抽象代数课程笔记 II —— 环论
Chap.7 Introduction to Rings
环论初步。\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\D}{\Delta} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\t}{\theta} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\fr}{\frac} \newcommand{\l}{\left} \newcommand{\r}{\right} \newcommand{\ov}{\overline} \newcommand{\ud}{\underline} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\mps}{\mapsto} \newcommand{\op}{\operatorname} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\ch}{\operatorname{ch}} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\infn}[1]{\| #1 \|_{\infty}} \newcommand{\an}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\scr}{\mathscr} \newcommand{\bf}{\mathbf} \newcommand{\rm}{\mathrm} \newcommand{\al}{\mathcal} \newcommand{\xeq}{\xlongequal} \newcommand{\bal}{\begin{aligned}} \newcommand{\eal}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}\)
Sec.7.1 Basic Definitions and Examples
环公理
(1) 集合 \(R\) 称为 环 (Ring)，若其上定义了满足以下公理的二元运算 \(+, \times\)，称为加法和乘法：
(i) \((R, +)\) 是阿贝尔群。
(ii) \(\times\) 有结合律。
(iii) \(R\) 满足分配律。对任意 \(a, b, c\in R\)，\((a + b) \times c = a \times c + b \times c\)，\(a \times (b + c) = a\times b + a\times c\)。
(2) 若乘法交换，则称 \(R\) 为 交换环。
(3) 若存在 \(1\in R\) 满足对任意 \(a\in R\)，\(1\times a = a\times 1 = a\)，则称 \(R\) 有单位元。
乘法符号一般省略不写。加法群的单位元记为 \(0\)，逆元记为 \(-a\)。
若 \(R\) 不是阿贝尔群且含有 \(1\)，通过结合律和分配律可以推出 \(R\) 是阿贝尔群。
除环、域
含有 \(1\) 且 \(1\neq 0\) 且每个非零元素有乘法逆元的环称为 除环 (Division Ring)。交换除环称为 域 (Field)。
例
(1) 平凡环：任意交换群，定义 \(a\times b = 0\)。零环：\(R = \{0\}\)。
(2) \(\Z\) 是含有 \(1\) 的交换环，\(\Q, \R, \C\) 是域。
结论 7.1
设 \(R\) 是环。
(1) \(0a = a0 = 0,\ \forall a\in R\)。
(2) \((-a)b = a(-b) = -ab,\ \forall a, b\in R\)。
(3) \((-a)(-b) = ab, \ \forall a, b\in R\)。
(4) 若 \(R\) 有单位元 \(1\)，则 \(1\) 唯一且 \(-a = (-1)a\)。
使用分配律和 \((R, +)\) 中的消去律证明。
可以借助整数环 \(\Z\) 理解以上结论，但 \(\Z\) 有更多的结构，因为它交换。
零因子、单位
(1) 若存在 \(b\neq 0\) 使得 \(ab = 0\) 或 \(ba = 0\)，则称 \(a\neq 0\) 为 \(R\) 的 零因子 (Zero Divisor)。
(2) 若 \(R\) 有单位元 \(1\neq 0\) 且存在 \(v\) 使得 \(uv = vu = 1\)，则称 \(u\) 为 \(R\) 的 单位 (Unit)。\(R\) 的单位的集合记为 \(R ^ \times\)。
易见 \((R ^ \times, \times)\) 是群。
域是 \(1\neq 0\) 且所有非零元素都是单位的交换环。\(F ^ \times = F - \{0\}\)。
零因子一定不是单位：若 \(a\) 是单位，\(b\neq 0\) 且 \(ab = 0\)，设 \(va = 1\)，则 \(1b = vab = v0 = 0\)，矛盾。域没有零因子。
零因子就是零的 “因子”。
例
\((\Z / n\Z) ^ \times\) 是 \(0\sim n - 1\) 在模 \(n\) 意义下所有可逆元素的集合，即所有和 \(n\) 互质的元素的集合。于是 \(\Z/ n\Z\) 是域当且仅当 \(n\) 是质数。
\(\Z / n\Z\) 的每个非零元素要么是零因子，要么是单位。
整数环 \(\Z\) 是性质比较好的环。我们给具有类似性质的环一个定义。
整环
含有单位元 \(1\neq 0\) 的交换环称为 整环 (Integral Domain)，若其不含零因子。
不存在零因子，所以消去律成立。
结论 7.2
若 \(a\) 不是零因子且 \(ab = ac\)，则 \(a = 0\) 或 \(b = c\)。
证明
\(ab = ac\implies a(b - c) = 0\)。\(\square\)
推论 7.3
任何有限整环都是域。
证明
设 \(a\neq 0\)。因为 \(R\) 是整环，所以 \(x\mps ax\) 是单射。因为 \(R\) 有限，所以 \(x\mps ax\) 是满射。于是存在 \(x\) 使得 \(ax = 1\)。\(\square\)
子环
\(R\) 在乘法下封闭的子群称为 子环 (Subring)。
检查 \(R\) 的子集是否为子环，只需检查其非空且在减法（子群准则）和乘法下封闭。
二次整数环 \(\Z[\sqrt D] = \{a + b\sqrt D\mid a, b\in \Z\}\) 是二次域 \(\Q(\sqrt D) = \{a + b\sqrt D\mid a, b\in \Q\}\) 的子环，其中 \(D\) 不含平方因子。
Sec.7.2 Examples: Polynomial Rings, Matrix Rings, and Group Rings
多项式环
对于交换环 \(R\)，称
为 \(R\) 上的 多项式 (Polynomial)。若 \(a_n\neq 0\)，则称多项式的 次数 (Degree) 为 \(n\)。若 \(a_n = 1\)，则称多项式为 首一 (Monic) 的。
所有这样的系数在 \(R\) 中的多项式称为以 \(x\) 为变量的 \(R\) 上的多项式环，记为 \(R[x]\)。其加法和乘法法则是我们所熟知的。
\(R\) 在 \(R[x]\) 中是常数多项式，\(R[x]\) 是交换环。
