Chap.7 Introduction to Rings

环论初步。$$

Sec.7.1 Basic Definitions and Examples

环公理

(1) 集合 $R$ 称为 环 (Ring)，若其上定义了满足以下公理的二元运算 $+,\times$，称为加法和乘法：

(i) $(R,+)$ 是阿贝尔群。

(ii) $\times$ 有结合律。

(iii) $R$ 满足分配律。对任意 $a,b,c\in R$，$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$，$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$。

(2) 若乘法交换，则称 $R$ 为 交换环。

(3) 若存在 $1\in R$ 满足对任意 $a\in R$，$1\times a=a\times 1=a$，则称 $R$ 有单位元。

乘法符号一般省略不写。加法群的单位元记为 $0$，逆元记为 $-a$。

若 $R$ 不是阿贝尔群且含有 $1$，通过结合律和分配律可以推出 $R$​ 是阿贝尔群。

除环、域

含有 $1$ 且 $1\ne 0$ 且每个非零元素有乘法逆元的环称为 除环 (Division Ring)。交换除环称为 域 (Field)。

例

(1) 平凡环：任意交换群，定义 $a\times b=0$。零环：$R=\{0\}$。

(2) $\mathbb{Z}$ 是含有 $1$ 的交换环，$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 是域。

结论 7.1

设 $R$ 是环。

(1) $0a=a0=0,\mathrm{\forall }a\in R$。

(2) $(-a)b=a(-b)=-ab,\mathrm{\forall }a,b\in R$。

(3) $(-a)(-b)=ab,\mathrm{\forall }a,b\in R$。

(4) 若 $R$ 有单位元 $1$，则 $1$ 唯一且 $-a=(-1)a$。

使用分配律和 $(R,+)$ 中的消去律证明。

可以借助整数环 $\mathbb{Z}$ 理解以上结论，但 $\mathbb{Z}$ 有更多的结构，因为它交换。

零因子、单位

(1) 若存在 $b\ne 0$ 使得 $ab=0$ 或 $ba=0$，则称 $a\ne 0$ 为 $R$ 的 零因子 (Zero Divisor)。

(2) 若 $R$ 有单位元 $1\ne 0$ 且存在 $v$ 使得 $uv=vu=1$，则称 $u$ 为 $R$ 的 单位 (Unit)。$R$ 的单位的集合记为 $R^{\times }$。

易见 $(R^{\times },\times )$ 是群。

域是 $1\ne 0$ 且所有非零元素都是单位的交换环。$F^{\times }=F-\{0\}$​。

零因子一定不是单位：若 $a$ 是单位，$b\ne 0$ 且 $ab=0$，设 $va=1$，则 $1b=vab=v0=0$，矛盾。域没有零因子。

零因子就是零的 “因子”。

例

$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ 是 $0\sim n-1$ 在模 $n$ 意义下所有可逆元素的集合，即所有和 $n$ 互质的元素的集合。于是 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是域当且仅当 $n$ 是质数。

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$​ 的每个非零元素要么是零因子，要么是单位。

---

整数环 $\mathbb{Z}$ 是性质比较好的环。我们给具有类似性质的环一个定义。

整环

含有单位元 $1\ne 0$ 的交换环称为 整环 (Integral Domain)，若其不含零因子。

不存在零因子，所以消去律成立。

结论 7.2

若 $a$ 不是零因子且 $ab=ac$，则 $a=0$ 或 $b=c$。

证明

$ab=ac⟹a(b-c)=0$。$◻$

推论 7.3

任何有限整环都是域。

证明

设 $a\ne 0$。因为 $R$ 是整环，所以 $x\mapsto ax$ 是单射。因为 $R$ 有限，所以 $x\mapsto ax$ 是满射。于是存在 $x$ 使得 $ax=1$。$◻$

子环

$R$​ 在乘法下封闭的子群称为 子环 (Subring)。

检查 $R$ 的子集是否为子环，只需检查其非空且在减法（子群准则）和乘法下封闭。

二次整数环 $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]=\{a+b\sqrt{D}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ 是二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})=\{a+b\sqrt{D}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$ 的子环，其中 $D$ 不含平方因子。

Sec.7.2 Examples: Polynomial Rings, Matrix Rings, and Group Rings

多项式环

对于交换环 $R$，称

为 $R$ 上的 多项式 (Polynomial)。若 $a_n\ne 0$，则称多项式的 次数 (Degree) 为 $n$。若 $a_n=1$，则称多项式为 首一 (Monic) 的。

所有这样的系数在 $R$ 中的多项式称为以 $x$ 为变量的 $R$ 上的多项式环，记为 $R[x]$​​。其加法和乘法法则是我们所熟知的。

$R$ 在 $R[x]$ 中是常数多项式，$R[x]$ 是交换环。

多项式系数所在的环会影响多项式的性质。$x^2+1$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 中不是完全平方，在 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]$ 中是完全平方。

结论 7.4

设 $R$ 是整环，$p(x),q(x)\in R[x]$，则

(1) 若 $p(x),q(x)$ 非零，则 $\mathrm{deg}p(x)q(x)=\mathrm{deg}p(x)+\mathrm{deg}q(x)$。

(2) $R[x]$ 的单位是 $R$ 的单位。

(3) $R[x]$​ 是整环。

矩阵环

对于任意环 $R$，所有 $n\times n$ 且每个位置上的元素均属于 $R$ 的矩阵是一个 矩阵环 (Matrix Ring)，记为 $M_n(R)$。

若 $n\ge 2$，则 $M_n(R)$ 非交换，且含有零因子。

群环

对含单位元 $1\ne 0$ 的交换环 $R$ 和有限群 $G=\{g_1,\cdots ,g_n\}$，定义 群环 (Group Ring) $RG$ 为所有

的集合。

群环的加法即对应项相加，乘法即展开后根据 $(a{g}_i)(b{g}_j)=(ab)(g_i{g}_j)$ 化简。

$RG$ 交换当且仅当 $G$ 是阿贝尔群。

若 $|G|>1$，则 $RG$ 含有零因子：$(1-g)(1+g+\cdots +g^{|g|-1})=1-g^{|g|}=0$。

Sec.7.3 Ring Homomorphisms and Quotient Rings

环同态保持加法和乘法。

环同态、核、同构

设 $R,S$ 是环。

(1) 环同态 (Ring Homomorphism) $\phi :R\to S$ 满足

(i) $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$。$\phi$ 是加法群的群同态。

(ii) $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$​。

(2) 环同态的 核 $\ker \phi$ 为 $R$ 中映射到 $0\in S$ 的元素。$\ker \phi$ 是加法群的群同态的核。

(3) 双射的环同态称为 同构。

不引起歧义时，使用同态表示环同态。

${\phi }_n:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 其中 $\phi (x)=nx$ 在 $n\ge 2$ 时不是同态，因为 $\phi (x^2)=\phi (x{)}^2=n^2{x}^2$。

