 $a_n$ 乘以趋于 $1$ 的因子，所以 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 和 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$ 存在且相等。定义该极限值为 $\mathrm{e}$。

例 $2$

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{0!}+\cdots +\frac{1}{n!})=\mathrm{e}$$

证明

记数列为 $S_n$。

一方面

$$a_n={(1+\frac{1}{n})}^n=\sum _{i=0}^n\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{n^i}=\sum _{i=0}^n\frac{1}{i!}\frac{n^{\underset{―}{i}}}{n^i}<S_n$$

另一方面，任给正整数 $k$，对任意正整数 $n>k$，有

$$a_n>\sum _{i=0}^k\frac{1}{i!}\frac{n^{\underset{―}{i}}}{n^i}$$

令 $n\to +\mathrm{\infty }$，得 $\mathrm{e}\ge \sum _{i=0}^k\frac{1}{i!}=S_k$。可知 $S_n$ 单调增有上界 $\mathrm{e}$，有极限不超过 $\mathrm{e}$。

在 $a_n\le S_n$ 中令 $n\to +\mathrm{\infty }$ 得 $\mathrm{e}\le \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{S}_n$。因此 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\mathrm{e}$。$◻$

从离散到连续

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x$$

当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时

$${(1+\frac{1}{[x]+1})}^{[x]}<{(1+\frac{1}{x})}^{[x]}<{(1+\frac{1}{x})}^x<{(1+\frac{1}{x})}^{[x]+1}<{(1+\frac{1}{[x]})}^{[x]+1}$$

由夹挤定理，$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=\mathrm{e}$。

当 $x\to -\mathrm{\infty }$ 时，令 $y=-x$，$u=y-1$，则

$${(1+\frac{1}{x})}^x={(1-\frac{1}{y})}^{-y}={(1+\frac{1}{y-1})}^y={(1+\frac{1}{u})}^u(1+\frac{1}{u})$$

于是 $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=\mathrm{e}$。

例 $3$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}$$

解

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{lim}y\ln (1+\frac{1}{y})=\ln \left[\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{y})}^y\right]=\ln \mathrm{e}=1$$

例 $4$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x},\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^{\mu }-1}{x-1}$$

解

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x}=\underset{y\to 0}{lim}\frac{y}{\frac{\ln (1+y)}{\ln a}}=\ln a(a\ne 1)$$

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^{\mu }-1}{x-1}=\underset{y\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{\mu \ln (1+y)}-1}{y}=\underset{y\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{\mu \ln (1+y)}-1}{\mu \ln (1+y)}\frac{\mu \ln (1+y)}{y}=\mu (\mu \ne 0)$$

例 $3$，例 $4$ 和 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$ 都是重要极限。

105 无穷小，大 O 与 小 o

无穷小

无穷小量

当 $x\to c$ 时，$f(x)$ 是 无穷小量，指 $\underset{x\to c}{lim}f(x)=0$。

无穷小量的和、差、积是无穷小量。

和无穷大量一样，无穷小量不是零，是一个 动态过程。$x^2$ 在 $x\to 0$ 时是无穷小量，在 $x\to \mathrm{\infty }$ 时是无穷大量。

$\underset{x\to c}{lim}f(x)=A$ 即当 $x\to c$ 时，$f(x)-A$ 是无穷小量。

$\underset{x\to c}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ 即当 $x\to c$ 时，$\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小量。

有界量

当 $x\to c$ 时，$f(x)$ 是 有界量，指存在 $M>0$ 和 $c$ 的去心邻域 $W$ 使得 $\mathrm{\forall }x\in W\cap I:|f(x)|\le M$。

有界量的和、差、积是有界量。有界量与无穷小量的乘积是无穷小量。

大 O 与小 o

大 O

当 $x\to c$ 时，$f(x)=O(g(x))$ 指存在 $M>0$ 以及 $c$ 的去心邻域 $W$ 使得 $\mathrm{\forall }x\in W\cap I:|f(x)|\le M|g(x)|$。即被 $g(x)$ 的常数倍数所控制。