多项式系数所在的环会影响多项式的性质。\(x ^ 2 + 1\) 在 \(\Z[x]\) 中不是完全平方，在 \(\Z / 2\Z[x]\) 中是完全平方。
结论 7.4
设 \(R\) 是整环，\(p(x), q(x)\in R[x]\)，则
(1) 若 \(p(x), q(x)\) 非零，则 \(\deg p(x)q(x) = \deg p(x) + \deg q(x)\)。
(2) \(R[x]\) 的单位是 \(R\) 的单位。
(3) \(R[x]\) 是整环。
矩阵环
对于任意环 \(R\)，所有 \(n\times n\) 且每个位置上的元素均属于 \(R\) 的矩阵是一个 矩阵环 (Matrix Ring)，记为 \(M_n(R)\)。
若 \(n\geq 2\)，则 \(M_n(R)\) 非交换，且含有零因子。
群环
对含单位元 \(1\neq 0\) 的交换环 \(R\) 和有限群 \(G = \{g_1, \cdots, g_n\}\)，定义 群环 (Group Ring) \(RG\) 为所有
的集合。
群环的加法即对应项相加，乘法即展开后根据 \((ag_i)(bg_j) = (ab) (g_ig_j)\) 化简。
\(RG\) 交换当且仅当 \(G\) 是阿贝尔群。
若 \(|G| > 1\)，则 \(RG\) 含有零因子：\((1 - g)(1 + g + \cdots + g ^ {|g| - 1}) = 1 - g ^ {|g|} = 0\)。
Sec.7.3 Ring Homomorphisms and Quotient Rings
环同态保持加法和乘法。
环同态、核、同构
设 \(R, S\) 是环。
(1) 环同态 (Ring Homomorphism) \(\ph : R\to S\) 满足
(i) \(\ph(a + b) = \ph(a) + \ph(b)\)。\(\ph\) 是加法群的群同态。
(ii) \(\ph(ab) = \ph(a)\ph(b)\)。
(2) 环同态的 核 \(\ker \ph\) 为 \(R\) 中映射到 \(0\in S\) 的元素。\(\ker \ph\) 是加法群的群同态的核。
(3) 双射的环同态称为 同构。
不引起歧义时，使用同态表示环同态。
\(\ph_n : \Z \to \Z\) 其中 \(\ph(x) = nx\) 在 \(n\geq 2\) 时不是同态，因为 \(\ph(x ^ 2) = \ph(x) ^ 2 = n ^ 2x ^ 2\)。
结论 7.5
设 \(\ph : R\to S\) 是环同态。
(1) \(\ph\) 的像是 \(S\) 的子环。
(2) \(\ker \ph\) 是 \(R\) 的子环，且 \(\ker \ph\) 在与 \(R\) 的乘积下保持封闭，即对任意 \(\a \in \ker \ph\) 和 \(r\in R\)，\(r\a, \a r \in \ker \ph\)。
(2) 的后半部分是环同态所特有的。
考虑加性群 \((R, +)\) 的正规子群 \(I\)，\(R / I\) 是群，即 \((r + I) + (s + I) = (r + s) + I\)。但 \(R / I\) 不一定是环。
为了让 \((r + I)\times (s + I) = (rs) + I\) 良定义，需要对任意 \(r, s\in R\) 和 \(\a, \b \in I\)，有
令 \(r = s = 0\) 可知 \(I\) 在乘法下封闭，\(I\) 是 \(R\) 的子环。
令 \(s = 0\) 可知 \(r\b \in I\)，令 \(r = 0\) 可知 \(\a s\in I\)。即 \(I\) 在与 \(R\) 的乘积下保持封闭。
理想
设 \(R\) 是环，\(I\) 是 \(R\) 的子集，\(r\in R\)。
(1) 记 \(rI = \{ra \mid a\in I\}\)，\(Ir = \{ar \mid a\in I\}\)。
(2) \(I\) 称为 \(R\) 的 左理想，若 \(I\) 是 \(R\) 的子环且对任意 \(r\in R\)，\(rI\subseteq I\)。类似定义 右理想。
(3) 若 \(I\) 既是左理想也是右理想，则称 \(I\) 为 理想 (Ideal)。
对于交换群，以上三个概念等价。
7.5(2) 说明所有环同态的核都是理想。
结论 7.6
设 \(I\) 是环 \(R\) 的理想，则商群 \(R / I\) 是环且满足二元运算
反之，若 \(I\) 是 \(R\) 的满足以上运算良定义的子群，则 \(I\) 是 \(R\) 的理想。
商环
若 \(I\) 是 \(R\) 的理想，则 \(R / I\) 称为 商环 (Quotient Ring)。加法和乘法运算与结论 7.6 一致。
定理 7.7（环的第一同构定理）
(1) 若 \(\ph : R\to S\) 是环同态，则 \(\ker \ph\) 是 \(R\) 的理想，\(\ph(R)\) 是 \(S\) 的子环且 \(R / \ker\ph\) 和 \(\ph(R)\) 同构。
(2) 若 \(I\) 是 \(R\) 的理想，则映射 \(R \to R / I\) 其中 \(r\mps r + I\) 是核为 \(I\) 的满环同态，称为 \(R\) 到 \(R / I\) 上的自然映射。
7.7(2) 说明理想是环同态的核。
类似地，使用 \(\bar r\) 表示模 \(I\) 下的剩余类 \(r + I\)。
\(\Z\to \Z/n\Z\) 的自然映射（对 \(n\) 取模）在初等数论中有很重要的影响。
解丢番图方程 \(x ^ 2 + y ^ 2 = 3z ^ 2\)，不妨设 \(\gcd(x, y, z) = 1\)。由 \(x ^ 2\bmod 4\) 等于 \(0\) 或 \(1\) 可知 \((x ^ 2\bmod 4) + (y ^ 2\bmod 4)\equiv (3z ^ 2\bmod 4)\pmod 4\) 的唯一可能是 \(0 + 0 \equiv 0\pmod 4\)，所以 \(x = y = z = 0\)。
定理 7.8
(1)（环的第二同构定理）设 \(A\) 是 \(R\) 的子环，\(B\) 是 \(R\) 的理想，则 \(A + B = \{a + b\mid a \in A,\ b\in B\}\) 是 \(R\) 的子环，\(A\cap B\) 是 \(A\) 的理想且 \((A + B) / B \cong A / (A\cap B)\)。
(2)（环的第三同构定理）设 \(I\subseteq J\) 是 \(R\) 的理想，则 \(J / I\) 是 \(R / I\) 的理想且 \((R / I) / (J / I) \cong R / J\)。
(3)（环的第四同构定理）设 \(I\) 是 \(R\) 的理想，对所有包含 \(I\) 的子环 \(A\)，\(A\) 和 \(A / I\) 之间存在保持结构的双射。特别地，\(A\supseteq I\) 是 \(R\) 的理想当且仅当 \(A / I\) 是 \(R / I\) 的理想。
理想的和与积
设 \(I, J\) 是 \(R\) 的理想。
(1) 定义 \(I\) 与 \(J\) 的和 \(I + J = \{a + b\mid a\in I,\ b\in J\}\)。
(2) 定义 \(I\) 与 \(J\) 的积 \(IJ\) 为所有形式为 \(ab\) 的有限和，其中 \(a, b\) 分别是 \(I, J\) 的任意元素。