结论 7.5

设 $\phi :R\to S$ 是环同态。

(1) $\phi$ 的像是 $S$ 的子环。

(2) $\ker \phi$ 是 $R$ 的子环，且 $\ker \phi$ 在与 $R$ 的乘积下保持封闭，即对任意 $\alpha \in \ker \phi$ 和 $r\in R$，$r\alpha ,\alpha r\in \ker \phi$。

(2) 的后半部分是环同态所特有的。

---

考虑加性群 $(R,+)$ 的正规子群 $I$，$R/I$ 是群，即 $(r+I)+(s+I)=(r+s)+I$。但 $R/I$ 不一定是环。

为了让 $(r+I)\times (s+I)=(rs)+I$ 良定义，需要对任意 $r,s\in R$ 和 $\alpha ,\beta \in I$，有

令 $r=s=0$ 可知 $I$ 在乘法下封闭，$I$ 是 $R$​ 的子环。

令 $s=0$ 可知 $r\beta \in I$，令 $r=0$ 可知 $\alpha s\in I$。即 $I$ 在与 $R$​ 的乘积下保持封闭。

理想

设 $R$ 是环，$I$ 是 $R$ 的子集，$r\in R$。

(1) 记 $rI=\{ra\mid a\in I\}$，$Ir=\{ar\mid a\in I\}$。

(2) $I$ 称为 $R$ 的 左理想，若 $I$ 是 $R$ 的子环且对任意 $r\in R$，$rI\subseteq I$。类似定义 右理想。

(3) 若 $I$ 既是左理想也是右理想，则称 $I$ 为 理想 (Ideal)。

对于交换群，以上三个概念等价。

7.5(2) 说明所有环同态的核都是理想。

结论 7.6

设 $I$ 是环 $R$ 的理想，则商群 $R/I$ 是环且满足二元运算

反之，若 $I$ 是 $R$ 的满足以上运算良定义的子群，则 $I$ 是 $R$ 的理想。

商环

若 $I$ 是 $R$ 的理想，则 $R/I$ 称为 商环 (Quotient Ring)。加法和乘法运算与结论 7.6 一致。

定理 7.7（环的第一同构定理）

(1) 若 $\phi :R\to S$ 是环同态，则 $\ker \phi$ 是 $R$ 的理想，$\phi (R)$ 是 $S$ 的子环且 $R/\ker \phi$ 和 $\phi (R)$ 同构。

(2) 若 $I$ 是 $R$ 的理想，则映射 $R\to R/I$ 其中 $r\mapsto r+I$ 是核为 $I$ 的满环同态，称为 $R$ 到 $R/I$ 上的自然映射。

7.7(2) 说明理想是环同态的核。

类似地，使用 $\overline{r}$ 表示模 $I$ 下的剩余类 $r+I$。

$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的自然映射（对 $n$ 取模）在初等数论中有很重要的影响。

解丢番图方程 $x^2+y^2=3z^2$，不妨设 $gcd(x,y,z)=1$。由 $x^{2}mod4$ 等于 $0$ 或 $1$ 可知 $(x^{2}mod4)+(y^{2}mod4)\equiv (3z^{2}mod4)(\mathrm{mod}4)$ 的唯一可能是 $0+0\equiv 0(\mathrm{mod}4)$，所以 $x=y=z=0$。

定理 7.8

(1)（环的第二同构定理）设 $A$ 是 $R$ 的子环，$B$ 是 $R$ 的理想，则 $A+B=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$ 是 $R$ 的子环，$A\cap B$ 是 $A$ 的理想且 $(A+B)/B\cong A/(A\cap B)$。

(2)（环的第三同构定理）设 $I\subseteq J$ 是 $R$ 的理想，则 $J/I$ 是 $R/I$ 的理想且 $(R/I)/(J/I)\cong R/J$。

(3)（环的第四同构定理）设 $I$ 是 $R$ 的理想，对所有包含 $I$ 的子环 $A$，$A$ 和 $A/I$ 之间存在保持结构的双射。特别地，$A\supseteq I$ 是 $R$ 的理想当且仅当 $A/I$ 是 $R/I$ 的理想。

理想的和与积

设 $I,J$ 是 $R$ 的理想。

(1) 定义 $I$ 与 $J$ 的和 $I+J=\{a+b\mid a\in I,b\in J\}$。

(2) 定义 $I$ 与 $J$ 的积 $IJ$ 为所有形式为 $ab$ 的有限和，其中 $a,b$ 分别是 $I,J$ 的任意元素。

(3) 定义 $I^n$ 为所有形式为 $a_1{a}_2\cdots a_n$ 的有限和，其中 $a_i$ 是 $I$ 的任意元素。等价地，$I^n=I{I}^{n-1}$。

$I+J$ 是 $R$ 的最小的同时包含 $I,J$ 的理想，$IJ$ 是包含于 $I\cap J$ 的理想。

注意：理想积和子群积的形式完全不同。$\{ab\mid a\in I,b\in J\}$ 一般在加法下不封闭。

理想相乘，越乘越小。

Sec.7.4 Properties of Ideals

约定：整个小节的环 $R$ 含有单位元 $1\ne 0$。

生成理想、主理想

设 $A$ 是环 $R$ 的子集。

(1) 称最小的包含 $A$ 的理想为 $A$ 的 生成理想，记为 $(A)$。当 $A=\{a_1,\cdots ,a_n\}$ 时简记为 $(a_1,\cdots ,a_n)$。

(2) 记 $RA$ 为所有形式为 $ra$ 的有限和，其中 $r,a$ 分别是 $R,A$ 的任意元素。类似定义 $AR$ 和 $RAR$。

(3) 称仅由一个元素生成的理想为 主理想 (Principal Ideal)。

(4) 称由有限集合生成的理想为 有限生成理想。

和集合的生成子群一样，$A$ 的生成理想为所有包含 $A$ 的理想的交集。

$A$ 的左生成理想为 $RA$：因为 $R$ 含有单位元，所以 $RA$ 是包含 $A$ 的左理想。而任何包含 $A$ 的左理想都必须包含所有形式为 $ra$ 的有限和，即包含 $RA$。类似地，$A$ 的右生成理想为 $AR$，生成理想为 $RAR$。于是若 $R$ 交换，则 $AR=RA=RAR=(A)$。

主理想是一类重要理想，类似于群论中的循环群。

对于交换环，定义元素之间的整除关系：若存在 $r\in R$ 使得 $b=ra$，则称 $b$ 是 $a$ 的倍数，$a$ 整除 $b$。于是 $b$ 是 $a$ 的倍数当且仅当 $b\in (a)$，当且仅当 $(b)\subseteq (a)$​。研究交换环的主理想之间的包含关系反映了环的代数性质。

