[SDOI2011]消耗战
题意
简要题意：给定一颗树，树边带权，给 \(m\) 个询问，每次给 \(k\) 个点，询问删除若干条边使得这 \(k\) 个点都不与 \(1\) 号点联通的最小代价。\(\sum k_i \leq500000,1\leq m\)
思考
同时也记录一下虚树的学习。
看完题目，第一时间想到树形 \(dp\)，每次 \(O(n)\)，总复杂度 \(O(nm)\)，但是这个 \(m\) 的数据范围太迷了，肯定 \(TTTTTLE\)，题中又给了 \(\sum k\) 的数据范围，我们难道要从 \(k\) 下手吗？
考虑每次树形 \(dp\)，我们每次要遍历 \(n\) 个点，但是显然每次有用的只有 \(k\) 个点，我们能否只利用这 \(k\) 个点建出一颗小树，这样的话每次 \(dp\) 的复杂度是 \(O(k_i)\)，总复杂度 \(O(\sum k_i)\)
虚树可以解决这个问题，不过我们发现，两点间需要靠它们的 \(lca\) 产生联系，那么虚树中还要存在 \(lca\)，我们发现每加入一个点，至多新加入一个 \(lca\)，那么虚树中点的上界是 \(2 * k\)，\(dp\)的理论总复杂度的上界是 \(O(2 * \sum k_i)\)
关于虚树的建立，首先我们处理出各个点的 \(dfn\) 序，将询问点按 \(dfn\) 从小到大排序。
我们还有一个栈（默认根节点为 \(1\)，那么栈底元素为 \(1\)），这个栈储存的是从 \(1\) 号点到 栈顶元素 的链的信息。考虑每次插入一个询问点，设\(x = S[top], y = S[top - 1]\)，插入点为 \(u\)：
- \(lca(x, u) = x\)，\(u\) 是 \(x\) 的子节点，那么 \(u\) 还在同一条链上，直接插入。
- \(lca(x, u)\ != x\)，那么 \(LCA\) 到 \(x\) 这条链已经遍历完了，我们将这条子链上的点连边（具体按 \(dfn\) 序判断），再插入 \(u\)
以上只是一个简略的过程，具体可以看代码并手动模拟一下，其实很简单。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read(){
ll x=0, f=1; char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x * f;
}
const ll N = 250050;
const ll oo = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
struct node{
ll nxt, to, dis;
}edge[N << 1];
ll head[N], num;
void build(ll from, ll to, ll dis){
edge[++num].nxt = head[from];
edge[num].to = to;
edge[num].dis = dis;
head[from] = num;
}
ll d[N], MIN[N], f[N][20], dfn[N], dfs_clock;
void dfs(ll u, ll fa){
dfn[u] = ++ dfs_clock;
for(ll i=head[u]; i; i=edge[i].nxt){
ll v = edge[i].to, dist = edge[i].dis;
if(v == fa) continue;
d[v] = d[u] + 1;
f[v][0] = u;
MIN[v] = min(MIN[u], dist);
dfs(v, u);
}
}
ll lca(ll u, ll v){
if(d[u] < d[v]) swap(u, v);
for(ll i=18; i>=0; i--) if(d[f[u][i]] >= d[v]) u = f[u][i];
if(u == v) return u;
for(ll i=18; i>=0; i--) if(f[u][i] != f[v][i]) u = f[u][i], v = f[v][i];
return f[u][0];
}
vector<ll> G[N];
void add(ll u, ll v){ G[u].push_back(v); }
ll S[N], top;
void insertx(ll u){
if(top == 1) { S[++top] = u; return; }
ll LCA = lca(u, S[top]);
if(LCA == S[top]) return;
while(top > 1 && dfn[S[top - 1]] >= dfn[LCA]) add(S[top - 1], S[top]), top --;
if(S[top] == LCA) S[++top] = u;
else add(LCA, S[top]), S[top] = LCA, S[++top] = u;
}
ll ans[N];
void dp(ll u){
ans[u] = MIN[u];
if(G[u].size() == 0) return;
ll sum = 0;
for(ll i=0; i<G[u].size(); i++){
ll v = G[u][i];
dp(v);
sum += ans[v];
}
ans[u] = min(ans[u], sum);
G[u].clear();
}
ll ask[N];
bool cmp(ll x, ll y){
return dfn[x] < dfn[y];
}
ll n, m;
int main(){
n = read();
for(ll i=1; i<=n-1; i++){
ll u = read(), v = read(), d = read();
build(u, v, d); build(v, u, d);
}
memset(MIN, 0x3f, sizeof(MIN)); d[1] = 1;
dfs(1, 0);
for(ll j=1; j<=18; j++)
for(ll i=1; i<=n; i++) f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1];
m = read();
while(m --){
S[1] = 1; top = 1;
ll k = read();
for(ll i=1; i<=k; i++) ask[i] = read();
sort(ask + 1, ask + k + 1, cmp);
for(ll i=1; i<=k; i++) insertx(ask[i]);
while(top > 1) add(S[top-1], S[top]), top --;
dp(1);
cout << ans[1] << endl;
}
return 0;
}
总结
由于每次建虚树之后要清空边，注意只清空询问的点的边。
数据范围没标清的话记得开 \(long\ long\)