注

$O(g(x))$ 是在 $c$ 附近所有被 $g(x)$ 控制的函数集合，$f(x)=O(g(x))$ 表示 $f(x)\in O(g(x))$，但后者不便于计算。

若 $f_1=O(g),f_2=O(g),x\to c$，则 $f_1+f_2=O(g)$。

若 $f_1=O(g_1),f_2=O(g_2),x\to c$，则 $f_1{f}_2=O(g_1{g}_2)$。

同阶

当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 同阶，记为 $f=\mathrm{\Theta }(g),x\to c$，指 $f=O(g)$ 且 $g=O(f)$。

$x\to 0$ 时，与 $x^{\alpha }$ 同阶的无穷小称为 $\alpha$ 阶无穷小。

$x\to +\mathrm{\infty }$ 时，与 $x^{\alpha }$ 同阶的无穷大称为 $\alpha$ 阶无穷大。

注意

$x\to 0$ 时，$x^2\sin \frac{1}{x}$ 和 $x^2$ 不同阶。

一些教材用比值为非零有限极限定义同阶，这只是同阶的充分条件。考虑 $x^2(2+\sin \frac{1}{x})$ 和 $x^2$。

小 o

当 $x\to c$ 时，$f(x)=o(g(x))$ 指对任意 $\epsilon >0$，存在 $c$ 的去心邻域 $W$ 使得 $\mathrm{\forall }x\in W\cap I:|f(x)|\le \epsilon |g(x)|$。即被 $g(x)$ 的任意小的倍数所控制。

若 $f_1=o(g),f_2=o(g),x\to c$，则 $f_1+f_2=o(g)$。

若 $f_1=o(g_1),f_2=O(g_2),x\to c$，则 $f_1{f}_2=o(g_1{g}_2)$。

等价

当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 等价，指 $f=g+o(g)$。

注意

一些教材用比值为 $1$ 定义等价，两种定义几乎相同，但比值定义无法处理函数值均为 $0$ 的情况。

需要验证自反、对称、传递性。

定理

当 $x\to c$ 时，若 $f+o(f)=G+o(g)$，$G=O(g)$，则 $f=G+o(g)$。

证明

记为 $f+\alpha =G+\beta$，其中 $|G|\le M|g|$。

$\mathrm{\forall }\epsilon >0$，取 ${\epsilon }^{\prime }=\frac{\epsilon }{1+M+\epsilon }$，存在 $c$ 的去心邻域 $W$ 使得 $|\alpha |\le {\epsilon }^{\prime }|f|$，$|\beta |\le {\epsilon }^{\prime }|g|$。

$$|f|\le |G|+|\alpha |+|\beta |\le (M+{\epsilon }^{\prime })|g|+{\epsilon }^{\prime }|f|⟹|f|\le \frac{M+{\epsilon }^{\prime }}{1-{\epsilon }^{\prime }}|g|$$

这一步证明了 $f=O(g)$，于是 $\alpha =o(g)$。

$$|f-G|\le |\alpha |+|\beta |\le {\epsilon }^{\prime }|f|+{\epsilon }^{\prime }|g|\le \epsilon |g|$$

$◻$

推论

若 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 等价，则 $g$ 与 $f$ 等价。

若 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 等价，$g$ 与 $h$ 等价，则 $f$ 与 $h$ 等价。

基本初等函数的渐进展开

除法

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+o(x^n),x\to 0$$

指数函数

$${\mathrm{e}}^x=1+x+o(x),x\to 0$$

对数函数

$$\ln (1+x)=x+o(x),x\to 0$$

幂函数

$$(1+x{)}^{\alpha }={\mathrm{e}}^{\alpha \ln (1+x)}={\mathrm{e}}^{\alpha x+o(x)}=1+\alpha x+o(x),x\to 0$$

