快速排序以及第k小元素的线性选择算法
简要介绍下快速排序的思想：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。时间复杂度为O(nlogn)
一.《data structure and algorithm analysis in c》中的实现，测试过，觉得该说明的已经注释
|
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |
#include<stdio.h>
#define LEN 15 #define CUTOFF 3 //用c++则可以写成引用 void swap(int *const p1, int *const p2) { int tmp = *p1; *p1 = *p2; *p2 = tmp; } //插入排序 void insertion_sort(int a[], int n) { int i, j; int tmp; for (i = 1; i < n; i++) { tmp = a[i]; for (j = i; j > 0 && a[j - 1] > tmp; j--) a[j] = a[j - 1]; a[j] = tmp; } } // return median of left, center, and right // order these and hide the pivot int median3(int a[], int left, int right) { int center = (left + right) / 2; if (a[left] > a[center]) swap(&a[left], &a[center]); if (a[left] > a[right]) swap(&a[left], &a[right]); if (a[center] > a[right]) swap(&a[center], &a[right]); // invariant: a[left] <= a[center] <= a[right] swap(&a[center], &a[right - 1]); //将中位数作为pivot且放置在right-1处 return a[right - 1]; //返回pivot } void qsort(int a[], int left, int right) { int i, j, pivot; if (left + CUTOFF <= right) { //因为要递归调用，如果不截断判断则会导致数组访问越界进而出现段错误 // left, left+1, ..., right-2, right-1, right 最极限的情况就是保证 // left与right中间至少有一个值，即CUTOFF最小要等于2,否则出现段错误 // CUTOFF=2保证可以取中位数 // 当CUTOFF=1时不出现段错误，但运行结果是错误的 pivot = median3(a, left, right); i = left; j = right - 1; for (; ;) { while (a[++i] < pivot) {} //median函数已经比较了left和right，pivot当前位置为right-1 while (a[--j] > pivot) {} //故从left+1和right-2开始比较 if (i < j) swap(&a[i], &a[j]); else break; } swap(&a[i], &a[right - 1]); //now i is the pivot index in the array qsort(a, left, i - 1); qsort(a, i + 1, right); } else // do an insertion sort on the subarray insertion_sort(a + left, right - left + 1); } int main(void) { int i; int arr[LEN] = {43, 423, 13, 6, 34, 64, 24, 69, 32, 28, 432, 641, 4365, 345, 624 }; qsort(arr, 0, LEN - 1); for (i = 0; i < LEN; i++) printf("%d ", arr[i]); printf("\n"); return 0; } |
二.不对pivot进行中位数取值的简易版本
|
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 |
#include<stdio.h>
#define LEN 15 void swap(int *const p1, int *const p2) { int tmp = *p1; *p1 = *p2; *p2 = tmp; } void qsort(int a[], int left, int right) { int i, j, pivot; pivot = a[right]; //the last item as pivot i = left; j = right - 1; if (left < right) { for (; ;) { for (; a[i] < pivot; i++); for (; a[j] > pivot; j--); if (i < j) swap(&a[i], &a[j]); else break; } swap(&a[i], &a[right]); //now i is the pivot index in the array qsort(a, left, i - 1); qsort(a, i + 1, right); } } int main(void) { int i; int arr[LEN] = {43, 423, 13, 6, 34, 64, 24, 69, 32, 28, 432, 641, 4365, 345, 624 }; qsort(arr, 0, LEN - 1); for (i = 0; i < LEN; i++) printf("%d ", arr[i]); printf("\n"); return 0; } |
三.根据简易快速排序得出的第k小选择算法
|
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 |
#include<stdio.h>
#define LEN 15 #define K 6 void swap(int *const p1, int *const p2) { int tmp = *p1; *p1 = *p2; *p2 = tmp; } int qsort(int k, int a[], int left, int right) { int i, j, pivot; pivot = a[right]; i = left; j = right - 1; for (; ;) { for (; a[i] < pivot; i++); for (; a[j] > pivot; j--); if (i < j) swap(&a[i], &a[j]); else break; } swap(&a[i], &a[right]); //now i is the pivot index in the array //i.e. a[i] is the (i+1)th smallest item if (k == i - left + 1) return a[i]; else if (k < i - left + 1) return qsort(k, a, left, i - 1); //target before pivot else //target after pivot return qsort((k - (i - left + 1)), a, i + 1, right); } int main(void) { int arr[LEN] = {43, 423, 13, 6, 34, 64, 24, 69, 32, 28, 432, 641, 4365, 345, 624 }; printf("%d\n", qsort(K, arr, 0, LEN - 1)); return 0; } |
四.中位数之第k小的线性选择算法
实现该算法的步骤如下：
1.如果n是一个比较小的数，比如n<6，那么只需要对此无序数组进行排序后，即可很容易的得到第K小元素。
此时约束时间T=7。
2.如果n>5，那么我们将这个无序数组分成五组。此时约束时间T=n/5。
3.找出每组的中位数，构成集合M。此时的约束时间T=7n/5.