结论 7.9

设 $I$ 是 $R$ 的理想。

(1) $I=R$ 当且仅当 $I$​ 含有单位。

(2) 若 $R$ 交换，则 $R$ 是域当且仅当它的理想仅有 $0$ 和 $R$。

证明 (1)：若 $I$ 含有单位 $u$，则对任意 $r$，$r=(r{u}^{-1})u\in I$。

结论 7.9 很重要。

类比域和简单群。

推论 7.10

若 $R$ 是域，则 $R$​ 到任何环上的非零同态都是单射。

非零同态的 $\ker \ne R$，所以 $\ker =0$。

极大理想

任意环 $S$ 的理想 $M$ 称为 极大理想 (Maximal Ideal)，若 $M\ne S$ 且包含 $M$ 的理想仅有 $M$ 和 $S$。

结论 7.11

含有单位元的环的每个真理想（即不等于该环的理想）包含于某个极大理想。

证明用到了 Zorn 引理：若非空偏序集 $P$ 满足任何全序子集在 $P$ 中有上界，则 $P$ 至少存在一个极大元。

结论 7.12

设 $R$ 交换，则理想 $M$ 是极大理想当且仅当 $R/M$ 是域。

如果 $R/M$ 不是域，则 $R/M$ 存在非零真理想。由第四同构定理可知 $R$ 中存在真包含 $M$​ 的真理想。

$d$ 是 $n$ 的极大真因子当且仅当 $\frac{n}{d}$​ 是质数。

$n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的极大理想当且仅当 $n$ 是质数。

素理想

设 $R$ 交换，则理想 $P$ 称为 素理想 (Prime Ideal)，若 $P\ne R$ 且若 $ab\in P$，则 $a\in P$ 或 $b\in P$。

结论 7.13

设 $R$ 交换，则理想 $P$ 是素理想当且仅当 $R/P$ 是整环。

素理想的定义的商群翻译版本。

推论 7.14

设 $R$ 交换，则 $R$ 的所有极大理想都是素理想。因为域是整环。

Sec.7.5 Rings of Fractions

约定：整个小节的环 $R$ 交换。

由交换环 $R$ 构建分式环 $Q$，使得 $R\subseteq Q$ 且 $R$ 的每个非零且不是零因子的元素在 $Q$ 中均为单位，即存在乘法逆元。一个最简单的例子是由 $\mathbb{Z}$ 构造 $\mathbb{Q}$​。

换言之，我们希望扩展 $R$ 使得可以做 除法。

单位一定不是零因子，但不是零因子不一定是单位，如 $2\in \mathbb{Z}$。

特别地，若 $R$ 是整环，则 $Q$ 可以是域。即每个整环都是一个域的 “嵌入”。

定理 7.15

设 $D\subset R$ 不含 $0$ 和零因子，且在乘法下封闭。则存在含单位元 $1$ 的交换环 $Q\supseteq R$ 满足 $D$ 的每个元素是 $Q$ 的单位。

(1) $Q$ 的每个元素形如 $r{d}^{-1}$，其中 $r\in R$，$d\in D$。特别地，若 $D=R-\{0\}$ 则 $R$ 是域（这要求 $R$ 至少是整环，因为所有非零元素都不是零因子）。

(2) $Q$​ 是满足以上性质的最小环。

第一步：构造分数类和其上的等价关系。

构造 $\mathcal{F}=\{(r,d)\mid r\in R,d\in D\}$ 表示分数 $\frac{r}{d}$。定义 $\mathcal{F}$ 上的关系 $\sim$ 为

则 $\sim$ 是等价关系。

第二步：定义等价类集合上的加法和乘法运算。

设等价类集合为 $Q$，在 $Q$ 上定义加法和乘法

(1) 这些运算良定义（和等价类代表元的选择无关）。

(2) $(Q,+)$ 是阿贝尔群，加法单位元为任意 $\frac{0}{d}$，加法逆元为 $\frac{-r}{d}$。

(3) 乘法运算结合，分配，交换。

(4) $Q$ 有单位元 $\frac{d}{d}$​。

第三步：将 $R$ 嵌入 $Q$。

定义 $\iota (r)=\frac{rd}{d}$，其与 $d$ 的选择无关。

$\iota$ 是同态且为单射：$\iota (r)=0⟺\frac{rd}{d}=\frac{0}{d}⟺r{d}^2=0⟺r=0$，因为 $d$ 不是零因子且不为 $0$。

第四步：证明 $d$ 有逆元且 $Q$ 的每个元素形如 $r{d}^{-1}$。

第五步：证明 $Q$ 的唯一性。

假设存在单射环同态 $\phi :R\to S$ 满足 $\mathrm{\forall }d\in D$，$\phi (d)$ 在 $S$ 中是单位。构造映射 $\mathrm{\Phi }:Q\to S$ 满足 $\mathrm{\Phi }(r{d}^{-1})=\phi (r)\phi (d{)}^{-1}$，则 $\mathrm{\Phi }$ 良定义且为环同态。

若 $r{d}^{-1}\in \ker \mathrm{\Phi }$，则因为 $\phi (d{)}^{-1}\ne 0$ 且是单位（不为零因子），所以 $\phi (r)=0$，即 $r\in \ker \phi =0$，因此 $\ker \mathrm{\Phi }=0$​​。

这同时证明了 $Q$ 的最小性。

分式环、分式域

设 $R,D,Q$ 为定理 7.15 的环。

(1) $Q$ 称为 $D$ 关于 $R$ 的 分式环 (Ring of Fractions)，记为 $D^{-1}R$。

(2) 若 $R$ 是整环且 $D=R-\{0\}$，则 $Q$ 称为 $R$ 的 分式域 (Field of Fractions) 或 商域 (Quotient Field)。

生成子域

设 $A$ 是域 $F$ 的子集，则 $F$ 的所有包含 $A$ 的子域的交集是子域，称为 $A$​ 的 生成子域。它是包含 $A$ 的最小子域。

子域的概念是不言自明的。

注意：$F$ 的子域 $F^{\prime }$ 要求 $\mathrm{\forall }x,y\in F^{\prime }$，$x{y}^{-1}\in F^{\prime }$，因为 $F^{\prime }$ 是域，所有元素都要有乘法逆元。

推论 7.16

设 $R$ 是整环，$Q$ 为其分式域。若域 $F$ 含有同构于 $R$ 的子环 $R^{\prime }$，则 $R^{\prime }$ 的生成子域同构于 $Q$​。