三角函数

$$\sin x=x+o(x),x\to 0$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2),x\to 0$$

$$\tan x=x+o(x),x\to 0$$

反三角函数

$$\arcsin x=x+o(x),x\to 0$$

$$\arccos x=\frac{\pi }{2}-x+o(x),x\to 0$$

$$\arctan x=x+o(x),x\to 0$$

例 $1$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos (1-\cos x)}{x^4}$$

解

$$1-\cos x=\frac{x^2}{2}+o(x^2),x\to 0$$

所以

$$1-\cos (1-\cos x)=\frac{{(\frac{x^2}{2}+o(x^2))}^2}{2}+o(x^4)=\frac{x^4}{8}+o(x^4),x\to 0$$

因此极限为 $\frac{1}{8}$。

小 o 的语言可以求函数的渐进表达式。

例 $2$

求 $x\to 0$ 时，${\mathrm{e}}^x$ 的渐进表达式。

解

已知 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}=1$。

设 $u(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-1-x}{x}$，则 $u(x)\to 0,x\to 0$，可定义 $u(0)=0$。

于是 ${\mathrm{e}}^x=1+x+xu(x)$。

$$1+2x+2xu(2x)={\mathrm{e}}^{2x}=({\mathrm{e}}^x{)}^2=(1+x+xu(x){)}^2$$

得

$$u(2x)-u(x)-\frac{x}{2}=o(x),x\to 0$$

对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$ 使得对任意 $0<|x|<\delta$：设 $x_n=\frac{x}{2^n}$，$n$ 是非负整数，则

$$-\epsilon |x_n|<u(2x_n)-u(x_n)-\frac{x_n}{2}<\epsilon |x_n|$$

累加，让 $n\to +\mathrm{\infty }$，得

$$-\epsilon |x|\le u(x)-\frac{x}{2}\le \epsilon |x|$$

因此

$${\mathrm{e}}^x=1+x+xu(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2),x\to 0$$

小 o 的符号帮助我们避免等价无穷小替换时的常见错误。

例 $3$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$$

解

如果认为 $\tan x\sim x$ 且 $\sin \sim x$，则得到错误结果 $0$。实际上 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{o(x)}{x^3}$ 的结果不能确定。

$$\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cos x}=\frac{(x+o(x))(\frac{x^2}{2}+o(x^2))}{x^3(1+o(1))}=\to \frac{1}{2},x\to 0$$

学习 Taylor 展开之后会有系统性的方法解决这类问题。

总结

小 o 为函数的渐进展开提供了简洁的表示形式，使我们可以只关注主项，但不完全无视次要的项的存在。当主项在运算中消失时，小 o 提醒我们需要从原来次要的项当中分离新的主项。

善于使用小 o 的语言和符号是微积分的一项重要技能。

106 深入研究连续性

连续是函数的局部性质。从局部性质出发，研究连续函数所具有的整体性质。

内容：

• 实数的连续性：有界闭区间套、列紧性、Cauchy 收敛准则。
• 连续函数的性质：连通性（介值定理、零点定理）、反函数的连续性。
• 最大最小值定理、一致连续性。
• 压缩不动点定理。
• 二分法。

实数的连续性

确界性

任何非空有上界的实数子集都有上确界。

单调有界收敛

任何单调不减且有上界的数列有极限。一条关于数列极限存在性的重要结论。

$$a_n\nearrow ,a_n\le M⟹\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\ge 1}{sup}{a}_n$$

有界闭区间套

有界闭区间套有非空交集（实数轴上没有洞）。

$$[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]⟹\bigcap _{n\ge 1}[a_n,b_n]\ne \varnothing$$

证明

根据单调有界收敛定理，$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\ge 1}{sup}{a}_n=:\alpha$，$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\underset{n\ge 1}{inf}{b}_n=:\beta$。只需证明 $\alpha \le \beta$ 和 $\bigcap _{n\ge 1}[a_n,b_n]\supseteq [\alpha ,\beta ]$。

