压缩传感--正交变换

传统思路——正交变换

对于一维的信号 x ∈ R N×1 ，大多数情况下，信息是冗余的。我们可以通过正交变换的方法来压缩它。正变换： y = Ψx ， 反变换 x = Ψ H y 。这里， ΨΨ H = Ψ H Ψ = I ， Ψ ∈ C N×N ，I 是单位矩阵。对于 y ∈ C N×1 ，能量较 x 集中，本质上去除了 x 中的相关性。因此，我们只保留 K 个较大的分量，而把其它 N − K 个置为零。通过反变换，我们能够近乎完美的重建原始信号。因为，那 N − K 个变换域系数的贡献，实在微乎其微。具有这样性质的信号被称为 K “稀疏”（Sparsity）的。于是，我们有了如下编码解码的策略：
编码：构造 Ψ ，做正变换 y = Ψx ，保留 y 中最重要的 K 个分量，和其对应的位置。
解码：把 K 个分量放回到对应的位置，其它位置填 0，构造 Ψ H ，反变换 x ˆ = Ψ H y ˆ 。
而解码能否近乎得到原始信号呢？显然，我们希望|| x − x ˆ ||2 =|| y − y ˆ ||2 ≤ δ ， δ 是一个小的常数。但更有效的是用相对误差|| y − y ˆ ||2 / || y ||2 ≤ δ 。
但这种编码解码方法有些缺点：

1、考虑到香农（Shannon）采样定理，为了获得很好的信号分辨率，采样间隔会很小，造成了原始信号长度会很长，因此变换过程会消耗很长的时
间。

2、 K 个需要保留的重要分量的位置，是随着信号的不同而不同的。因此，这种策略是
“自适应” （Adaptive）的，且需要分配多余的空间存储这些位置。

3、一旦在传输过程中个分量中的某几个丢失了，后果可想而知。如果我们制作一个音频设备，1 将带来电力的消
耗和用户的不满，2 将带来存储空间的增加，3 将带来较差的抗干扰能力。