(3) 定义 \(I ^ n\) 为所有形式为 \(a_1a_2\cdots a_n\) 的有限和，其中 \(a_i\) 是 \(I\) 的任意元素。等价地，\(I ^ n = II ^ {n - 1}\)。
\(I + J\) 是 \(R\) 的最小的同时包含 \(I, J\) 的理想，\(IJ\) 是包含于 \(I\cap J\) 的理想。
注意：理想积和子群积的形式完全不同。\(\{ab\mid a\in I, \ b\in J\}\) 一般在加法下不封闭。
理想相乘，越乘越小。
Sec.7.4 Properties of Ideals
约定：整个小节的环 \(R\) 含有单位元 \(1\neq 0\)。
生成理想、主理想
设 \(A\) 是环 \(R\) 的子集。
(1) 称最小的包含 \(A\) 的理想为 \(A\) 的 生成理想，记为 \((A)\)。当 \(A = \{a_1, \cdots, a_n\}\) 时简记为 \((a_1, \cdots, a_n)\)。
(2) 记 \(RA\) 为所有形式为 \(ra\) 的有限和，其中 \(r, a\) 分别是 \(R, A\) 的任意元素。类似定义 \(AR\) 和 \(RAR\)。
(3) 称仅由一个元素生成的理想为 主理想 (Principal Ideal)。
(4) 称由有限集合生成的理想为 有限生成理想。
和集合的生成子群一样，\(A\) 的生成理想为所有包含 \(A\) 的理想的交集。
\(A\) 的左生成理想为 \(RA\)：因为 \(R\) 含有单位元，所以 \(RA\) 是包含 \(A\) 的左理想。而任何包含 \(A\) 的左理想都必须包含所有形式为 \(ra\) 的有限和，即包含 \(RA\)。类似地，\(A\) 的右生成理想为 \(AR\)，生成理想为 \(RAR\)。于是若 \(R\) 交换，则 \(AR = RA = RAR = (A)\)。
主理想是一类重要理想，类似于群论中的循环群。
对于交换环，定义元素之间的整除关系：若存在 \(r\in R\) 使得 \(b = ra\)，则称 \(b\) 是 \(a\) 的倍数，\(a\) 整除 \(b\)。于是 \(b\) 是 \(a\) 的倍数当且仅当 \(b\in (a)\)，当且仅当 \((b)\subseteq (a)\)。研究交换环的主理想之间的包含关系反映了环的代数性质。
结论 7.9
设 \(I\) 是 \(R\) 的理想。
(1) \(I = R\) 当且仅当 \(I\) 含有单位。
(2) 若 \(R\) 交换，则 \(R\) 是域当且仅当它的理想仅有 \(0\) 和 \(R\)。
证明 (1)：若 \(I\) 含有单位 \(u\)，则对任意 \(r\)，\(r = (ru ^ {-1})u\in I\)。
结论 7.9 很重要。
类比域和简单群。
推论 7.10
若 \(R\) 是域，则 \(R\) 到任何环上的非零同态都是单射。
非零同态的 \(\ker\neq R\)，所以 \(\ker = 0\)。
极大理想
任意环 \(S\) 的理想 \(M\) 称为 极大理想 (Maximal Ideal)，若 \(M\neq S\) 且包含 \(M\) 的理想仅有 \(M\) 和 \(S\)。
结论 7.11
含有单位元的环的每个真理想（即不等于该环的理想）包含于某个极大理想。
证明用到了 Zorn 引理：若非空偏序集 \(P\) 满足任何全序子集在 \(P\) 中有上界，则 \(P\) 至少存在一个极大元。
结论 7.12
设 \(R\) 交换，则理想 \(M\) 是极大理想当且仅当 \(R / M\) 是域。
如果 \(R / M\) 不是域，则 \(R / M\) 存在非零真理想。由第四同构定理可知 \(R\) 中存在真包含 \(M\) 的真理想。
\(d\) 是 \(n\) 的极大真因子当且仅当 \(\fr n d\) 是质数。
\(n\Z\) 是 \(\Z\) 的极大理想当且仅当 \(n\) 是质数。
素理想
设 \(R\) 交换，则理想 \(P\) 称为 素理想 (Prime Ideal)，若 \(P\neq R\) 且若 \(ab\in P\)，则 \(a\in P\) 或 \(b\in P\)。
结论 7.13
设 \(R\) 交换，则理想 \(P\) 是素理想当且仅当 \(R / P\) 是整环。
素理想的定义的商群翻译版本。
推论 7.14
设 \(R\) 交换，则 \(R\) 的所有极大理想都是素理想。因为域是整环。
Sec.7.5 Rings of Fractions
约定：整个小节的环 \(R\) 交换。
由交换环 \(R\) 构建分式环 \(Q\)，使得 \(R\subseteq Q\) 且 \(R\) 的每个非零且不是零因子的元素在 \(Q\) 中均为单位，即存在乘法逆元。一个最简单的例子是由 \(\Z\) 构造 \(\Q\)。
换言之，我们希望扩展 \(R\) 使得可以做 除法。
单位一定不是零因子，但不是零因子不一定是单位，如 \(2\in \Z\)。
特别地，若 \(R\) 是整环，则 \(Q\) 可以是域。即每个整环都是一个域的 “嵌入”。
定理 7.15
设 \(D\subset R\) 不含 \(0\) 和零因子，且在乘法下封闭。则存在含单位元 \(1\) 的交换环 \(Q\supseteq R\) 满足 \(D\) 的每个元素是 \(Q\) 的单位。
(1) \(Q\) 的每个元素形如 \(rd ^ {-1}\)，其中 \(r\in R\)，\(d\in D\)。特别地，若 \(D = R - \{0\}\) 则 \(R\) 是域（这要求 \(R\) 至少是整环，因为所有非零元素都不是零因子）。
(2) \(Q\) 是满足以上性质的最小环。
第一步：构造分数类和其上的等价关系。
构造 \(\al F = \{(r, d)\mid r\in R, \ d\in D\}\) 表示分数 \(\fr r d\)。定义 \(\al{F}\) 上的关系 \(\sim\) 为
则 \(\sim\) 是等价关系。
第二步：定义等价类集合上的加法和乘法运算。
设等价类集合为 \(Q\)，在 \(Q\) 上定义加法和乘法
(1) 这些运算良定义（和等价类代表元的选择无关）。
(2) \((Q, +)\) 是阿贝尔群，加法单位元为任意 \(\fr 0 d\)，加法逆元为 \(\fr {-r} {d}\)。
(3) 乘法运算结合，分配，交换。
(4) \(Q\) 有单位元 \(\fr d d\)。
第三步：将 \(R\) 嵌入 \(Q\)。
定义 \(\iota(r) = \fr {rd} d\)，其与 \(d\) 的选择无关。
\(\iota\) 是同态且为单射：\(\iota(r) = 0 \iff \fr {rd} d = \fr 0 d \iff rd ^ 2 = 0\iff r = 0\)，因为 \(d\) 不是零因子且不为 \(0\)。
第四步：证明 \(d\) 有逆元且 \(Q\) 的每个元素形如 \(rd ^ {-1}\)。
第五步：证明 \(Q\) 的唯一性。
假设存在单射环同态 \(\ph : R\to S\) 满足 \(\forall d\in D\)，\(\ph(d)\) 在 \(S\) 中是单位。构造映射 \(\Phi : Q\to S\) 满足 \(\Phi(rd ^ {-1}) = \ph(r)\ph(d) ^ {-1}\)，则 \(\Phi\) 良定义且为环同态。
若 \(rd ^ {-1}\in \ker \Phi\)，则因为 \(\ph(d) ^ {-1}\neq 0\) 且是单位（不为零因子），所以 \(\ph(r) = 0\)，即 \(r\in \ker\ph = 0\)，因此 \(\ker \Phi = 0\)。
这同时证明了 \(Q\) 的最小性。