根据上下确界的性质证明 $\bigcap _{n\ge 1}[a_n,b_n]=[\alpha ,\beta ]$。

推论

当 $b_n-a_n\to 0$ 时，$\alpha =\beta$，有界闭区间套仅包含一个数。

为什么要求有界：$[n,+\mathrm{\infty })$ 是闭区间。

闭集

称 $A\subseteq \mathbb{R}$ 是 闭集，指 $A$ 对极限封闭。

$(-\mathrm{\infty },b]$ 和 $[a,+\mathrm{\infty })$ 是闭集。

两个闭集的并集是闭集，所以 $\mathbb{R}$ 是闭集。

任意一组闭集的交是闭集。

空集 $\varnothing$ 是闭集。

有界闭集套定理

有界闭区间套定理的推广。

证明

有界、闭显然，下证非空。

记 $a_n=inf{F}_n$，则 $a_n\in F_n$：对任意 $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，存在 $x_m\in F_n$ 使得 $a_n\le x_m<a_n+\frac{1}{m}$，于是数列 $x_m$ 收敛至 $a_n$。由闭集可知 $a_n\in F_n$。

于是 $a_{n+1}\in F_{n+1}\subseteq F_n$，可知 $a_n\le a_{n+1}$。$b_1=sup{F}_1$ 是 $a_n$ 的上界。根据单调有界收敛定理，$\alpha =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 存在。

而 $\mathrm{\forall }m\ge n$，$a_m\in F_n$，根据闭集性质，$\alpha \in F_n$。$◻$

证明过程中的重要结论：非空有界闭集有最值。

有界闭集套定理的条件的必要性：

• 有界：$F_n=[n,+\mathrm{\infty })$。
• 闭：$F_n=(0,\frac{1}{n}]$。
• 非空：$F_n=\varnothing$。

列紧性（Bolzano-Weierstrass）

任何有界实数列都有收敛子列。

• 收敛数列一定有界，有界数列不一定收敛。但有界数列有收敛子列。

证明

设 $m\le x_n\le M$。取 $a_1=m$，$b_1=M$，则 $[a_1,b_1]$ 含有 $x_n$ 的所有项。取 $n_1=1$。

若 $[a_1,\frac{a_1+b_1}{2}]$ 含有 $x_n$ 的无穷多项，则取 $a_2=a_1$，$b_2=\frac{a_1+b_1}{2}$，否则取 $a_2=\frac{a_1+b_1}{2}$，$b_2=b_1$。则 $[a_2,b_2]\subseteq [a_1,b_1]$，且包含 $x_n$ 的无穷多项。从而存在 $n_2>n_1$ 使得 $x_{n_2}\in [a_2,b_2]$。

这构造了有界闭区间套 $[a_k,b_k]$ 以及 $x_n$ 的子列 $x_{n_k}$。由有界闭区间套定理，夹挤定理和 $b_k-a_k\to 0$ 可知 $\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}$ 存在。$◻$

• 核心：将问题转化为在闭区间套做搜索。

Cauchy 收敛准则

非常非常重要的准则。

实数列 $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ 收敛，当且仅当它是 Cauchy 数列：

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N>0:\mathrm{\forall }n\ge N,\mathrm{\forall }p\ge 1,|a_{n+p}-a_n|<\epsilon$$

Cauchy 准则的重要性在于证明收敛时无需知道极限，只需数列末尾任意两项比大小。

证明

先证有界，再找极限：令 $\epsilon =1$，则对任意 $n\ge 1$，$|x_n|\le 1+\sum _{i=1}^{N_0}|x_i|$。

思路：通过构造有界闭区间套找到极限。

• 找收敛子列和求极限不同。不同于列紧性的证明，如果直接平分区间，两侧可能同时有数列的无穷多项，但因为求极限，我们只能舍弃有限多项。此时需要用到 Cauchy 数列的性质。

取 $\epsilon =\frac{b_k-a_k}{3}$，存在 $N_k>0$，使得数列在 $N_k$ 之后的所有项要么全部落在区间的左 $\frac{2}{3}$，要么全部落在区间的右 $\frac{2}{3}$。得到有界闭区间套 $[a_k,b_k]$ 和单调增的正整数数列 $N_k$，且 $\mathrm{\forall }n\ge N_k,x_n\in [a_k,b_k]$。

