图解最小生成树 - 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

我们在前面讲过的《克里姆算法》是以某个顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的。同样的思路，我们也可以直接就以边为目标去构建，因为权值为边上，直接找最小权值的边来构建生成树也是很自然的想法，只不过构建时要考虑是否会形成环而已，此时我们就用到了图的存储结构中的边集数组结构，如图7-6-7

假设现在我们已经通过邻接矩阵得到了边集数组edges并按权值从小到大排列如上图。

下面我们对着程序和每一步循环的图示来看：

算法代码：（改编自《大话数据结构》）

 

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

typedef struct {     int begin;     int end;     int weight; } Edge; /* 查找连线顶点的尾部下标 */ int Find(int *parent, int f) {     while (parent[f] > 0)         f = parent[f];     return f; } /* 生成最小生成树 */ void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G) {     int i, j, n , m;     int k = 0;     int parent[MAXVEX];/* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路 */     Edge edges[MAXEDGE];/* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */     /* 此处省略将邻接矩阵G转换为边集数组edges并按权由小到大排列的代码*/     for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)         parent[i] = 0;     cout << "打印最小生成树：" << endl;     for (i = 0; i < G.numEdges; i++)/* 循环每一条边 */     {         n = Find(parent, edges[i].begin);         m = Find(parent, edges[i].end);         if (n != m)/* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */         {             parent[n] = m;/* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */             /* 表示此顶点已经在生成树集合中 */             cout << "(" << edges[i].begin << ", " << edges[i].end << ") "                  << edges[i].weight << endl;         }     } }

1、程序 第17～28行是初始化操作，中间省略了一些存储结构转换代码。

2、第30～42行，i = 0 第一次循环，n = Find( parent, 4) = 4; 同理 m = 7; 因为 n != m 所以parent[4] = 7, 并且打印 “ (4, 7) 7  ” 。此时我们已经将边（v4, v7)纳入到最小生成树中，如下图的第一个小图。

3、继续循环，当i从1 至 6 时，分别把（v2, v8), (v0, v1), (v0, v5), (v1, v8), (v3, v7), (v1, v6)纳入到最小生成树中，如下图所示，此时parent数组为

{ 1, 5, 8, 7, 7, 8, 0, 0, 6 }，如何解读现在这些数字的意义呢？从图i = 6来看，其实是有两个连通的边集合A与B 纳入到最小生成树找中的，如图7-6-12所示。parent[0] = 1表示v0 和v1 已经在生成树的边集合A中，将parent[0] = 1中的 1 改成下标，由parent[1] = 5 ，表示v1 和v5 已经在生成树的边集合A中，parent[5] = 8 ，表示v5 和v8 已经在生成树的边集合A中，parent[8] = 6 ，表示v8 和v6 已经在生成树的边集合A中，parent[6] = 0 表示集合A暂时到头，此时边集合A有 v0, v1, v5, v6, v8。查看parent中没有查看的值，parent[2] = 8，表明v2 和 v8在一个集合中，即A中。再由parent[3] = 7, parent[4] = 7 和 parent[7] = 0 可知v3, v4, v7 在一个边集合B中。

4、当i = 7时， 调用Find函数，n = m = 6,不再打印，继续下一循环，即告诉我们，因为（v5, v6) 使得边集合A形成了回路，因此不能将其纳入生成树中，如图7-6-12所示。

5、当i = 8时与上面相同，由于边(v1, v2) 使得边集合A形成了回路，因此不能将其纳入到生成树中，如图7-6-12所示。

6、当i = 9时，n = 6, m = 7, 即parent[6] = 7，打印“（6， 7）19” ，此时parent数组为{ 1, 5, 8, 7, 7, 8, 7, 0, 6 } ，如图7-6-13所示。

最后，我们来总结一下克鲁斯卡尔算法的定义：

假设 N = （V, {E} ）是连通网，则令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T { V, {} }，图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将其加入到 T 中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

此算法的Find函数由边数e决定，时间复杂度为O(loge)，而外面有一个for循环e次，所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(eloge)。

对比普里姆和克鲁斯卡尔算法，克鲁斯卡尔算法主要针对边来展开，边数少时效率比较高，所以对于稀疏图有较大的优势；而普里姆算法对于稠密图，即边数非常多的情况下更好一些。