分式环、分式域
设 \(R, D, Q\) 为定理 7.15 的环。
(1) \(Q\) 称为 \(D\) 关于 \(R\) 的 分式环 (Ring of Fractions)，记为 \(D ^ {-1}R\)。
(2) 若 \(R\) 是整环且 \(D = R - \{0\}\)，则 \(Q\) 称为 \(R\) 的 分式域 (Field of Fractions) 或 商域 (Quotient Field)。
生成子域
设 \(A\) 是域 \(F\) 的子集，则 \(F\) 的所有包含 \(A\) 的子域的交集是子域，称为 \(A\) 的 生成子域。它是包含 \(A\) 的最小子域。
子域的概念是不言自明的。
注意：\(F\) 的子域 \(F'\) 要求 \(\forall x, y\in F'\)，\(xy ^ {-1}\in F'\)，因为 \(F'\) 是域，所有元素都要有乘法逆元。
推论 7.16
设 \(R\) 是整环，\(Q\) 为其分式域。若域 \(F\) 含有同构于 \(R\) 的子环 \(R'\)，则 \(R'\) 的生成子域同构于 \(Q\)。
证明思路沿用定理 7.15 第五步的 \(\ph\) 和 \(\Phi\) 即可。
Sec.7.6 The Chinese Remainder Theorem
约定：除非特殊说明，所有环为含单位元 \(1\neq 0\) 的交换环。
环直积
定义环 \(R_1, R_2\) 的 直积 为有序对 \((r_1, r_2)\) 形成的集合，其中 \(r_1, r_2\) 分别为 \(R_1, R_2\) 的任意元素，并满足运算
记为 \(R_1\times R_2\)。
\(R\) 到直积上的映射是同态，当且仅当该映射导出的 \(R\) 到直积的每个分量的映射是同态。
互素理想
\(R\) 上的理想 \(A, B\) 称为 互素 (Comaximal) 的，若 \(A + B = R\)。
考虑 \(\Z\) 上的理想 \(n\Z\) 和 \(m\Z\)，\(n, m\) 互素当且仅当 \(nx + my = 1\) 有解，于是 \(n, m\) 互素当且仅当 \(n\Z + m\Z = \Z\)。互素理想是 \(\Z\) 上的互素概念的推广。
一般地，\(n\Z + m\Z = (n, m)\Z\)。
笔者猜想：两个不同的非零素理想的和一定是整个环。目前还不会证明。
定理 7.17（中国剩余定理：Chinese Remainder Theorem）
设 \(A_1, \cdots, A_k\) 为 \(R\) 的理想，则映射 \(R\to (R / A_1)\times \cdots\times (R / A_k)\) 其中 \(r\mps (r + A_1, \cdots, r + A_k)\) 是同态，其核为 \(A_1\cap \cdots \cap A_k\)。
若任意两个不同理想互素，则该映射是满射，且 \(A_1\cap \cdots \cap A_k = A_1A_2\cdots A_k\)，于是
证明：先考虑 \(k = 2\) 的情况。考虑 \(\ph(r) = (r \bmod A, r\bmod B)\)，其中 \(r\bmod A\) 即 \(r + A\)。\(\ph\) 是同态，因为它是到每个分量上的自然映射。显然 \(\ker \ph = A\cap B\)。
若 \(A + B = R\)，则存在 \(x\in A\)，\(y \in B\) 使得 \(x + y = 1\)。有 \(\ph(x) = (0, 1)\)，因为 \(x\in A\) 且 \(x = 1 - y \in 1 + B\)。类似有 \(\ph(y) = (1, 0)\)。于是对 \((R / A)\times (R / B)\) 的任意元素 \((r_1\bmod A, r_2\bmod B)\)，\(r_2x + r_1y\) 为其原像之一。这说明 \(\ph\) 是满射。
最后，因为 \(AB\subseteq A\) 且 \(AB\subseteq B\)，所以 \(AB\subseteq A\cap B\)。反之，若 \(A, B\) 互素，则对于 \(A\cap B\) 的任意元素 \(c\)，\(c = c1 = cx + cy \in AB\)（这里用到了 \(R\) 交换），即 \(A\cap B \subseteq AB\)。因此 \(AB = A\cap B\)。
使用数学归纳法之前还需要证明 \(A_1\) 和 \(A_2A_3\cdots A_k\) 互素：设 \(x_i\in A_1\)，\(y_i\in A_i\) 且 \(x_i + y_i = 1\)，考虑到 \(x_i + y_i\in y_i + A_1\)，于是
这个定理的特殊形式 \(\Z / mn\Z \cong (\Z / m\Z) \times (\Z / n\Z)\) 和解模数互素的同余方程有关。
推论 7.18
设正整数 \(n\) 的唯一分解为 \(p_1 ^ {\a_1}p_2 ^ {\a_2}\cdots p_k ^ {\a_k}\)，则
于是特别地：
得 \(\ph\) 的计算公式
Chap.8 Euclidean Domains, Principal Ideal Domains, and Unique Factorization Domains
三类重要整环：欧几里得整环 (ED)，主理想整环 (PID) 和唯一分解整环 (UFD)。
整数相关运算在整环上的推广（更抽象的代数）。不同运算需要不同的基本性质，因而导出了这三类整环。
约定：本章涉及的所有环都是交换环。
Sec.8.1 Euclidean Domains (E.D)
带余除法在整环上的推广：欧几里得整环上定义了带余除法，因而可以执行欧几里得算法。
范数
任何函数 \(N : R\to \Z ^ + \cup \{0\}\) 满足 \(N(0) = 0\) 称为 \(R\) 上的 范数 (Norm)。若 \(N(a\neq 0) > 0\) 则称 \(N\) 为 正范数。
\(R\) 可以有多个范数。
欧几里得整环、带余除法
整环 \(R\) 称为 欧几里得整环 (Euclidean Domain, ED)，若存在 \(R\) 上的范数 \(N\) 满足对任意 \(a, b\in R\) 且 \(b\neq 0\)，存在 \(q, r\in R\) 使得 \(a = qb + r\) 并满足 \(r = 0\) 或 \(N(r) < N(b)\)。
上述过程称为 带余除法 (Division Algorithm)，\(q, r\) 分别称为带余除法的 商 和 余数。
欧几里得算法
带余除法保证 \(\forall a, b\in R,\ b\neq 0\) 的 欧几里得算法 (Euclidean Algorithm) 存在：
其中 \(r_n\) 是最后一个非零余数。因为 \(N(b) > N(r_0) > \cdots > N(r_n)\)，所以 \(r_n\) 存在。
注意：这些元素不一定唯一。
域是平凡的欧几里得整环，因为 \(a = (ab ^ {-1}) b + 0\)。
若 \(F\) 是域，则 \(F[x]\) 是欧几里得整环，其中 \(N(p(x)) = \deg p(x)\)。
结论 8.1
ED 的所有理想都是主理想。进一步地，若 \(I\) 是 ED \(R\) 的非零理想，则 \(I = (d)\)，其中 \(d\) 是 \(I\) 的任意非零最小范数元素。
证明