根据有界闭区间套定理，结合 $b_k-a_k\to 0$，可知数列极限存在。$◻$

另一证明思路

由列紧性得到收敛子列，结合 Cauchy 性易证。“先收敛带动后收敛”。

在不知道极限存在的情况下如何证明极限存在：单调有界收敛 $\to$ 有界闭区间套（两侧单调有界收敛）$\to$ Cauchy 收敛准则。

注意：Cauchy 收敛准则在有理数集上不成立。所有定理的根本保证是实数的确界性。

序列及其极限的概念适用于任何距离空间。称距离空间是 完备 的，指其中任何 Cauchy 数列都有极限。利用 Cauchy 数列可将距离空间完备化（构造完备空间包含原空间）：将 Cauchy 列作为对象。如果两个 Cauchy 列可合并为一个 Cauchy 列，则它们代表同一对象。这提供了用有理数构造实数的方法。

• 合并：$a_1,b_1,a_2,b_2,\cdots ,a_n,b_n,\cdots$。
• 四则运算：$a_1\pm b_1,a_2\pm b_2,\cdots ,a_n\pm b_n,\cdots$。
• 两个 不同 Cauchy 列比大小：$\mathrm{\exists }N,\mathrm{\forall }n\ge N,a_n<b_n$。

有理数组成的 Cauchy 列构成了新的集合，集合是完备空间，它就是实数集。

压缩不动点（Banach）

设 $A\subset \mathbb{R}$ 是非空闭集。函数 $F:A\to \mathbb{R}$ 满足

1. $F(A)\subseteq A$。
2. （压缩）存在 $0<\lambda <1$ 使得 $\mathrm{\forall }x,y\in A,|F(x)-F(y)|\le \lambda |x-y|$。

则 存在唯一的 $x^{\ast }\in A$ 使得 $f(x^{\ast })=x^{\ast }$，且 $\mathrm{\forall }{x}_0\in A$ 以及 $\mathrm{\forall }n\ge 1,|F^n(x_0)-x^{\ast }|\le \frac{{\lambda }^n}{1-\lambda }|F(x_0)-x_0|$。

• 用处：解方程 $f(x)=0$ 相当 于求 $g(x)=f(x)+x$ 的不动点。

• 个人理解：找不动点相当于找函数图像与 $y=x$ 的交点。“压缩” 保证了随着 $x$ 在 $A$ 中增大，$F(x)$ 和 $x$ 的大小关系会从原来的 $F(x)>x$ 变为 $F(x)<x$。使得大小关系改变的唯一点就是 $F(x)=x$ 的不动点。

证明

证明 $x_n=F^n(x_0)$ 是 Cauchy 数列，其中有 $|x_{n+p}-x_n|\le \frac{{\lambda }^n(1-{\lambda }^p)}{1-\lambda }|x_1-x_0|\le \frac{{\lambda }^n}{1-\lambda }|x_1-x_0|$，放缩到与 $p$ 无关是为了去除在证明 Cauchy 时 $p$ 的影响。

于是极限存在，记作 $x^{\ast }$。令 $p\to +\mathrm{\infty }$，得到 $|x^{\ast }-x_n|\le \frac{{\lambda }^n}{1-\lambda }|x_1-x_0|$。

根据 $|F(x^{\ast })-x^{\ast }|\le |F(x^{\ast })-F(x_n)|+|x_{n+1}-x^{\ast }|\le \lambda |x^{\ast }-x_n|+|x_{n+1}-x^{\ast }|$，令 $n\to +\mathrm{\infty }$，$|F(x^{\ast })-x^{\ast }|\le 0$，于是 $F(x^{\ast })=x^{\ast }$。

根据压缩性，不存在两个不动点，所以 $\mathrm{\forall }{x}_0\in A$，形成的数列最终都会收敛至 $x^{\ast }$。$◻$

压缩不动点适用于任意维：一张地图平铺在它所描述的区域内，恰有地图上的一点描述了它所在的位置。

• 闭集条件的必要性：$x_n$ 的极限 $x^{\ast }\in A$。反例：$f(x)=\frac{1}{2}x$ 在 $(0,1]$ 上。
• 不动点的蛛网图逼近：函数图像左上右下：蜘蛛网；函数图像左下右上：单侧逼近。

