深度解析(十五)哈夫曼树
本章介绍哈夫曼树。和以往一样，本文会先对哈夫曼树的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。后续再分别给出C++和Java版本的实现；实现的语言虽不同，但是原理如出一辙，选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方，请帮忙指出！
目录
1. 哈夫曼树的介绍
2. 哈夫曼树的图文解析
3. 哈夫曼树的基本操作
4. 哈夫曼树的完整源码
转载请注明出处：http://www.cnblogs.com/skywang12345/
更多内容：数据结构与算法系列 目录
哈夫曼树的介绍
Huffman Tree，中文名是哈夫曼树或霍夫曼树，它是最优二叉树。
定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。 这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树，我们来看图解答。
(01) 路径和路径长度
定义：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
例子：100和80的路径长度是1，50和30的路径长度是2，20和10的路径长度是3。
(02) 结点的权及带权路径长度
定义：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
例子：节点20的路径长度是3，它的带权路径长度= 路径长度 * 权 = 3 * 20 = 60。
(03) 树的带权路径长度
定义：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。
例子：示例中，树的WPL= 1*100 + 2*80 + 3*20 + 3*10 = 100 + 160 + 60 + 30 = 350。
比较下面两棵树
上面的两棵树都是以{10, 20, 50, 100}为叶子节点的树。
左边的树WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360
右边的树WPL=350
左边的树WPL > 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况，但实际上右边的树就是{10,20,50,100}对应的哈夫曼树。至此，应该堆哈夫曼树的概念有了一定的了解了，下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。
哈夫曼树的图文解析
假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，哈夫曼树的构造规则为：
1. 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；
2. 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
4. 重复(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。
以{5,6,7,8,15}为例，来构造一棵哈夫曼树。
第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5,6,7,8,15。
第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(5和6)来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子(谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子)，并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。
然后，将"树5"和"树6"从森林中删除，并将新的树(树11)添加到森林中。
第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(7和8)来进行合并。得到的新树的权值是15。 然后，将"树7"和"树8"从森林中删除，并将新的树(树15)添加到森林中。
第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(11和15)来进行合并。得到的新树的权值是26。 然后，将"树11"和"树15"从森林中删除，并将新的树(树26)添加到森林中。
第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(15和26)来进行合并。得到的新树的权值是41。 然后，将"树15"和"树26"从森林中删除，并将新的树(树41)添加到森林中。
此时，森林中只有一棵树(树41)。这棵树就是我们需要的哈夫曼树！
哈夫曼树的基本操作
哈夫曼树的重点是如何构造哈夫曼树。本文构造哈夫曼时，用到了以前介绍过的"(二叉堆)最小堆"。下面对哈夫曼树进行讲解。
1. 基本定义
typedef int Type;
typedef struct _HuffmanNode {
Type key; // 权值
struct _HuffmanNode *left; // 左孩子
struct _HuffmanNode *right; // 右孩子
struct _HuffmanNode *parent; // 父节点
} HuffmanNode, *HuffmanTree;
HuffmanNode是哈夫曼树的节点类。
2. 构造哈夫曼树
/*
* 创建Huffman树
*
* 参数说明：
* a 权值数组
* size 数组大小
*
* 返回值：
* Huffman树的根
*/
HuffmanNode* create_huffman(Type a[], int size)
{
int i;
HuffmanNode *left, *right, *parent;
// 建立数组a对应的最小堆
create_minheap(a, size);
for(i=0; i<size-1; i++)
{
left = dump_from_minheap(); // 最小节点是左孩子
right = dump_from_minheap(); // 其次才是右孩子
// 新建parent节点，左右孩子分别是left/right；
// parent的大小是左右孩子之和
parent = huffman_create_node(left->key+right->key, left, right, NULL);
left->parent = parent;
right->parent = parent;
// 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中
if (dump_to_minheap(parent)!=0)
{
printf("插入失败!\n结束程序\n");
destroy_huffman(parent);
parent = NULL;
break;
}
}
// 销毁最小堆
destroy_minheap();
return parent;
}
首先通过create_huffman(a, size)来一个最小堆。最小堆构造完成之后，进入for循环。
每次循环时：
(01) 首先，将最小堆中的最小节点拷贝一份并赋值给left，然后重塑最小堆(将最小节点和后面的节点交换位置，接着将"交换位置后的最小节点"之前的全部元素重新构造成最小堆)；
(02) 接着，再将最小堆中的最小节点拷贝一份并将其赋值right，然后再次重塑最小堆；
(03) 然后，新建节点parent，并将它作为left和right的父节点；
(04) 接着，将parent的数据复制给最小堆中的指定节点。