若 \(I\) 非零，设 \(d\) 为非零元素中范数最小的元素，则 \((d)\subseteq I\)。对任意 \(a \in I\)，设 \(a = qd + r\)，则 \(N(r) < N(d)\) 且 \(r\in I\)，于是 \(r = 0\)，即 \(a = qd\in (d)\)。因此 \(I = (d)\)。\(\square\)
欧几里得算法的基本应用是为 ED 的任意两个非零元素提供最大公因子。
倍数、最大公因子
设 \(a, b\) 是交换环 \(R\) 的任意两个元素，且 \(b\neq 0\)。
(1) 称 \(a\) 是 \(b\) 的 倍数 (Multiple)，若存在 \(x\in R\) 使得 \(a = bx\)。此时称 \(b\) 整除 (Divide) \(a\)，\(b\) 是 \(a\) 的 因子 (Divisor)，记为 \(b\mid a\)。
(2) 称非零元素 \(d\) 为 \(a, b\) 的 最大公因子 (Greatest Common Divisor)，若
(i) \(d\mid a\) 且 \(d\mid b\)。
(2) 若 \(d'\mid a\) 且 \(d'\mid b\)，则 \(d'\mid d\)。
记为 \(\gcd(a, b)\) 或无歧义时，\((a, b)\)。
注意到 \(b\mid a\iff a\in (b) \iff (a)\subseteq (b)\)，于是条件 (2) 可翻译为：若 \(I\) 是由 \(a, b\) 生成的理想，则 \(d\) 是 \(a, b\) 的最大公因子当且仅当 \(I\subseteq (d)\) 且若 \(I\subseteq (d')\) 则 \((d)\subseteq (d')\)。
因此，若 \(a, b\) 的最大公因子存在，则它是唯一且最小的包含 \(a, b\) 的主理想的生成元。有如下结论。
结论 8.2
若 \(a, b\) 是交换环 \(R\) 的非零元素，满足 \(a, b\) 的生成理想是主理想 \((d)\)，则 \(d\) 是 \(a, b\) 的最大公因子。
这个条件的逆命题不一定成立。仅在交换环中，两个元素的生成理想不一定是主理想。
主理想整环的意义之一：两个元素的生成理想是主理想，从而最大公因子一定存在。
由两个元素生成的理想为主理想的整环称为 Bezout 整环。
结论 8.3
设 \(R\) 是整环。若 \(d, d'\) 生成相同主理想，则存在单位 \(u\in R\) 使得 \(d' = ud\)。特别地，若 \(d, d'\) 都是 \(a, b\) 的最大公因子，则存在单位 \(u\in R\) 使得 \(d' = ud\)。
证明
设 \(d, d'\neq 0\)，否则平凡。
由 \((d) = (d')\) 知 \(d = xd'\) 且 \(d' = yd\)，则 \(d = xyd\)。因为 \(d\neq 0\) 且 \(R\) 为整环，所以 \(xy = 1\)，\(x, y\) 是单位。\(\square\)
\(\Z\) 的单位为 \(\pm 1\)，所以若 \(d\) 是 \(a, b\) 的最大公因子，则 \(-d\) 也是。
定理 8.4
设 \(R\) 是 ED，\(a, b\in R\) 非零。设 \(d = r_n\) 为 \(a, b\) 的欧几里得算法的最后一项非零余数，则
(1) \(d\) 是 \(a, b\) 的最大公因子。
(2) \((d) = (a, b)\)。存在 \(x, y\in R\) 使得 \(d = ax + by\)。
证明：对于 \((a, b)\subseteq (d)\)，从 \(r_n\) 到 \(r_0\) 归纳 \(d\mid r_i\)，推出 \(d\mid a, b\)。对于 \((d)\subseteq (a, b)\)，从 \(r_0\) 到 \(r_n\) 归纳 \(r_i\in (a, b)\)。
我们所熟知的 Bezout 定理 在 ED 上的推广。
Sec.8.2 Principal Ideal Domain (P.I.D)
主理想整环
所有理想都是主理想的整环称为 主理想整环 (Principal Ideal Domain, PID)。
由结论 8.1，ED 是 PID。但 PID 不一定是 ED：\(\Z[\fr {1 + \sqrt {-19}} 2]\)。
例
(1) 因为 \(\Z\) 是 ED，所以 \(\Z\) 是 PID，但 \(\Z[x]\) 不是 PID：\((2, x)\) 不是主理想。
(2) \(\Z[\sqrt {-5}]\) 不是 PID：\((3, 1 + \sqrt {-5})\) 不是主理想。
结论 8.2，8.3 和 8.4 在 PID 中仍然成立。相较于 PID，ED 存在欧几里得算法快速计算 \(\gcd\)。
结论 8.6
设 \(R\) 是 PID，\(a, b\in R\) 非零。设 \(d\) 为 \((a, b)\) 的任意生成元，则
(1) \(d = \gcd(a, b)\)。
(2) 存在 \(x, y\in R\) 使得 \(d = ax + by\)。
(3) 在和单位的乘法下，\(d\) 唯一。
结论 8.7
PID 的素理想是极大理想。
证明
设 \((p)\) 是 PID \(R\) 的非零素理想，设 \(I = (m) \supseteq (p)\)，则 \(p = rm\)。
若 \(m\in (p)\)，则 \((m) \subseteq (p)\)，即 \(I = (p)\)。否则 \(r\in (p)\)，即 \(r = ps\)，\(p = rm = psm\)，可知 \(m\) 是单位，于是 \(I = R\)。\(\square\)
推论 8.8
若 \(R[x]\) 是 PID，则 \(R\) 是域。
证明
因为 \(R\) 是 \(R[x]\) 的子环，所以 \(R[x] / (x)\cong R\) 是整环，即 \((x)\) 是素理想。因此 \((x)\) 是极大理想，所以 \(R\cong R[x] / (x)\) 是域。\(\square\)
Sec.8.3 Unique Factorization Domain (U.F.D)
在 \(\Z\) 中有另一种确定 \(a, b\) 最大公因子的方法：将 \(a, b\) 唯一分解为素数乘积。为了定义每个元素的 “唯一分解”，需要引入和 \(\Z\) 中 “不可分解” 相对应的 “不可约” 的概念。
不可约元、素元、相伴
设 \(R\) 是整环。
(1) 设 \(r\in R\) 非零且不是单位。若对任意 \(r = ab\)，\(a, b\) 至少一个是单位，则称 \(r\) 在 \(R\) 中 不可约 (Irreducible)，\(r\) 是 不可约元。否则称为在 \(R\) 中 可约 (Reducible)。
(2) 若非零元素 \(p\in R\) 的生成理想 \((p)\) 是素理想，则称 \(p\) 为 素元 (Prime)。换言之，\(p\) 不是单位，且对任意 \(p\mid ab\)，\(p\mid a\) 或 \(p\mid b\)。
(3) 若 \(a = ub\)，其中 \(u\) 是单位，则称 \(a, b\) 在 \(R\) 中 相伴 (Associate)。容易证明 相伴是等价关系。
不可约元和素元是 \(\Z\) 中素数的两个不同性质在整环上的推广。这两个概念并非完全等价。下文研究它们之间的关系。
无论可约还是不可约，都以非零且不是单位为前提。
结论 8.10
整环的素元不可约。
证明
设 \(p = ab\) 是素元。不妨设 \(a\in (p)\)，则 \(a = pr\)，\(p = ab = prb\)，可知 \(b\) 是单位，于是 \(p\) 不可约。\(\square\)
