【352】矩阵转置性质

参考：矩阵转置 - Wikipedia

对于矩阵 $A$, $B$ 和标量 $c$ 转置有下列性质:

$${\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad }$$

转置是自身逆运算。

$${\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }}$$

转置是从 $m × n$ 矩阵的向量空间到所有 $n × m$ 矩阵的向量空间的线性映射。

$${\displaystyle \left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }}$$

注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵 $A$ 是可逆矩阵，当且仅当 $A^T$ 是可逆矩阵，在这种情况下有 $(A−1)^T = (AT)^{−1}$。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出:

$$(ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T$$

$${\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }}$$

标量的转置是同样的标量。

$${\displaystyle \det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)}$$

矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。

两个纵列向量a和b的点积可计算为

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b}}$$