在二叉堆中已经介绍过堆，这里就不再对堆的代码进行说明了。若有疑问，直接参考后文的源码。其它的相关代码，也Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！
哈夫曼树的完整源码
哈夫曼树的源码共包括4个文件。
1. huffman.h
#ifndef _AVL_TREE_H_
#define _AVL_TREE_H_
typedef int Type;
typedef struct _HuffmanNode{
Type key; /* 权值*/
struct _HuffmanNode *left; /* 左孩子*/
struct _HuffmanNode *right; /* 右孩子*/
struct _HuffmanNode *parent;/* 父节点*/
}HuffmanNode, *HuffmanTree;
/* 前序遍历"Huffman树"*/
void preorder_huffman(HuffmanTree tree);
/* 中序遍历"Huffman树"*/
void inorder_huffman(HuffmanTree tree);
/* 后序遍历"Huffman树"*/
void postorder_huffman(HuffmanTree tree);
/* 创建Huffman树*/
HuffmanNode* create_huffman(Type arr[], int size);
/* 销毁Huffman树*/
void destroy_huffman(HuffmanTree tree);
/* 打印Huffman树*/
void print_huffman(HuffmanTree tree);
#endif
2. huffman.c
/**
* Huffman树(C语言): C语言实现的Huffman树。
*
* 构造Huffman树时，使用到了最小堆。
*
* @author skywang
* @date 2014/03/25
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "huffman.h"
// 创建最小堆
extern void create_minheap(Type a[], int size);
// 新建一个节点，并将最小堆中最小节点的数据复制给该节点。
extern HuffmanNode* dump_from_minheap();
// 将data插入到二叉堆中。0表示成功，-1表示失败。
extern int dump_to_minheap(HuffmanNode *node);
// 销毁最小堆
extern void destroy_minheap();
/*
* 前序遍历"Huffman树"
*/
void preorder_huffman(HuffmanTree tree)
{
if(tree != NULL)
{
printf("%d ", tree->key);
preorder_huffman(tree->left);
preorder_huffman(tree->right);
}
}
/*
* 中序遍历"Huffman树"
*/
void inorder_huffman(HuffmanTree tree)
{
if(tree != NULL)
{
inorder_huffman(tree->left);
printf("%d ", tree->key);
inorder_huffman(tree->right);
}
}
/*
* 后序遍历"Huffman树"
*/
void postorder_huffman(HuffmanTree tree)
{
if(tree != NULL)
{
postorder_huffman(tree->left);
postorder_huffman(tree->right);
printf("%d ", tree->key);
}
}
/*
* 创建Huffman树结点。
*
* 参数说明：
* key 是键值。
* left 是左孩子。
* right 是右孩子。
* parent 是父节点
*/
HuffmanNode* huffman_create_node(Type key, HuffmanNode *left, HuffmanNode* right, HuffmanNode* parent)
{
HuffmanNode* p;
if ((p = (HuffmanNode *)malloc(sizeof(HuffmanNode))) == NULL)
return NULL;
p->key = key;
p->left = left;
p->right = right;
p->parent = parent;
return p;
}
/*
* 创建Huffman树
*
* 参数说明：
* a 权值数组
* size 数组大小
*
* 返回值：
* Huffman树的根
*/
HuffmanNode* create_huffman(Type a[], int size)
{
int i;
HuffmanNode *left, *right, *parent;
// 建立数组a对应的最小堆
create_minheap(a, size);
for(i=0; i<size-1; i++)
{
left = dump_from_minheap(); // 最小节点是左孩子
right = dump_from_minheap(); // 其次才是右孩子
// 新建parent节点，左右孩子分别是left/right；
// parent的大小是左右孩子之和
parent = huffman_create_node(left->key+right->key, left, right, NULL);
left->parent = parent;
right->parent = parent;
// 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中
if (dump_to_minheap(parent)!=0)
{
printf("插入失败!\n结束程序\n");
destroy_huffman(parent);
parent = NULL;
break;
}
}
// 销毁最小堆
destroy_minheap();
return parent;
}
/*
* 销毁Huffman树
*/
void destroy_huffman(HuffmanTree tree)
{
if (tree==NULL)
return ;
if (tree->left != NULL)
destroy_huffman(tree->left);
if (tree->right != NULL)
destroy_huffman(tree->right);
free(tree);
}
/*
* 打印"Huffman树"
*
* tree -- Huffman树的节点
* key -- 节点的键值
* direction -- 0，表示该节点是根节点;
* -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
* 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
*/
void huffman_print(HuffmanTree tree, Type key, int direction)
{
if(tree != NULL)
{
if(direction==0) // tree是根节点
printf("%2d is root\n", tree->key, key);
else // tree是分支节点
printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree->key, key, direction==1?"right" : "left");
huffman_print(tree->left, tree->key, -1);
huffman_print(tree->right,tree->key, 1);
}
}
void print_huffman(HuffmanTree tree)
{
if (tree!=NULL)
huffman_print(tree, tree->key, 0);
}
3. minheap.c
/**
* 最小堆：为Huffman树服务的。
*
* @author skywang
* @date 2014/03/25
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "huffman.h"
static HuffmanNode *m_heap; // 最小堆的数组
static int m_capacity; // 总的容量
static int m_size; // 当前有效数据的数量
/*
* 最小堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
static void minheap_filterdown(int start, int end)
{
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置
HuffmanNode tmp = m_heap[c]; // 当前(current)节点
while(l <= end)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && m_heap[l].key > m_heap[l+1].key)
l++; // 左右两孩子中选择较小者，即m_heap[l+1]
if(tmp.key <= m_heap[l].key)
break; //调整结束
else
{
m_heap[c] = m_heap[l];
c = l;
l = 2*l + 1;
}
}
m_heap[c] = tmp;
}
/*
* 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
static void filter_up(int start)
{
int c = start; // 当前节点(current)的位置
int p = (c-1)/2; // 父(parent)结点的位置
HuffmanNode tmp = m_heap[c]; // 当前节点(current)
while(c > 0)
{
if(m_heap[p].key <= tmp.key)
break;
else
{
m_heap[c] = m_heap[p];
c = p;
p = (p-1)/2;
}
}
m_heap[c] = tmp;
}
/*
* 将node插入到二叉堆中
*
* 返回值：
* 0，表示成功
* -1，表示失败
*/
int dump_to_minheap(HuffmanNode *node)
{
// 如果"堆"已满，则返回
if(m_size == m_capacity)
return -1;
m_heap[m_size] = *node; // 将"node的数据"全部复制到"数组末尾"
filter_up(m_size); // 向上调整堆
m_size++; // 堆的实际容量+1
return 0;
}
/*
* 交换两个HuffmanNode节点的全部数据
*/
static void swap_node(int i, int j)
{
HuffmanNode tmp = m_heap[i];
m_heap[i] = m_heap[j];
m_heap[j] = tmp;
}
/*
* 新建一个节点，并将最小堆中最小节点的数据复制给该节点。
* 然后除最小节点之外的数据重新构造成最小堆。
*
* 返回值：
* 失败返回NULL。
*/
HuffmanNode* dump_from_minheap()
{
// 如果"堆"已空，则返回
if(m_size == 0)
return NULL;
HuffmanNode *node;
if((node = (HuffmanNode *)malloc(sizeof(HuffmanNode))) == NULL)
return NULL;
// 将"最小节点的全部数据"复制给node
*node = m_heap[0];
swap_node(0, m_size-1); // 交换"最小节点"和"最后一个节点"
minheap_filterdown(0, m_size-2); // 将m_heap[0...m_size-2]构造成一个最小堆
m_size--;
return node;
}
/*
* 打印二叉堆
*
* 返回值：
* 0，表示成功
* -1，表示失败
*/
void minheap_print()
{
int i;
for (i=0; i<m_size; i++)
printf("%d ", m_heap[i].key);
}
/*
* 创建最小堆
*
* 参数说明：
* a -- 数据所在的数组
* size -- 数组大小
*/
void create_minheap(Type a[], int size)
{
int i;
// 创建最小堆所对应的数组
m_size = size;
m_capacity = size;
m_heap = (HuffmanNode *)malloc(sizeof(HuffmanNode)*size);
// 初始化数组
for(i=0; i<size; i++)
{
m_heap[i].key = a[i];
m_heap[i].parent = m_heap[i].left = m_heap[i].right = NULL;
}
// 从(size/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。
for (i = size / 2 - 1; i >= 0; i--)
minheap_filterdown(i, size-1);
}
// 销毁最小堆
void destroy_minheap()
{
m_size = 0;
m_capacity = 0;
free(m_heap);
}
4. huffman_test.c
/**
* C 语言: Huffman树
*
* @author skywang
* @date 2014/03/25
*/
#include <stdio.h>
#include "huffman.h"
#define LENGTH(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
void main()
{
int a[]= {5,6,8,7,15};
int i,ilen=LENGTH(a);
HuffmanTree root=NULL;
printf("== 添加数组: ");
for(i=0; i<ilen; i++)
printf("%d ", a[i]);
// 创建数组a对应的Huffman树
root = create_huffman(a, ilen);
printf("\n== 前序遍历: ");
preorder_huffman(root);
printf("\n== 中序遍历: ");
inorder_huffman(root);
printf("\n== 后序遍历: ");
postorder_huffman(root);
printf("\n");
printf("== 树的详细信息: \n");
print_huffman(root);
// 销毁二叉树
destroy_huffman(root);
}