例 $1$

设 $0<\epsilon <1$。证明 $f(x)=x-\epsilon \sin x$ 有定义在 $\mathbb{R}$ 上的连续反函数。

证明

设 $F(x)=y+\epsilon \sin x$，那么 $y=f(x)⟺F(x)=x$。$F$ 将闭集 $\mathbb{R}$ 映到 $\mathbb{R}$，且 $F$ 是压缩，于是 $F$ 存在唯一不动点，反函数存在。

• $\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$ 且 $|\sin x|\le |x|,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$。

而 $|x_1-x_2|\le |y_1-y_2|+\epsilon |x_1-x_2|$，所以 $|x_1-x_2|\le \frac{1}{1-\epsilon }|y_1-y_2|$，$f^{-1}$ 连续。$◻$

接下来有更一般的结论：将区间映到区间的连续单射有连续反函数。

例 $2$

任给 $a>0$，证明数列 $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}{2}$ 收敛到 $\sqrt{a}$。

• 直观理解：不足近似和过剩近似的均值比距离较远的近似更接近 $\sqrt{a}$。

证明

设 $F(x)=\frac{x+\frac{a}{x}}{2}$，则 $F(x)\ge \sqrt{a}$。

证明 $F(x)$ 在 $[\sqrt{a},+\mathrm{\infty })$ 上是压缩（易证）。

因为 $F(\sqrt{a})=\sqrt{a}$ 是压缩的不动点，所以对任意 $x_0>0$，$x_n=F^n(x_0)$ 收敛到 $\sqrt{a}$。$◻$

每次迭代后的误差是原误差的平方级别，二阶收敛。

有限覆盖定理

略。

连续函数的性质

之前研究的连续是函数在一点处的性质，现在研究的连续是连续函数整体的性质。

介值定理

连续函数将区间映为区间。

证明

任取 $u,v\in f(I)$ 及实数 $u<z<v$。设 $f(a_1)=u$，$f(b_1)=v$，不妨设 $a_1<b_1$。

假设 $z\notin f(I)$，二分法构造有界闭区间套使得 $f(a_n)<z<f(b_n)$ 且 $b_n-a_n\to 0$。

记 $x_0=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$，则 $a_n\le x_0\le b_n$，$x_0=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$。

因为 $I$ 是区间，$a_n,b_n\in I$，所以 $x_0\in I$。

而 $f$ 连续，于是 $f(x_0)\le z\le f(x_0)$，从而 $z=f(x_0)\in f(I)$，矛盾。

于是 $z\in f(I)$，$f(I)$ 是区间。$◻$

推论

介值性：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(a)\ne f(b)$，则介于 $f(a),f(b)$ 之间的所有实数都是 $f$ 在 $[a,b]$ 中取到的函数值。

零点存在定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a),f(b)$ 异号，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi )=0$。

这三条性质相互等价。

定理中的区间可以是任何区间：无论开闭，无论是否有界。

证明给出了求解方程的一个基本方法：二分法。

单调函数的连续性

若 $f$ 在区间 $I$ 上单调，则 $f$ 连续当且仅当 $f(I)$ 是区间。

证明

“$⟹$” 是介值定理的结论。

“$⟸$”（见 103 小节 “区间映到区间的单调满射连续”）：不妨设 $f$ 在 $I$ 上单调不减，且 $x_0\in I$ 不是右端点。

由 $f$ 的单调性，$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$ 存在，设为 $\beta$，则 $\beta \ge f(x_0)$。记 $\gamma =\frac{f(x_0)+\beta }{2}$。