证明思路沿用定理 7.15 第五步的 $\phi$ 和 $\mathrm{\Phi }$ 即可。

Sec.7.6 The Chinese Remainder Theorem

约定：除非特殊说明，所有环为含单位元 $1\ne 0$ 的交换环。

环直积

定义环 $R_1,R_2$ 的 直积 为有序对 $(r_1,r_2)$ 形成的集合，其中 $r_1,r_2$ 分别为 $R_1,R_2$ 的任意元素，并满足运算

记为 $R_1\times R_2$​。

$R$ 到直积上的映射是同态，当且仅当该映射导出的 $R$​​ 到直积的每个分量的映射是同态。

互素理想

$R$ 上的理想 $A,B$ 称为 互素 (Comaximal) 的，若 $A+B=R$。

考虑 $\mathbb{Z}$ 上的理想 $n\mathbb{Z}$ 和 $m\mathbb{Z}$，$n,m$ 互素当且仅当 $nx+my=1$ 有解，于是 $n,m$ 互素当且仅当 $n\mathbb{Z}+m\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$。互素理想是 $\mathbb{Z}$ 上的互素概念的推广。

一般地，$n\mathbb{Z}+m\mathbb{Z}=(n,m)\mathbb{Z}$。

笔者猜想：两个不同的非零素理想的和一定是整个环。目前还不会证明。

定理 7.17（中国剩余定理：Chinese Remainder Theorem）

设 $A_1,\cdots ,A_k$ 为 $R$ 的理想，则映射 $R\to (R/A_1)\times \cdots \times (R/A_k)$ 其中 $r\mapsto (r+A_1,\cdots ,r+A_k)$ 是同态，其核为 $A_1\cap \cdots \cap A_k$。

若任意两个不同理想互素，则该映射是满射，且 $A_1\cap \cdots \cap A_k=A_1{A}_2\cdots A_k$，于是

证明：先考虑 $k=2$ 的情况。考虑 $\phi (r)=(rmodA,rmodB)$，其中 $rmodA$ 即 $r+A$。$\phi$ 是同态，因为它是到每个分量上的自然映射。显然 $\ker \phi =A\cap B$。

若 $A+B=R$，则存在 $x\in A$，$y\in B$ 使得 $x+y=1$。有 $\phi (x)=(0,1)$，因为 $x\in A$ 且 $x=1-y\in 1+B$。类似有 $\phi (y)=(1,0)$。于是对 $(R/A)\times (R/B)$ 的任意元素 $(r_{1}modA,r_{2}modB)$，$r_{2}x+r_{1}y$ 为其原像之一。这说明 $\phi$ 是满射。

最后，因为 $AB\subseteq A$ 且 $AB\subseteq B$，所以 $AB\subseteq A\cap B$。反之，若 $A,B$ 互素，则对于 $A\cap B$ 的任意元素 $c$，$c=c1=cx+cy\in AB$（这里用到了 $R$ 交换），即 $A\cap B\subseteq AB$。因此 $AB=A\cap B$。

使用数学归纳法之前还需要证明 $A_1$ 和 $A_2{A}_3\cdots A_k$ 互素：设 $x_i\in A_1$，$y_i\in A_i$ 且 $x_i+y_i=1$，考虑到 $x_i+y_i\in y_i+A_1$，于是

这个定理的特殊形式 $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ 和解模数互素的同余方程有关。

推论 7.18

设正整数 $n$ 的唯一分解为 $p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$，则

于是特别地：

得 $\phi$ 的计算公式

Chap.8 Euclidean Domains, Principal Ideal Domains, and Unique Factorization Domains

三类重要整环：欧几里得整环 (ED)，主理想整环 (PID) 和唯一分解整环 (UFD)。

整数相关运算在整环上的推广（更抽象的代数）。不同运算需要不同的基本性质，因而导出了这三类整环。

约定：本章涉及的所有环都是交换环。

Sec.8.1 Euclidean Domains (E.D)

带余除法在整环上的推广：欧几里得整环上定义了带余除法，因而可以执行欧几里得算法。

范数

任何函数 $N:R\to {\mathbb{Z}}^{+}\cup \{0\}$ 满足 $N(0)=0$ 称为 $R$ 上的 范数 (Norm)。若 $N(a\ne 0)>0$ 则称 $N$ 为 正范数。

$R$ 可以有多个范数。

欧几里得整环、带余除法

整环 $R$ 称为 欧几里得整环 (Euclidean Domain, ED)，若存在 $R$ 上的范数 $N$ 满足对任意 $a,b\in R$ 且 $b\ne 0$，存在 $q,r\in R$ 使得 $a=qb+r$ 并满足 $r=0$ 或 $N(r)<N(b)$。

上述过程称为 带余除法 (Division Algorithm)，$q,r$​ 分别称为带余除法的 商 和 余数。

欧几里得算法

带余除法保证 $\mathrm{\forall }a,b\in R,b\ne 0$ 的 欧几里得算法 (Euclidean Algorithm) 存在：

其中 $r_n$ 是最后一个非零余数。因为 $N(b)>N(r_0)>\cdots >N(r_n)$，所以 $r_n$​​​ 存在。

注意：这些元素不一定唯一。

域是平凡的欧几里得整环，因为 $a=(a{b}^{-1})b+0$。

若 $F$ 是域，则 $F[x]$ 是欧几里得整环，其中 $N(p(x))=\mathrm{deg}p(x)$。

结论 8.1

ED 的所有理想都是主理想。进一步地，若 $I$ 是 ED $R$ 的非零理想，则 $I=(d)$，其中 $d$ 是 $I$​ 的任意非零最小范数元素。

证明

若 $I$ 非零，设 $d$ 为非零元素中范数最小的元素，则 $(d)\subseteq I$。对任意 $a\in I$，设 $a=qd+r$，则 $N(r)<N(d)$ 且 $r\in I$，于是 $r=0$，即 $a=qd\in (d)$。因此 $I=(d)$。$◻$

---

欧几里得算法的基本应用是为 ED 的任意两个非零元素提供最大公因子。

倍数、最大公因子

设 $a,b$ 是交换环 $R$ 的任意两个元素，且 $b\ne 0$。

(1) 称 $a$ 是 $b$ 的 倍数 (Multiple)，若存在 $x\in R$ 使得 $a=bx$。此时称 $b$ 整除 (Divide) $a$，$b$ 是 $a$ 的 因子 (Divisor)，记为 $b\mid a$。

(2) 称非零元素 $d$ 为 $a,b$ 的 最大公因子 (Greatest Common Divisor)，若

(i) $d\mid a$ 且 $d\mid b$。

(2) 若 $d^{\prime }\mid a$ 且 $d^{\prime }\mid b$，则 $d^{\prime }\mid d$。

记为 $gcd(a,b)$ 或无歧义时，$(a,b)$。

注意到 $b\mid a⟺a\in (b)⟺(a)\subseteq (b)$，于是条件 (2) 可翻译为：若 $I$ 是由 $a,b$ 生成的理想，则 $d$ 是 $a,b$ 的最大公因子当且仅当 $I\subseteq (d)$ 且若 $I\subseteq (d^{\prime })$ 则 $(d)\subseteq (d^{\prime })$。