相反，不可约元素不一定是素元：\(3\in \Z[\sqrt {-5}]\) 不可约，但 \(9\in (3)\) 可表示为 \((2 + \sqrt {-5}) (2 - \sqrt{-5})\)。在特殊的整环里，素元等价于不可约元。
结论 8.11
PID 的非零元素是素元当且仅当它不可约。
证明
一个方向由 8.10 给出，还需证明不可约元是素元。
设 \(p\) 不可约，考虑证明 \((p)\) 是素理想。若 \(p\in (m)\)，则 \(p = rm\)。若 \(m\) 是单位，则 \((m) = R\)。若 \(r\) 是单位，则 \((m) = (p)\)。这说明 \((p)\) 是极大理想。因此 \((p)\) 是素理想。\(\square\)
例
\(\Z\) 中的不可约元是所有素数。两个元素相伴当且仅当 \(a = \pm b\)。
唯一分解整环
整环 \(R\) 称为 唯一分解整环 (Unique Factorization Domain, UFD)，若其所有不是单位的非零元素 \(r\) 满足
(1) \(r = p_1p_2\cdots p_n\)，其中 \(p_i\) 不可约。
(2) 分解在相伴意义下唯一。即若 \(r = q_1 q_2 \cdots q_m\)，则 \(m = n\) 且能够重排这些因子使得 \(p_i\) 和 \(q_i\) 相伴。
例
(1) 域是 UFD。
(2) \(\Z[{\sqrt {-5}}]\) 不是 UFD：\(6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt {-5})(1 - \sqrt {-5})\)。
结论 8.12
UFD 的非零元素是素元当且仅当它不可约。
证明
设 \(p\) 不可约且 \(p \mid ab\)，于是 \(p\) 和 \(ab\) 的分解的某个不可约元相伴。
考虑 \(a\) 的分解和 \(b\) 的分解相乘得到 \(ab\) 的分解。由分解的唯一性，\(p\) 和 \(a\) 或 \(b\) 的分解的某个不可约元 \(p_1 = pu\) 相伴，不妨设为 \(a\)，则 \(a = (pu)p_2 p_3 \cdots p_n\)，\(p\mid a\)。于是 \(p\) 是素元。\(\square\)
使用唯一分解计算 \(\gcd\)。
结论 8.13
设 \(a, b\) 是 PID \(R\) 的非零元素。设
为 \(a, b\) 的唯一分解，其中 \(u, v\) 是单位，\(p_i\) 是互不相同（两两不相伴）的素元，且 \(e_i, f_i\) 是非负整数，则
是 \(a, b\) 的一个最大公因子。
证明
显然 \(d\mid a, b\)。
对任意 \(c\mid a, b\)，设 \(q_1 ^ {g_1}\cdots q_m ^ {g_m}\) 是 \(c\) 的唯一分解，则由 \(c\mid a, b\) 可知在相伴意义下 \(\{q_i\}\) 是 \(\{p_i\}\) 的子集，以及每个不可约元的幂次不超过 \(a, b\) 中对应不可约元的幂次。于是 \(c\mid d\)。因此 \(d\) 是最大公因子。\(\square\)
定理 8.14
所有 PID 都是 UFD。
证明相当复杂，略。
推论 8.15（算数基本定理：Fundamental Theorem of Arithmetic）
\(\Z\) 是 UFD。
总结
所有包含关系都是真包含：
- \(\Z\) 是 ED 但不是域。
- \(\Z[\fr {1 + \sqrt {-19}}2]\) 是 PID 但不是 ED。
- \(\Z[x]\) 是 UFD 但不是 PID。
- \(\Z[\sqrt {-5}]\) 是整环但不是 UFD。
存在带余除法的最大整环：ED。
\((d) = (a, b)\) 的最大整环：PID。
极大理想等价于素理想（对一般交换环，极大理想是素理想）的最大整环：PID。
不可约元等价于素元（对一般整环，素元是不可约元）的最大整环：UFD（反例在结论 8.10 最后）。
存在最大公因子的最大整环：UFD（\(\Z[\sqrt{-5}]\) 的 \(6\) 和 \(2(1 + \sqrt {-5})\) 没有最大公因子）。
若 \(F\) 是域，则 \(F[x]\) 是 ED（定理 9.3）。相反，若 \(F[x]\) 是 PID，则 \(F\) 是域（推论 8.8）。
Chap.9 Polynomial Rings
多项式这个代数学重要概念在环上的推广。本章的重点是多项式在多项式环上的可约性相关定理。
约定：\(R\) 是有单位元 \(1\neq 0\) 的交换环。
Sec.9.1 Definitions and Basic Properties
基本定义和定理在 7.2 小节。
结论 9.1（结论 7.4）
设 \(R\) 是整环，则
(1) \(\deg p(x)q(x) = \deg p(x) + \deg q(x)\)，若 \(p(x), q(x)\) 非零。
(2) \(R[x]\) 的单位是 \(R\) 的单位。
(3) \(R[x]\) 是整环。
结论 9.2
设 \(I\) 是环 \(R\) 的理想，记 \((I) = I[x]\)，则
特别地，若 \(I\) 是 \(R\) 的素理想，则 \((I)\) 是 \(R[x]\) 的素理想。
证明
考虑自然映射 \(\ph : R[x]\to (R / I)[x]\)，将多项式的所有系数模 \(I\)。\(\ph\) 是 \(\ker\) 为 \(I[x] = (I)\) 的满同态。由第一同构定理即得。
若 \(I\) 是 \(R\) 的素理想，则 \(R / I\) 是整环，因此 \((R / I)[x]\) 是整环，\((I)\) 是 \(R[x]\) 的素理想。
\(f(x) = \sum a_i x ^ i\) 和 \(g(x) = \sum b_i x ^ i\) 在 \(R[x] / I[x]\) 的同一等价类，当且仅当 \(f(x) - g(x) \in I[x]\)，即 \(a_i - b_i \in I\)，当且仅当 \(a_i\) 和 \(b_i\) 在 \(R / I\) 的同一等价类。
\(\Z[x]\) 的两个多项式在 \(\Z[x] / (n\Z)\) 处于同一等价类当且仅当它们对应系数的差是 \(n\) 的倍数。于是 \(\Z[x] / (n\Z)\) 相当于将所有系数对 \(n\) 取模，即 \((\Z / n\Z)[x]\)。
多元多项式环
系数为 \(R\) 的 \(x_1, \cdots, x_n\) 上的多项式环记为 \(R[x_1, \cdots, x_n]\)，由
归纳定义。即单项式 \(ax_1 ^ {d_1}\cdots x_n ^ {d_n}\) 的有限和。
例
\(p(x, y) = 2x ^ 3 + xy - y ^ 2\) 和 \(q(x, y) = -3xy + 2y ^ 2 + x ^ 2y ^ 3\) 是 \(\Z[x, y]\) 的度数分别为 \(3\) 和 \(5\) 的元素。
Sec.9.2 Polynomial Rings Over Fields I
当 \(F\) 是域时，\(F[x]\) 有更好的性质。
定理 9.3
设 \(F\) 是域，则 \(F[x]\) 是 ED。特别地，若 \(a(x), b(x)\in F[x]\) 且 \(b(x)\) 非零，则存在唯一的 \(q(x), r(x)\in F[x]\) 使得
其中 \(r(x) = 0\) 或 \(\deg r(x) < \deg b(x)\)。