4.递归的调用selection(M,|M|/2)算法查找上一步中所有中位数的中位数，设为m。此时的约束时间
T=T（n/5）。
5.用m来分割此时的数组，比较m与其他的（n-1）个数，小于m的数置于左集合L，大于m的数置于右集合R。当
然，中位数m的下标r=|L|+1(|L|是左集合L的个数)。此时的约束时间T=T（n）。
如果r=k,那么返回m。
如果r<k,那么在小于m的左集合L中递归查找第K小数。
如果r>k,那么在大于m的右集合R中递归查找第K小数。
动态图示参见：http://ds.fzu.edu.cn/fine/resources/FlashContent.asp?id=82
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
参考：http://bbs.chinaunix.net/thread-116218-1-1.html
http://blog.csdn.net/fengchaokobe/article/details/6784721
http://ds.fzu.edu.cn/fine/resources/FlashContent.asp?id=82
中位数之第K小的线性选择算法
1973年，Blum、Floyd等几位大仙合并一体，写了一篇题为 “Time bounds for selection” 的章，给出了一种在数组中选出第k小元素的算法，俗称"中位数之中位数算法"。该算法从理论上保证了最坏情形下的线性时间复杂度（O(n)）。而一个简单的排序算法像快速排序的时间复杂度是O(nlogn)，利用类似于快速排序的做法是：首先对该无序数组进行排序（O(nlogn)），然后进行一次遍历（O(k)）就可以找到第k小元素。下面我们来重点看看中位数排序法。
该算法使用分而治之的策略，查找到第K小元素在最坏情况下的时间复杂度为O(n)。
实现该算法的步骤如下：
1.如果n是一个比较小的数，比如n<6，那么只需要对此无序数组进行排序后，即可很容易的得到第K小元素。
此时约束时间T=7。
2.如果n>5，那么我们将这个无序数组分成五组。此时约束时间T=n/5。
3.找出每组的中位数，构成集合M。此时的约束时间T=7n/5.
4.递归的调用selection(M,|M|/2)算法查找上一步中所有中位数的中位数，设为m。此时的约束时间
T=T（n/5）。
5.用m来分割此时的数组，比较m与其他的（n-1）个数，小于m的数置于左集合L，大于m的数置于右集合R。当
然，中位数m的下标r=|L|+1(|L|是左集合L的个数)。此时的约束时间T=T（n）。
如果r=k,那么返回m。
如果r<k,那么在小于m的左集合L中递归查找第K小数。
如果r>k,那么在大于m的右集合R中递归查找第K小数。
递归方程：T(n)=O(n) + T(n/5) + T(7n/10) （证明过程略）
如果你想知道怎样得到次方程的，不妨找一本关于算法的书看一看或直接给我留言，谢谢！
另外，我想说的是：我为什么分为五组而不是分为其他的组。
假设我们将此数组分为三组，那么有：T(n) = O(n) + T(n/3) + T(2n/3) so T(n) > O(n)。如果我
们将此数组分成五组以上，那么就会显得有些麻烦了，所以分为五个组是最理性的选择。
由于鄙人的翻译水平所致，文中不妥之处还望各位指出来，谢谢！