因此，若 $a,b$ 的最大公因子存在，则它是唯一且最小的包含 $a,b$ 的主理想的生成元。有如下结论。

结论 8.2

若 $a,b$ 是交换环 $R$ 的非零元素，满足 $a,b$ 的生成理想是主理想 $(d)$，则 $d$ 是 $a,b$ 的最大公因子。

这个条件的逆命题不一定成立。仅在交换环中，两个元素的生成理想不一定是主理想。

主理想整环的意义之一：两个元素的生成理想是主理想，从而最大公因子一定存在。

由两个元素生成的理想为主理想的整环称为 Bezout 整环。

结论 8.3

设 $R$ 是整环。若 $d,d^{\prime }$ 生成相同主理想，则存在单位 $u\in R$ 使得 $d^{\prime }=ud$。特别地，若 $d,d^{\prime }$ 都是 $a,b$ 的最大公因子，则存在单位 $u\in R$ 使得 $d^{\prime }=ud$。

证明

设 $d,d^{\prime }\ne 0$，否则平凡。

由 $(d)=(d^{\prime })$ 知 $d=x{d}^{\prime }$ 且 $d^{\prime }=yd$，则 $d=xyd$。因为 $d\ne 0$ 且 $R$ 为整环，所以 $xy=1$，$x,y$ 是单位。$◻$

$\mathbb{Z}$ 的单位为 $\pm 1$，所以若 $d$ 是 $a,b$ 的最大公因子，则 $-d$ 也是​。

定理 8.4

设 $R$ 是 ED，$a,b\in R$ 非零。设 $d=r_n$ 为 $a,b$ 的欧几里得算法的最后一项非零余数，则

(1) $d$ 是 $a,b$ 的最大公因子。

(2) $(d)=(a,b)$。存在 $x,y\in R$ 使得 $d=ax+by$​。

证明：对于 $(a,b)\subseteq (d)$，从 $r_n$ 到 $r_0$ 归纳 $d\mid r_i$，推出 $d\mid a,b$。对于 $(d)\subseteq (a,b)$，从 $r_0$ 到 $r_n$ 归纳 $r_i\in (a,b)$​。

我们所熟知的 Bezout 定理 在 ED 上的推广。

Sec.8.2 Principal Ideal Domain (P.I.D)

主理想整环

所有理想都是主理想的整环称为 主理想整环 (Principal Ideal Domain, PID)。

由结论 8.1，ED 是 PID。但 PID 不一定是 ED：$\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]$。

例

(1) 因为 $\mathbb{Z}$ 是 ED，所以 $\mathbb{Z}$ 是 PID，但 $\mathbb{Z}[x]$ 不是 PID：$(2,x)$ 不是主理想。

(2) $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 不是 PID：$(3,1+\sqrt{-5})$​ 不是主理想。

---

结论 8.2，8.3 和 8.4 在 PID 中仍然成立。相较于 PID，ED 存在欧几里得算法快速计算 $gcd$。

结论 8.6

设 $R$ 是 PID，$a,b\in R$ 非零。设 $d$ 为 $(a,b)$ 的任意生成元，则

(1) $d=gcd(a,b)$。

(2) 存在 $x,y\in R$ 使得 $d=ax+by$。

(3) 在和单位的乘法下，$d$​ 唯一。

结论 8.7

PID 的素理想是极大理想。

证明

设 $(p)$ 是 PID $R$ 的非零素理想，设 $I=(m)\supseteq (p)$，则 $p=rm$。

若 $m\in (p)$，则 $(m)\subseteq (p)$，即 $I=(p)$。否则 $r\in (p)$，即 $r=ps$，$p=rm=psm$，可知 $m$ 是单位，于是 $I=R$。$◻$

推论 8.8

若 $R[x]$ 是 PID，则 $R$ 是域。

证明

因为 $R$ 是 $R[x]$ 的子环，所以 $R[x]/(x)\cong R$ 是整环，即 $(x)$ 是素理想。因此 $(x)$ 是极大理想，所以 $R\cong R[x]/(x)$ 是域。$◻$

Sec.8.3 Unique Factorization Domain (U.F.D)

在 $\mathbb{Z}$ 中有另一种确定 $a,b$ 最大公因子的方法：将 $a,b$ 唯一分解为素数乘积。为了定义每个元素的 “唯一分解”，需要引入和 $\mathbb{Z}$ 中 “不可分解” 相对应的 “不可约” 的概念。

不可约元、素元、相伴

设 $R$ 是整环。

(1) 设 $r\in R$ 非零且不是单位。若对任意 $r=ab$，$a,b$ 至少一个是单位，则称 $r$ 在 $R$ 中 不可约 (Irreducible)，$r$ 是 不可约元。否则称为在 $R$ 中 可约 (Reducible)。

(2) 若非零元素 $p\in R$ 的生成理想 $(p)$ 是素理想，则称 $p$ 为 素元 (Prime)。换言之，$p$ 不是单位，且对任意 $p\mid ab$，$p\mid a$ 或 $p\mid b$。

(3) 若 $a=ub$，其中 $u$ 是单位，则称 $a,b$ 在 $R$​ 中 相伴 (Associate)。容易证明 相伴是等价关系。

不可约元和素元是 $\mathbb{Z}$​ 中素数的两个不同性质在整环上的推广。这两个概念并非完全等价。下文研究它们之间的关系。

无论可约还是不可约，都以非零且不是单位为前提。

结论 8.10

整环的素元不可约。

证明

设 $p=ab$ 是素元。不妨设 $a\in (p)$，则 $a=pr$，$p=ab=prb$，可知 $b$ 是单位，于是 $p$ 不可约。$◻$

相反，不可约元素不一定是素元：$3\in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 不可约，但 $9\in (3)$ 可表示为 $(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$。在特殊的整环里，素元等价于不可约元。

结论 8.11

PID 的非零元素是素元当且仅当它不可约。

证明

一个方向由 8.10 给出，还需证明不可约元是素元。

设 $p$ 不可约，考虑证明 $(p)$ 是素理想。若 $p\in (m)$，则 $p=rm$。若 $m$ 是单位，则 $(m)=R$。若 $r$ 是单位，则 $(m)=(p)$。这说明 $(p)$ 是极大理想。因此 $(p)$ 是素理想。$◻$