多项式的长除法。因为 \(F\) 是域，所以当 \(\deg a(x)\geq \deg b(x)\) 时，总可以消去 \(a\) 的最高项。
对质数 \(p\)，\(\Z / p\Z\) 上定义了多项式的加减法，乘法和带余除法，可以求最大公因子。
推论 9.4
若 \(F\) 是域，则 \(F[x]\) 是 PID 和 UFD。
Sec.9.3 Polynomial Rings That Are U.F.Ds
考虑整环 \(R\) 的商域 \(F\)，则 \(R[x]\subseteq F[x]\) 且 \(F[x]\) 是 ED。允许分数系数使得 \(F[x]\) 上的计算更方便。我们希望知道 \(F[x]\) 上的计算如何提供关于 \(R[x]\) 的信息。
结论 9.5（高斯引理：Gauss' Lemma）
设 \(F\) 是 UFD \(R\) 的商域，\(p(x)\in R[x]\)。若 \(p(x)\) 在 \(F[x]\) 上可约，则 \(p(x)\) 在 \(R[x]\) 上可约。具体地，若 \(p(x) = A(x)B(x)\)，\(A(x), B(x)\in F[x]\) 且不是常数，则存在非零元素 \(r, s\in F\) 使得 \(rA(x) = a(x)\)，\(sB(x) = b(x)\) 均属于 \(R[x]\) 且 \(p(x) = a(x)b(x)\)。
高斯引理并不是一个平凡的结论。以 \(\Z[x]\) 为例，若 \(f(x)\in \Z[x]\) 可分解为系数是分数的非常数多项式，则其可分解为系数是整数的非常数多项式。这很符合直观理解，但其严格证明具有一定的技巧性。
一般结合艾森斯坦判据使用。
证明
设 \(p(x) = A(x)B(x)\)。在等式两侧乘以所有系数的分母，得 \(dp(x) = a'(x)b'(x)\)，其中 \(a'(x), b'(x) \in R\) 且 \(d\) 是 \(R\) 的非零元素。
若 \(d\) 是单位，则 \(a(x) = d ^ {-1}a'(x)\)，\(b(x) = b'(x)\)，结论成立。
否则 \(d = p_1 p_2 \cdots p_n\)。对每个不可约元 \(p_i\)，\(p_i\) 是素元（结论 8.12），所以 \((p_i)\) 是素理想，\(R[x] / (p_i)\) 是整环。根据 \(dp(x) = a'(x)b'(x)\) 可知 \(0 = \ov {a'(x)}\ \ov {b'(x)}\)。不妨设 \(\ov {a'(x)} = 0\)，则 \(a'(x)\) 的每个系数都是 \(p_i\) 的倍数，即 \(\fr 1 {p_i} a'(x)\in R[x]\)。依次除去 \(d\) 的不可约元即可。\(\square\)
\(\Z[x]\) 上的高斯引理：本原多项式（所有系数的最大公因子为 \(1\)）的乘积是本原多项式。对每个素数 \(p\)，等式两侧同时对 \(p\) 取模，根据 \(\Z / p\Z[x]\) 是整环，以及每个因子不为 \(0\) 可知乘积不为 \(0\)。另一证明思路是考虑 \(a_n\) 和 \(b_m\) 是两个多项式的系数不被 \(p\) 整除的最高位，则它们乘积的 \(x ^ {n + m}\) 前的系数不可能被 \(p\) 整除。
推论 9.6
设 \(F\) 为 UFD \(R\) 的商域，本原多项式 \(p(x)\in R[x]\)。\(p(x)\) 在 \(R[x]\) 上不可约当且仅当 \(p(x)\) 在 \(F[x]\) 上不可约。
证明
由高斯引理，若 \(p(x)\) 在 \(F[x]\) 上可约，则其在 \(R[x]\) 上可约。
若 \(p(x)\) 在 \(R[x]\) 上可约，则 \(p(x) = a(x)b(x),\ a(x), b(x)\in R[x]\)。因为 \(p(x)\) 是本原多项式，所以 \(a(x), b(x)\) 不是常数多项式。于是 \(p(x)\) 在 \(F[x]\) 上可约。\(\square\)
\(R[x]\) 上不可约的常数多项式在 \(F[x]\) 可以是单位，所以需要本原的条件以保证 \(a(x), b(x)\) 不是常数。
定理 9.7
\(R\) 是 UFD 当且仅当 \(R[x]\) 是 UFD。
证明
若 \(R[x]\) 是 UFD，则 \(R\) 的每个元素在 \(R[x]\) 有唯一分解，且每个不可约元属于 \(R\)，于是 \(R\) 是 UFD。
若 \(R\) 是 UFD，设 \(p(x)\in R[x]\)。若 \(p(x)\) 不是本原多项式，设 \(d\) 为所有系数的最大公因子，\(p(x) = dp'(x)\)，则因为最大公因子仅相差单位（结论 8.3）且 \(d\) 有唯一分解，只需证明 \(p'(x)\) 有唯一分解。因此不妨设 \(p(x)\) 是本原多项式且 \(\deg p(x) > 0\)。
分解存在性：设 \(F\) 是 \(R\) 的商域，则 \(p(x)\) 在 UFD \(F[x]\) 上有唯一分解。由高斯引理，\(p(x)\) 在 \(R[x]\) 上可以分解为若干因子的乘积。因为每个因子是本原多项式且在 \(F[x]\) 上不可约，根据推论 9.6，这些因子在 \(R[x]\) 上不可约。
分解唯一性：设 \(p(x) = q_1(x) \cdots q_r(x) = q'_1(x) \cdots q'_s(x)\) 是 \(R[x]\) 上的不可约因子分解，则所有因子是本原多项式。由推论 9.6，所有因子在 \(F[x]\) 上不可约（\(q_i(x), q_j'(x)\) 不是由在 \(F[x]\) 上的分解构造的，而是假设存在的），由 \(p(x)\) 在 \(F[x]\) 上的唯一分解性，\(r = s\) 且不妨设 \(q_i(x)\) 与 \(q_i'(x)\) 在 \(F[x]\) 上相伴。还需证明 \(q\) 和 \(q'(x)\) 在 \(R[x]\) 上相伴。因为 \(F[x]\) 的所有单位恰为 \(F ^ \times\)，所以 \(q(x) = \fr a b q'(x),\ a, b, \in R\)，即 \(Q(x) = bq(x) = aq'(x)\)。由 \(q(x), q'(x)\) 是本原多项式可知 \(a, b\) 均为 \(Q(x)\) 的所有系数的最大公因子。因此 \(a, b\) 仅相差单位，即 \(a = ub\)。于是 \(q(x) = uq'(x)\)。\(\square\)
推论 9.8
设 \(R\) 是 UFD，则 \(R\) 的任意多变量的多项式环是 UFD。
Sec.9.4 Irreducibility Criteria
一般而言，检查多项式是否有因式是困难的。研究这个问题，可以从一阶因式入手。
结论 9.9
设 \(F\) 是域，\(p(x)\in F[x]\)，则 \(p(x)\) 有度数为 \(1\) 的因式当且仅当其在 \(F\) 上有根，即存在 \(\a\in F\) 使得 \(F(\a) = 0\)。
证明
若 \(f\) 有度数为 \(1\) 的因式 \(cx - \a\)，因为 \(F\) 是域，不妨设 \(c = 1\)，则 \(f(\a) = 0\)。
相反，若 \(f(\a) = 0\)，因为 \(F\) 是域，所以 \(F[x]\) 是 ED，存在带余除法 \(p(x) = q(x) (x - \a) + r\)，则 \(r = 0\)。于是 \(x - \a\) 是 \(f(x)\) 的因式。\(\square\)
\(\Z\) 上因式定理的推广。
推论 9.10
