动态规划笔记

动态规划专题

思路：

利用历史记录来避免重复计算，这些历史记录需要用变量来保存

一般利用一维数组或者二维数组

步骤

1. 定义数组元素的含义

2. 找到数组元素之间的关系式

   1. 递推式子

   例如
   f(n) = f(n-1)+f(n-2)

3. 初始值

   1. 类似递推公式当中的初始值

例子

⼆、案例详解
案例⼀、简单的⼀维DP
问题描述：⼀只⻘蛙⼀次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该⻘蛙跳上⼀个n级的台阶总共有
多少种跳法。
(1)、定义数组元素的含义
按我上⾯的步骤说的，⾸先我们来定义dp[i] 的含义，我们的问题是要求⻘蛙跳上n 级的台阶总共由多
少种跳法，那我们就定义dp[i] 的含义为：跳上⼀个i 级的台阶总共有dp[i] 种跳法。这样，如果我们能
够算出dp[n]，不就是我们要求的答案吗？所以第⼀步定义完成。
（2）、找出数组元素间的关系式
我们的⽬的是要求dp[n]，动态规划的题，如你们经常听说的那样，就是把⼀个规模⽐较⼤的问题分成
⼏个规模⽐较⼩的问题，然后由⼩的问题推导出⼤的问题。也就是说，dp[n] 的规模为n，⽐它规模⼩
的是n-1, n-2, n-3.... 也就是说，dp[n] ⼀定会和dp[n-1], dp[n-2]....存在某种关系的。我们要找出他们
的关系。
那么问题来了，怎么找？
这个怎么找，是最核⼼最难的⼀个，我们必须回到问题本身来了，来寻找他们的关系式，dp[n] 究竟会
等于什么呢？
对于这道题，由于情况可以选择跳⼀级，也可以选择跳两级，所以⻘蛙到达第n 级的台阶有两种⽅式
⼀种是从第n-1 级跳上来
⼀种是从第n-2 级跳上来
由于我们是要算所有可能的跳法的，所以有dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。
（3）、找出初始条件
当n = 1 时，dp[1] = dp[0] + dp[-1]，⽽我们是数组是不允许下标为负数的，所以对于dp[1]，我们必须
要直接给出它的数值，相当于初始值，显然，dp[1] = 1。⼀样，dp[0] = 0.（因为0 个台阶，那肯定是
0 种跳法了）。于是得出初始值：
dp[0] = 0. dp[1] = 1. 即n <= 1 时，dp[n] = n.
三个步骤都做出来了，那么我们就来写代码吧，代码会详细注释滴。

总结

填表过程，记住当前二维数组的意义以及原来数组中的当前位置的意义