例

$\mathbb{Z}$ 中的不可约元是所有素数。两个元素相伴当且仅当 $a=\pm b$。

唯一分解整环

整环 $R$ 称为 唯一分解整环 (Unique Factorization Domain, UFD)，若其所有不是单位的非零元素 $r$ 满足

(1) $r=p_1{p}_2\cdots p_n$，其中 $p_i$ 不可约。

(2) 分解在相伴意义下唯一。即若 $r=q_1{q}_2\cdots q_m$，则 $m=n$ 且能够重排这些因子使得 $p_i$ 和 $q_i$ 相伴。

例

(1) 域是 UFD。

(2) $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 不是 UFD：$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$​​。

结论 8.12

UFD 的非零元素是素元当且仅当它不可约。

证明

设 $p$ 不可约且 $p\mid ab$，于是 $p$ 和 $ab$ 的分解的某个不可约元相伴。

考虑 $a$ 的分解和 $b$ 的分解相乘得到 $ab$ 的分解。由分解的唯一性，$p$ 和 $a$ 或 $b$ 的分解的某个不可约元 $p_1=pu$ 相伴，不妨设为 $a$，则 $a=(pu)p_2{p}_3\cdots p_n$，$p\mid a$。于是 $p$ 是素元。$◻$

---

使用唯一分解计算 $gcd$。

结论 8.13

设 $a,b$ 是 PID $R$ 的非零元素。设

为 $a,b$ 的唯一分解，其中 $u,v$ 是单位，$p_i$ 是互不相同（两两不相伴）的素元，且 $e_i,f_i$ 是非负整数，则

是 $a,b$​ 的一个最大公因子。

证明

显然 $d\mid a,b$。

对任意 $c\mid a,b$，设 $q_1^{g_1}\cdots q_m^{g_m}$ 是 $c$ 的唯一分解，则由 $c\mid a,b$ 可知在相伴意义下 $\{q_i\}$ 是 $\{p_i\}$ 的子集，以及每个不可约元的幂次不超过 $a,b$ 中对应不可约元的幂次。于是 $c\mid d$。因此 $d$ 是最大公因子。$◻$

定理 8.14

所有 PID 都是 UFD。

证明相当复杂，略。

推论 8.15（算数基本定理：Fundamental Theorem of Arithmetic）

$\mathbb{Z}$ 是 UFD。

总结

所有包含关系都是真包含：

• $\mathbb{Z}$ 是 ED 但不是域。
• $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]$ 是 PID 但不是 ED。
• $\mathbb{Z}[x]$ 是 UFD 但不是 PID。
• $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$​​​ 是整环但不是 UFD。

存在带余除法的最大整环：ED。

$(d)=(a,b)$ 的最大整环：PID。

极大理想等价于素理想（对一般交换环，极大理想是素理想）的最大整环：PID。

不可约元等价于素元（对一般整环，素元是不可约元）的最大整环：UFD（反例在结论 8.10 最后）。

存在最大公因子的最大整环：UFD（$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 的 $6$ 和 $2(1+\sqrt{-5})$ 没有最大公因子）。

若 $F$ 是域，则 $F[x]$ 是 ED（定理 9.3）。相反，若 $F[x]$ 是 PID，则 $F$ 是域（推论 8.8）。

Chap.9 Polynomial Rings

多项式这个代数学重要概念在环上的推广。本章的重点是多项式在多项式环上的可约性相关定理。

约定：$R$ 是有单位元 $1\ne 0$ 的交换环。

Sec.9.1 Definitions and Basic Properties

基本定义和定理在 7.2 小节。

结论 9.1（结论 7.4）

设 $R$ 是整环，则

(1) $\mathrm{deg}p(x)q(x)=\mathrm{deg}p(x)+\mathrm{deg}q(x)$，若 $p(x),q(x)$ 非零。

(2) $R[x]$ 的单位是 $R$ 的单位。

(3) $R[x]$ 是整环。

结论 9.2

设 $I$ 是环 $R$ 的理想，记 $(I)=I[x]$，则

特别地，若 $I$ 是 $R$ 的素理想，则 $(I)$ 是 $R[x]$ 的素理想。

证明

考虑自然映射 $\phi :R[x]\to (R/I)[x]$，将多项式的所有系数模 $I$。$\phi$ 是 $\ker$ 为 $I[x]=(I)$ 的满同态。由第一同构定理即得。

若 $I$ 是 $R$ 的素理想，则 $R/I$ 是整环，因此 $(R/I)[x]$ 是整环，$(I)$ 是 $R[x]$​ 的素理想。

$f(x)=\sum a_i{x}^i$ 和 $g(x)=\sum b_i{x}^i$ 在 $R[x]/I[x]$ 的同一等价类，当且仅当 $f(x)-g(x)\in I[x]$，即 $a_i-b_i\in I$，当且仅当 $a_i$ 和 $b_i$ 在 $R/I$ 的同一等价类。

$\mathbb{Z}[x]$ 的两个多项式在 $\mathbb{Z}[x]/(n\mathbb{Z})$ 处于同一等价类当且仅当它们对应系数的差是 $n$ 的倍数。于是 $\mathbb{Z}[x]/(n\mathbb{Z})$ 相当于将所有系数对 $n$ 取模，即 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[x]$​。

多元多项式环

系数为 $R$ 的 $x_1,\cdots ,x_n$ 上的多项式环记为 $R[x_1,\cdots ,x_n]$，由

归纳定义。即单项式 $a{x}_1^{d_1}\cdots x_n^{d_n}$​ 的有限和。

例

$p(x,y)=2x^3+xy-y^2$ 和 $q(x,y)=-3xy+2y^2+x^2{y}^3$ 是 $\mathbb{Z}[x,y]$ 的度数分别为 $3$ 和 $5$​ 的元素。

Sec.9.2 Polynomial Rings Over Fields I

当 $F$ 是域时，$F[x]$ 有更好的性质。

定理 9.3

设 $F$ 是域，则 $F[x]$​ 是 ED。特别地，若 $a(x),b(x)\in F[x]$ 且 $b(x)$ 非零，则存在唯一的 $q(x),r(x)\in F[x]$ 使得

其中 $r(x)=0$ 或 $\mathrm{deg}r(x)<\mathrm{deg}b(x)$。

多项式的长除法。因为 $F$ 是域，所以当 $\mathrm{deg}a(x)\ge \mathrm{deg}b(x)$ 时，总可以消去 $a$ 的最高项。

对质数 $p$，$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上定义了多项式的加减法，乘法和带余除法，可以求最大公因子。

推论 9.4

若 $F$ 是域，则 $F[x]$ 是 PID 和 UFD。

Sec.9.3 Polynomial Rings That Are U.F.Ds

考虑整环 $R$ 的商域 $F$，则 $R[x]\subseteq F[x]$ 且 $F[x]$ 是 ED。允许分数系数使得 $F[x]$ 上的计算更方便。我们希望知道 $F[x]$ 上的计算如何提供关于 $R[x]$ 的信息。