域 \(F\) 上度数为 \(2\) 或 \(3\) 的多项式可约当且仅当它在 \(F\) 上有根。
以下是关于 \(\Z[x]\) 的结论，但很明显可以推广至任意 \(R[x]\)，其中 \(R\) 是 UFD。
结论 9.11
设 \(p(x) = a_n x ^ n + \cdots + a_0\in \Z[x]\)，若 \(r, s\) 是互质整数且 \(\fr r s\in \Q\) 是 \(p\) 的根，则 \(r\mid a_0\) 且 \(s \mid a_n\)。特别地，若 \(a_n = 1\) 且对任意 \(a_0\) 的因数 \(d\)，\(p(d)\neq 0\)，则 \(p(x)\) 在 \(\Q\) 中无根。
证明
由假设，\(a_n(\fr r s) ^ n + a_{n - 1}(\fr r s) ^ {n - 1} + \cdots + a_0 = 0\)，即 \(0 = a_nr ^ n + a_{n - 1} r ^ {n - 1}s +\cdots + a_0 s ^ n\)。于是 \(s\mid a_nr ^ n\) 且 \(r\mid a_0 s ^ n\)。因为 \(s, r\) 互质，所以 \(s\mid a_n\) 且 \(r\mid a_0\)。\(\square\)
例
(1) \(f(x) = x ^ 3 + 3x - 1\) 在 \(\Z[x]\) 不可约，因为 \(f(\pm 1)\neq 0\)。
(2) \(f(x) = x ^ 2 - p\) 和 \(g(x) = x ^ 3 - p\) 在 \(\Q[x]\) 不可约，其中 \(p\) 是质数。
(3) \(f(x) = x ^ 2 + 1\) 在 \(\Z / 2\Z[x]\) 可约，因为 \(f(1) = 0\)。
(4) \(f(x) = x ^ 2 + x + 1\) 在 \(\Z / 2\Z[x]\) 不可约，因为 \(f(\pm 1)\neq 0\)。
不可约性判定的另一个思路是将系数对理想取模以缩小问题规模。
结论 9.12
设 \(I\) 是整环 \(R\) 的真理想，\(p(x)\in R[x]\) 是首一的非常数多项式。若 \(p(x)\) 在 \((R / I)[x]\) 的像（即 \(p(x)\) 的所有系数对 \(I\) 取模得到的多项式）不能在 \((R / I)[x]\) 上被分解为度数更小的多项式的乘积，则 \(p(x)\) 在 \(R[x]\) 上不可约。
证明
若 \(p(x)\) 在 \(R[x]\) 上可约，则存在 \(p(x) = a(x) b(x)\)，其中 \(a(x), b(x)\in R[x]\) 是非常数的首一多项式。于是 \(a(x), b(x)\) 在 \((R / I)[x]\) 的像是非常数首一多项式，\(\ov {p(x)}\) 在 \((R / I)[x]\) 上可约。\(\square\)
其逆命题不成立：在所有 \((R / I)[x]\) 上可约不一定在 \(R[x]\) 上可约（\(x ^ 4 - 72x ^ 2 + 4\) 在任意 \(\Z / n\Z[x]\) 上可约，但在 \(\Z[x]\) 上不可约）。
例
(1) \(f(x) = x ^ 2 + x + 1\) 在 \(\Z[x]\) 不可约，因为它在 \(\Z / 2\Z[x]\) 不可约。
(2) \(f(x) = x ^ 2 + 1\) 在 \(\Z[x]\) 不被可约，因为它在 \(\Z / 3\Z[x]\) 不可约。
这个结论很有用，它能够将无穷多的系数转化有限多种，使得我们可以枚举所有情况以证明不可约。一个常见的特例是艾森斯坦判据。
结论 9.13（艾森斯坦判据：Eisenstein's Criterion）
设 \(P\) 是整环 \(R\) 的素理想。设首一多项式 \(f(x) = x ^ n + a_{n - 1} x ^ {n - 1} + \cdots + a_1x + a_0\in R[x]\)，其中 \(n\geq 1\)。若 \(a_{n - 1},\cdots, a_1, a_0\in P\) 但 \(a_0\notin P ^ 2\)，则 \(f(x)\) 在 \(R[x]\) 不可约。
证明
假设 \(f(x)\) 可约，\(f(x) = a(x) b(x)\)，其中 \(a(x), b(x)\in R[x]\) 是非常数首一多项式，将等式模 \(P\) 得到 \(x ^ n = \ov {a(x)b(x)}\)。因为 \(P\) 是素理想，所以 \((R / P)[x]\) 是整环。而 \(\ov {a(x)}, \ov{b(x)}\) 也是非常数首一多项式，可知 \(a(x)\) 和 \(b(x)\) 的常数项均为 \(0\)（否则 \(a(x), b(x)\) 最低的非零项相乘得到 \(\ov cx ^ m\)，其中 \(\ov c\neq 0\) 且 \(m\leq n\)），于是 \(a_0\in P ^ 2\)，矛盾。\(\square\)
推论 9.14
设 \(p\) 是 \(\Z\) 上的质数，\(f(x) = x ^ n + a_{n - 1} x ^ {n - 1} + \cdots + a_1x + a_0\in \Z[x]\) 且 \(n\geq 1\)。若 \(p\) 整除所有 \(a_{0\sim n - 1}\) 但 \(p ^ 2\nmid a_0\)，则 \(f(x)\) 在 \(\Z[x]\) 和 \(\Q[x]\) 上没有根。
\(\Z[x]\) 上的艾森斯坦判据。
例
(1) 由艾森斯坦判据，\(f(x) = x ^ 4 + 10x + 5\) 在 \(\Z[x]\) 上不可约。
(2) 设分圆多项式 \(\Phi_p(x) = \fr {x ^ p - 1} {x - 1} = x ^ {p - 1} + x ^ {p - 2} + \cdots + x + 1\)，其中 \(p\) 是质数。考虑
\[\Phi_p(x + 1) = x ^ {p - 1} + px ^ {p - 2} + \cdots + \fr {p(p - 1)}{2} x + p\in \Z[x] \]可知 \(\Phi_p(x + 1)\) 在 \(\Z[x]\) 上不可约。于是 \(\Phi_p(x)\) 在 \(\Z[x]\) 上不可约。
Sec.9.5 Polynomial Rings Over Fields II
设 \(F\) 是域，给出一些关于 \(F[x]\) 的性质。
结论 9.15
\(F[x]\) 的极大理想是不可约多项式 \(f(x)\) 的生成理想。特别地，\(F[x] / (f(x))\) 是域当且仅当 \(f(x)\) 不可约。
证明
\(F[x]\) 是 PID，不可约元素等价于素元，素理想等价于极大理想。
结论 9.16
设非常数多项式 \(g(x)\in F[x]\)，\(g(x) = f_1(x) ^ {n_1} \cdots f_k(x) ^ {n_k}\) 为其唯一分解，其中 \(f_i\) 不可约且互不相同，则
\(F[x]\) 上的中国剩余定理。因为 \(f_i(x)\) 和 \(f_j(x)\) 均不可约，所以它们在 ED \(F[x]\) 上互素。于是 \((f_i(x) ^ {n_i})\) 和 \((f_j(x) ^ {n_j})\) 互素。
结论 9.17
若 \(f(x)\) 在 \(F\) 上有根 \(\a_1, \a_2, \cdots, \a_k\)，则 \(f(x)\) 有因式 \((x - \a_1) \cdots (x - \a_k)\)。特别地，域 \(F\) 上度数为 \(n\) 的单变量多项式在 \(F\) 上最多有 \(n\) 个根。
