冷门科技 —— DFS 序求 LCA

• 2023.7.17：该技巧目前已知的最早来源：skip2004。
• 2024.7.6：修订文章。

DFS 序求 LCA 无论是在时间常数，空间常数还是好写程度均吊打欧拉序。

定义

DFS 序表示对一棵树进行深度优先搜索得到的 结点序列，而 时间戳 dfn 表示每个结点在 DFS 序中的位置。需要区分这两个概念。

算法介绍

考虑树上的两个结点 \(u, v\) 及其最近公共祖先 \(d\)，使用欧拉序而不是 DFS 序求 LCA 的原因是在欧拉序中，\(d\) 在 \(u, v\) 之间出现过，但在 DFS 序中，\(d\) 没有在 \(u, v\) 之间出现过。

DFS 序的性质：祖先先于后代遍历，即若 \(u\) 是 \(v\) 的祖先，则 \(dfn_u < dfn_v\)。

不妨设 \(dfn_u < dfn_v\)，那么 \(v\) 不是 \(u\) 的祖先。

• 当 \(u\) 不是 \(v\) 的祖先时，DFS 的顺序为从 \(d\) 下降到 \(u\)，再回到 \(d\)，再下降到 \(v\)。因为到达 \(u\) 在到达 \(d\) 之后，而到达 \(v\) 在离开 \(d\) 之前，所以 \(u, v\) 的 DFS 序之间的所有结点一定落在 \(d\) 的子树内（不含 \(d\)）。

  考察 \(d\) 在 \(v\) 方向上的第一个结点 \(v'\)，即设 \(v'\) 为 \(d\) 的「子树包含 \(v\) 的」儿子。根据 DFS 的顺序，\(v'\) 一定在 \(u, v\) 的 DFS 序之间。这说明只需求 \(u, v\) 的 DFS 序之间深度最小的任意结点，那么 它的父亲 即为 \(u, v\) 的 LCA。换言之，在 \(u, v\) 的 DFS 序之间一定存在 \(d\) 的儿子。

• \(u, v\) 形成祖先-后代关系的情况容易判断，但不优美，因为还需记录每个结点的子树大小，不能体现出 DFS 求 LCA 的优势：简洁。

  此时 \(u\) 一定是 \(v\) 的祖先。考虑令查询区间从 \([dfn_u, dfn_v]\) 变成 \([dfn_u + 1, dfn_v]\)。对于情况 1，\(u\neq v'\)，所以情况 2 对于算法进行的修改仍适用于情况 1。

综上，若 \(u\neq v\)，则它们的 LCA 等于 DFS 序上位置在 \([dfn_u + 1, dfn_v]\) 的深度最小的任意结点的父亲。若 \(u = v\)，则它们的 LCA 就等于 \(u\)，这是唯一需要特判的情况。

一种避免记录每个结点的父亲和深度的方法是直接在 ST 表的最底层记录父亲，比较时取时间戳较小的结点。如果你完全理解了 DFS 序求 LCA，自然能够理解这个技巧的正确性。

预处理 ST 表的复杂度仍为 \(\mathcal{O}(n\log n)\)，但常数减少一半。以下是模板题 P3379 的代码。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int N = 5e5 + 5;
int n, m, R, dn, dfn[N], mi[19][N];
vector<int> e[N];
int get(int x, int y) {return dfn[x] < dfn[y] ? x : y;}
void dfs(int id, int f) {
  mi[0][dfn[id] = ++dn] = f;
  for(int it : e[id]) if(it != f) dfs(it, id); 
}
int lca(int u, int v) {
  if(u == v) return u;
  if((u = dfn[u]) > (v = dfn[v])) swap(u, v);
  int d = __lg(v - u++);
  return get(mi[d][u], mi[d][v - (1 << d) + 1]);
}
int main() {
  scanf("%d %d %d", &n, &m, &R);
  for(int i = 2, u, v; i <= n; i++) {
    scanf("%d %d", &u, &v);
    e[u].push_back(v), e[v].push_back(u);
  }
  dfs(R, 0);
  for(int i = 1; i <= __lg(n); i++)
    for(int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++)
      mi[i][j] = get(mi[i - 1][j], mi[i - 1][j + (1 << i - 1)]);
  for(int i = 1, u, v; i <= m; i++) scanf("%d %d", &u, &v), printf("%d\n", lca(u, v));
  return 0;
}

和各种 LCA 算法的对比

对比 DFS 序和欧拉序，不仅预处理的时间常数减半（欧拉序 LCA 的瓶颈恰在于预处理，DFS 是线性），空间常数也减半（核心优势），而且更好写（对于很多题目不需要再同时求欧拉序和 DFS 序），也无需担心忘记开两倍空间。

对比 DFS 序和倍增，前者单次查询复杂度更优。

对于 DFS 序和四毛子，前者更好写。

对于 DFS 序和树剖，前者更好写，且单次查询复杂度更优。不过树剖常数较小，如果求 LCA 不是瓶颈且其它部分需要使用树剖，则树剖 LCA 也是不错的选择。

将 DFS 序求 LCA 发扬光大，让欧拉序求 LCA 成为时代的眼泪！