结论 9.5（高斯引理：Gauss' Lemma）

设 $F$ 是 UFD $R$ 的商域，$p(x)\in R[x]$。若 $p(x)$ 在 $F[x]$ 上可约，则 $p(x)$ 在 $R[x]$ 上可约。具体地，若 $p(x)=A(x)B(x)$，$A(x),B(x)\in F[x]$ 且不是常数，则存在非零元素 $r,s\in F$ 使得 $rA(x)=a(x)$，$sB(x)=b(x)$ 均属于 $R[x]$ 且 $p(x)=a(x)b(x)$​。

高斯引理并不是一个平凡的结论。以 $\mathbb{Z}[x]$ 为例，若 $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$​ 可分解为系数是分数的非常数多项式，则其可分解为系数是整数的非常数多项式。这很符合直观理解，但其严格证明具有一定的技巧性。

一般结合艾森斯坦判据使用。

证明

设 $p(x)=A(x)B(x)$。在等式两侧乘以所有系数的分母，得 $dp(x)=a^{\prime }(x)b^{\prime }(x)$，其中 $a^{\prime }(x),b^{\prime }(x)\in R$ 且 $d$ 是 $R$ 的非零元素。

若 $d$ 是单位，则 $a(x)=d^{-1}{a}^{\prime }(x)$，$b(x)=b^{\prime }(x)$，结论成立。

否则 $d=p_1{p}_2\cdots p_n$。对每个不可约元 $p_i$，$p_i$ 是素元（结论 8.12），所以 $(p_i)$ 是素理想，$R[x]/(p_i)$ 是整环。根据 $dp(x)=a^{\prime }(x)b^{\prime }(x)$ 可知 $0=\overline{a^{\prime }(x)}\overline{b^{\prime }(x)}$。不妨设 $\overline{a^{\prime }(x)}=0$，则 $a^{\prime }(x)$ 的每个系数都是 $p_i$ 的倍数，即 $\frac{1}{p_i}{a}^{\prime }(x)\in R[x]$。依次除去 $d$ 的不可约元即可。$◻$

$\mathbb{Z}[x]$ 上的高斯引理：本原多项式（所有系数的最大公因子为 $1$）的乘积是本原多项式。对每个素数 $p$，等式两侧同时对 $p$ 取模，根据 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]$ 是整环，以及每个因子不为 $0$ 可知乘积不为 $0$。另一证明思路是考虑 $a_n$ 和 $b_m$ 是两个多项式的系数不被 $p$ 整除的最高位，则它们乘积的 $x^{n+m}$ 前的系数不可能被 $p$​ 整除。

推论 9.6

设 $F$ 为 UFD $R$ 的商域，本原多项式 $p(x)\in R[x]$。$p(x)$ 在 $R[x]$ 上不可约当且仅当 $p(x)$ 在 $F[x]$ 上不可约。

证明

由高斯引理，若 $p(x)$ 在 $F[x]$ 上可约，则其在 $R[x]$ 上可约。

若 $p(x)$ 在 $R[x]$ 上可约，则 $p(x)=a(x)b(x),a(x),b(x)\in R[x]$。因为 $p(x)$ 是本原多项式，所以 $a(x),b(x)$ 不是常数多项式。于是 $p(x)$ 在 $F[x]$​ 上可约。$◻$

$R[x]$ 上不可约的常数多项式在 $F[x]$ 可以是单位，所以需要本原的条件以保证 $a(x),b(x)$ 不是常数。

定理 9.7

$R$ 是 UFD 当且仅当 $R[x]$​ 是 UFD。

证明

若 $R[x]$ 是 UFD，则 $R$ 的每个元素在 $R[x]$ 有唯一分解，且每个不可约元属于 $R$，于是 $R$ 是 UFD。

若 $R$ 是 UFD，设 $p(x)\in R[x]$。若 $p(x)$ 不是本原多项式，设 $d$ 为所有系数的最大公因子，$p(x)=d{p}^{\prime }(x)$，则因为最大公因子仅相差单位（结论 8.3）且 $d$ 有唯一分解，只需证明 $p^{\prime }(x)$ 有唯一分解。因此不妨设 $p(x)$ 是本原多项式且 $\mathrm{deg}p(x)>0$。

分解存在性：设 $F$ 是 $R$ 的商域，则 $p(x)$ 在 UFD $F[x]$ 上有唯一分解。由高斯引理，$p(x)$ 在 $R[x]$ 上可以分解为若干因子的乘积。因为每个因子是本原多项式且在 $F[x]$ 上不可约，根据推论 9.6，这些因子在 $R[x]$ 上不可约。

分解唯一性：设 $p(x)=q_1(x)\cdots q_r(x)=q_1^{\prime }(x)\cdots q_s^{\prime }(x)$ 是 $R[x]$ 上的不可约因子分解，则所有因子是本原多项式。由推论 9.6，所有因子在 $F[x]$ 上不可约（$q_i(x),q_j^{\prime }(x)$ 不是由在 $F[x]$ 上的分解构造的，而是假设存在的），由 $p(x)$ 在 $F[x]$ 上的唯一分解性，$r=s$ 且不妨设 $q_i(x)$ 与 $q_i^{\prime }(x)$ 在 $F[x]$ 上相伴。还需证明 $q$ 和 $q^{\prime }(x)$ 在 $R[x]$ 上相伴。因为 $F[x]$ 的所有单位恰为 $F^{\times }$，所以 $q(x)=\frac{a}{b}{q}^{\prime }(x),a,b,\in R$，即 $Q(x)=bq(x)=a{q}^{\prime }(x)$。由 $q(x),q^{\prime }(x)$ 是本原多项式可知 $a,b$ 均为 $Q(x)$ 的所有系数的最大公因子。因此 $a,b$ 仅相差单位，即 $a=ub$。于是 $q(x)=u{q}^{\prime }(x)$。$◻$​

推论 9.8

设 $R$ 是 UFD，则 $R$ 的任意多变量的多项式环是 UFD。

Sec.9.4 Irreducibility Criteria

一般而言，检查多项式是否有因式是困难的。研究这个问题，可以从一阶因式入手。

结论 9.9

设 $F$ 是域，$p(x)\in F[x]$，则 $p(x)$ 有度数为 $1$ 的因式当且仅当其在 $F$ 上有根，即存在 $\alpha \in F$ 使得 $F(\alpha )=0$。

证明

若 $f$ 有度数为 $1$ 的因式 $cx-\alpha$，因为 $F$ 是域，不妨设 $c=1$，则 $f(\alpha )=0$。

相反，若 $f(\alpha )=0$，因为 $F$ 是域，所以 $F[x]$ 是 ED，存在带余除法 $p(x)=q(x)(x-\alpha )+r$，则 $r=0$。于是 $x-\alpha$ 是 $f(x)$​ 的因式。$◻$