假设 $\beta >f(x_0)$，任取 $x_2\in I$ 满足 $x_0<x_2$，则 $f(x_2)\ge \beta$。因为 $f(I)$ 是区间，故存在 $x_1\in (x_0,x_2)\subset I$ 使得 $f(x_1)=\gamma$，与 $f(x_1)\ge \beta$ 矛盾。于是 $\beta =f(x_0)$，即 $f$ 在 $x_0$ 处右连续。

同理，若 $x_0$ 不是左端点，则 $f$ 在 $x_0$ 处左连续。$◻$

区间上的单调函数的间断点只可能是跳跃间断点。

反函数的连续性

区间上连续单射 $f$ 的反函数 $f^{-1}:f(I)\to I$ 连续。

证明

因为 $f$ 连续，所以 $f(I)$ 是区间。若 $f$ 单调（结合单射可知严格单调），则 $f^{-1}$ 严格单调。而 $f^{-1}$ 将区间 $f(I)$ 映为 $I$，于是 $f^{-1}$ 连续。

故只需证明 区间上的连续单射单调。

任取 $a,b\in I$，$a<b$。不妨设 $f(a)<f(b)$。

先证 $\mathrm{\forall }x\in (a,b)$，$f(a)<f(x)<f(b)$。

假设存在 $x_1\in (a,b)$ 使得 $f(x_1)<f(a)$，由介值定理，存在 $x_2\in (x_1,b)$ 使得 $f(x_2)=f(a)$，矛盾。同理可证 $\mathrm{\forall }x\in (a,b)$，$f(x)<f(b)$。

用两次该结论，可知 $\mathrm{\forall }x,y:a<x<y<b$，$f(a)<f(x)<f(y)<f(b)$。于是 $f$ 在 $[a,b]$ 上严格增。因此 $f$ 在 $I$ 的任何子区间上严格增（易证）。

构造 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$ 且 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b$ 且 $a_1<b_1$，特别地，若 $a\in I$ 则令 $a_n=a$，若 $b\in I$ 则令 $b_n=b$。不妨设 $[a_1,b_1]$ 严格增，则 $[a_n,b_n]\supseteq [a_{n-1},b_{n-1}]$ 严格增。$\mathrm{\forall }x,y\in I$ 且 $x<y$，存在 $n$ 使得 $a_n\le x<y\le b_n$，于是 $f(x)<f(y)$，即 $f$ 在 $I$ 上严格增。$◻$

初等函数的连续性

因为 $\sin$ 连续，$\sin x^2\le 1$ 且 $\sin (-\frac{\pi }{2})=-1$，$\sin (\frac{\pi }{2})=1$，根据介值定理，$\sin$ 的值域为 $[-1,1]$。而 $\sin$ 在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 上单调增，根据反函数的单调性，$\sin$ 在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 上有连续单调反函数 $\arcsin :[-1,1]\to [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$。

$\cos$ 在 $[0,\pi ]$ 上严格减，连续，有连续反函数 $\arccos :[-1,1]\to [0,\pi ]$。

$\tan$ 在 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 上严格增，连续，有连续反函数 $\arctan :(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\to (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$。

基本初等函数都是连续函数，于是初等函数都是连续函数。

$x-\frac{1}{2}\sin x$ 是初等函数，它的反函数是连续函数，但不是初等函数。

注意：连续函数不等于没有间断点的函数：$\frac{x}{\sqrt{x^2}}$。

最值定理

设 $f$ 在非空有界闭集 $K\subset \mathbb{R}$ 上连续，则 $f(K)$ 非空有界闭，从而 $f$ 在 $K$ 上有最大最小值。

引理

$K\subset \mathbb{R}$ 是有界闭集当且仅当 $K$ 上所有数列都有收敛子列，且极限在 $K$ 上。

• 根据列紧性，有界数列必有收敛子列，于是用 “所有数列都有收敛子列” 刻画 “有界”。
• 根据闭集定义，闭集对极限封闭，于是用 “极限在 $K$ 上” 刻画 “闭集”。