$\mathbb{Z}$ 上因式定理的推广。

推论 9.10

域 $F$ 上度数为 $2$ 或 $3$ 的多项式可约当且仅当它在 $F$​ 上有根。

---

以下是关于 $\mathbb{Z}[x]$ 的结论，但很明显可以推广至任意 $R[x]$，其中 $R$ 是 UFD。

结论 9.11

设 $p(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0\in \mathbb{Z}[x]$，若 $r,s$ 是互质整数且 $\frac{r}{s}\in \mathbb{Q}$ 是 $p$ 的根，则 $r\mid a_0$ 且 $s\mid a_n$。特别地，若 $a_n=1$ 且对任意 $a_0$ 的因数 $d$，$p(d)\ne 0$，则 $p(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 中无根。

证明

由假设，$a_n(\frac{r}{s}{)}^n+a_{n-1}(\frac{r}{s}{)}^{n-1}+\cdots +a_0=0$，即 $0=a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}s+\cdots +a_0{s}^n$。于是 $s\mid a_n{r}^n$ 且 $r\mid a_0{s}^n$。因为 $s,r$ 互质，所以 $s\mid a_n$ 且 $r\mid a_0$。$◻$

例

(1) $f(x)=x^3+3x-1$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 不可约，因为 $f(\pm 1)\ne 0$。

(2) $f(x)=x^2-p$ 和 $g(x)=x^3-p$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 不可约，其中 $p$ 是质数。

(3) $f(x)=x^2+1$ 在 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]$ 可约，因为 $f(1)=0$。

(4) $f(x)=x^2+x+1$ 在 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]$ 不可约，因为 $f(\pm 1)\ne 0$​。

---

不可约性判定的另一个思路是将系数对理想取模以缩小问题规模。

结论 9.12

设 $I$ 是整环 $R$ 的真理想，$p(x)\in R[x]$ 是首一的非常数多项式。若 $p(x)$ 在 $(R/I)[x]$ 的像（即 $p(x)$ 的所有系数对 $I$ 取模得到的多项式）不能在 $(R/I)[x]$ 上被分解为度数更小的多项式的乘积，则 $p(x)$ 在 $R[x]$​ 上不可约。

证明

若 $p(x)$ 在 $R[x]$ 上可约，则存在 $p(x)=a(x)b(x)$，其中 $a(x),b(x)\in R[x]$ 是非常数的首一多项式。于是 $a(x),b(x)$ 在 $(R/I)[x]$ 的像是非常数首一多项式，$\overline{p(x)}$ 在 $(R/I)[x]$ 上可约。$◻$

其逆命题不成立：在所有 $(R/I)[x]$ 上可约不一定在 $R[x]$​ 上可约（$x^4-72x^2+4$ 在任意 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[x]$ 上可约，但在 $\mathbb{Z}[x]$ 上不可约）。

例

(1) $f(x)=x^2+x+1$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 不可约，因为它在 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]$ 不可约。

(2) $f(x)=x^2+1$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 不被可约，因为它在 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[x]$​ 不可约。

这个结论很有用，它能够将无穷多的系数转化有限多种，使得我们可以枚举所有情况以证明不可约。一个常见的特例是艾森斯坦判据。

结论 9.13（艾森斯坦判据：Eisenstein's Criterion）

设 $P$ 是整环 $R$ 的素理想。设首一多项式 $f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0\in R[x]$，其中 $n\ge 1$。若 $a_{n-1},\cdots ,a_1,a_0\in P$ 但 $a_0\notin P^2$，则 $f(x)$ 在 $R[x]$​ 不可约。

证明

假设 $f(x)$ 可约，$f(x)=a(x)b(x)$，其中 $a(x),b(x)\in R[x]$ 是非常数首一多项式，将等式模 $P$ 得到 $x^n=\overline{a(x)b(x)}$。因为 $P$ 是素理想，所以 $(R/P)[x]$ 是整环。而 $\overline{a(x)},\overline{b(x)}$ 也是非常数首一多项式，可知 $a(x)$ 和 $b(x)$ 的常数项均为 $0$（否则 $a(x),b(x)$ 最低的非零项相乘得到 $\bar{c}{x}^m$，其中 $\bar{c}\ne 0$ 且 $m\le n$），于是 $a_0\in P^2$，矛盾。$◻$

推论 9.14

设 $p$ 是 $\mathbb{Z}$ 上的质数，$f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0\in \mathbb{Z}[x]$ 且 $n\ge 1$。若 $p$ 整除所有 $a_{0\sim n-1}$ 但 $p^2\nmid a_0$，则 $f(x)$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 和 $\mathbb{Q}[x]$ 上没有根。

$\mathbb{Z}[x]$ 上的艾森斯坦判据。

例

(1) 由艾森斯坦判据，$f(x)=x^4+10x+5$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 上不可约。

(2) 设分圆多项式 ${\mathrm{\Phi }}_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1$，其中 $p$ 是质数。考虑

$${\mathrm{\Phi }}_p(x+1)=x^{p-1}+p{x}^{p-2}+\cdots +\frac{p(p-1)}{2}x+p\in \mathbb{Z}[x]$$

可知 ${\mathrm{\Phi }}_p(x+1)$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 上不可约。于是 ${\mathrm{\Phi }}_p(x)$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 上不可约。

Sec.9.5 Polynomial Rings Over Fields II

设 $F$ 是域，给出一些关于 $F[x]$ 的性质。

结论 9.15

$F[x]$ 的极大理想是不可约多项式 $f(x)$ 的生成理想。特别地，$F[x]/(f(x))$ 是域当且仅当 $f(x)$ 不可约。

证明

$F[x]$ 是 PID，不可约元素等价于素元，素理想等价于极大理想。

结论 9.16

设非常数多项式 $g(x)\in F[x]$，$g(x)=f_1(x{)}^{n_1}\cdots f_k(x{)}^{n_k}$ 为其唯一分解，其中 $f_i$ 不可约且互不相同，则

$F[x]$ 上的中国剩余定理。因为 $f_i(x)$ 和 $f_j(x)$ 均不可约，所以它们在 ED $F[x]$ 上互素。于是 $(f_i(x{)}^{n_i})$ 和 $(f_j(x{)}^{n_j})$ 互素。

结论 9.17

若 $f(x)$ 在 $F$ 上有根 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_k$，则 $f(x)$ 有因式 $(x-{\alpha }_1)\cdots (x-{\alpha }_k)$。特别地，域 $F$ 上度数为 $n$ 的单变量多项式在 $F$ 上最多有 $n$ 个根。