证明

“$⟹$” 是列紧性和闭集定义的推论。

对于 “$⟸$”，利用这两条性质构造矛盾：

根据列紧性，若 $K$ 无界，构造 $\{x_n\}$ 使其任何子列无界，于是无子列收敛，矛盾。

根据闭集性，若 $K$ 不是闭集，则存在 $\{x_n\}$ 使 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\alpha \notin K$，于是其任何子列收敛于 $\alpha \notin K$，矛盾。$◻$

证明（最值定理）

对于任意值域上的数列，有定义域上的对应数列。

先用引理得到定义域上的数列的收敛至 $\alpha \in K$ 的收敛子列，根据连续性，对应于值域上的数列的收敛至 $f(\alpha )\in f(K)$ 的收敛子列，再用一次引理即得 $f(K)$ 非空有界闭。

根据非空有界闭集有最值即证。$◻$

对于最值定理，有界、闭、连续三个条件都是必要的。

有界：$[0,+\mathrm{\infty })$ 是闭集，但 $x^2$ 没有上界。

闭：$(0,1)$ 的 $\frac{1}{x}$ 没有上界。

连续：$[0,1]$ 上 $f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\mathbb{Q};\\ n,& x\in \mathbb{Q}\wedge x=\frac{m}{n}.\end{array}$ 没有上界。

一致连续

称函数 $f$ 在 $K$ 上 一致连续，若

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{\delta }_{\epsilon }>0:\mathrm{\forall }x,y\in K,|x-y|<{\delta }_{\epsilon }⟹|f(x)-f(y)|<\epsilon$$

与连续的区别：连续的 $x_0$ 不可变，而一致连续的 $x,y$ 均可变，$\delta$ 出现于 $x_0$ 之前，不受 $x_0$ 的影响。一致连续强于连续。

不一致连续：$\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0$，$\mathrm{\forall }\delta >0$，都存在 $x,y$ 使得 $|x-y|<\delta ⟹|f(x)-f(y)|\ge {\epsilon }_0$。写成离散形式：$\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0$ 以及数列 $x_n,y_n\in K$ 满足 $|x_n-y_n|<\frac{1}{n}$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge {\epsilon }_0$。

$\sqrt{x}$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上一致连续。

$\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。

Lipschitz 函数是一致连续的：$\mathrm{\exists }L>0,\mathrm{\forall }x,y,|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$。$L$ 称为 $f$ 的 Lipschitz 常数。

例 $3$

$x^2$ 在任何 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上不一致连续。

证明

取 ${\epsilon }_0=2$，$\mathrm{\forall }\delta >0$，取正整数 $n>\frac{1}{\delta }$，$x_n=n+\frac{1}{n}$，$y_n=n$。则 $|x_n-y_n|<\delta$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|=2+\frac{1}{n^2}>2$。$◻$

$x^2$ 在任何有界区间上是一致连续的。

例 $4$

$\frac{1}{x}$ 在任何 $(0,a]$ 上不一致连续。

证明

取 ${\epsilon }_0=1$，$\mathrm{\forall }\delta >0$，取正整数 $n>\frac{1}{\delta }$，$x_n=\frac{1}{n}$，$y_n=\frac{1}{2n}$。则 $|x_n-y_n|<\delta$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|=n>1$。$◻$

一致连续性定理

设 $f$ 在非空有界闭集 $K\subset \mathbb{R}$ 上连续，则 $f$ 在 $K$ 上一致连续。

由上例可知有界和闭的条件都是必要的。

证明

假设不一致连续。于是 $\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0$ 以及数列 $x_n,y_n\in K$ 使得 $|x_n-y_n|<\frac{1}{n}$，$|f(x_n)-f(y_n)|\ge {\epsilon }_0$。

因为 $K$ 有界，所以 $x_n$ 有界。根据列紧性，不妨设 $x_n$ 收敛。记 $x_0=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$。因为 $K$ 闭，所以 $x_0\in K$。因为 $|x_n-y_n|\to 0$，所以 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=x_0$。

又因为 $f$ 连续，于是 ${\epsilon }_0\le \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}|f(x_n)-f(y_n)|=|f(x_0)-f(x_0)|=0$，矛盾。$◻$