常用排序算法(七)归并排序
概要
本章介绍排序算法中的归并排序。内容包括：
1. 归并排序介绍
2. 归并排序图文说明
3. 归并排序的时间复杂度和稳定性
4. 归并排序实现
4.1 归并排序C实现
4.2 归并排序C++实现
4.3 归并排序Java实现
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更多排序和算法请参考：数据结构与算法系列 目录
归并排序介绍
将两个的有序数列合并成一个有序数列，我们称之为"归并"。
归并排序(Merge Sort)就是利用归并思想对数列进行排序。根据具体的实现，归并排序包括"从上往下"和"从下往上"2种方式。
1. 从下往上的归并排序：将待排序的数列分成若干个长度为1的子数列，然后将这些数列两两合并；得到若干个长度为2的有序数列，再将这些数列两两合并；得到若干个长度为4的有序数列，再将它们两两合并；直接合并成一个数列为止。这样就得到了我们想要的排序结果。(参考下面的图片)
2. 从上往下的归并排序：它与"从下往上"在排序上是反方向的。它基本包括3步：
① 分解 -- 将当前区间一分为二，即求分裂点 mid = (low + high)/2;
② 求解 -- 递归地对两个子区间a[low...mid] 和 a[mid+1...high]进行归并排序。递归的终结条件是子区间长度为1。
③ 合并 -- 将已排序的两个子区间a[low...mid]和 a[mid+1...high]归并为一个有序的区间a[low...high]。
下面的图片很清晰的反映了"从下往上"和"从上往下"的归并排序的区别。
归并排序图文说明
归并排序(从上往下)代码
/*
* 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个
*
* 参数说明：
* a -- 包含两个有序区间的数组
* start -- 第1个有序区间的起始地址。
* mid -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。
* end -- 第2个有序区间的结束地址。
*/
void merge(int a[], int start, int mid, int end)
{
int *tmp = (int *)malloc((end-start+1)*sizeof(int)); // tmp是汇总2个有序区的临时区域
int i = start; // 第1个有序区的索引
int j = mid + 1; // 第2个有序区的索引
int k = 0; // 临时区域的索引
while(i <= mid && j <= end)
{
if (a[i] <= a[j])
tmp[k++] = a[i++];
else
tmp[k++] = a[j++];
}
while(i <= mid)
tmp[k++] = a[i++];
while(j <= end)
tmp[k++] = a[j++];
// 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。
for (i = 0; i < k; i++)
a[start + i] = tmp[i];
free(tmp);
}
/*
* 归并排序(从上往下)
*
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* start -- 数组的起始地址
* endi -- 数组的结束地址
*/
void merge_sort_up2down(int a[], int start, int end)
{
if(a==NULL || start >= end)
return ;
int mid = (end + start)/2;
merge_sort_up2down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid]
merge_sort_up2down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end]
// a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间，
// 将它们排序成一个有序空间a[start...end]
merge(a, start, mid, end);
}
从上往下的归并排序采用了递归的方式实现。它的原理非常简单，如下图：
通过"从上往下的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时：
1. 将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{80,30,60,40}和{20,10,50,70}组成。对两个有序子树组进行排序即可。
2. 将子数组{80,30,60,40}看作由两个有序的子数组{80,30}和{60,40}组成。
将子数组{20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{20,10}和{50,70}组成。
3. 将子数组{80,30}看作由两个有序的子数组{80}和{30}组成。
将子数组{60,40}看作由两个有序的子数组{60}和{40}组成。
将子数组{20,10}看作由两个有序的子数组{20}和{10}组成。
将子数组{50,70}看作由两个有序的子数组{50}和{70}组成。
归并排序(从下往上)代码
/*
* 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组；
* 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。
*
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* len -- 数组的长度
* gap -- 子数组的长度
*/
void merge_groups(int a[], int len, int gap)
{
int i;
int twolen = 2 * gap; // 两个相邻的子数组的长度
// 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。
for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap))
{
merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1);
}
// 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。
// 将该子数组合并到已排序的数组中。
if ( i+gap-1 < len-1)
{
merge(a, i, i + gap - 1, len - 1);
}
}
/*
* 归并排序(从下往上)
*
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* len -- 数组的长度
*/
void merge_sort_down2up(int a[], int len)
{
int n;
if (a==NULL || len<=0)
return ;
for(n = 1; n < len; n*=2)
merge_groups(a, len, n);
}
从下往上的归并排序的思想正好与"从下往上的归并排序"相反。如下图：
通过"从下往上的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时：
1. 将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由8个有序的子数组{80},{30},{60},{40},{20},{10},{50}和{70}组成。
2. 将这8个有序的子数列两两合并。得到4个有序的子树列{30,80},{40,60},{10,20}和{50,70}。
3. 将这4个有序的子数列两两合并。得到2个有序的子树列{30,40,60,80}和{10,20,50,70}。
4. 将这2个有序的子数列两两合并。得到1个有序的子树列{10,20,30,40,50,60,70,80}。
归并排序的时间复杂度和稳定性
归并排序时间复杂度
归并排序的时间复杂度是O(N*lgN)。
假设被排序的数列中有N个数。遍历一趟的时间复杂度是O(N)，需要遍历多少次呢？
归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(N*lgN)。
归并排序稳定性
归并排序是稳定的算法，它满足稳定算法的定义。
算法稳定性 -- 假设在数列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；并且排序之后，a[i]仍然在a[j]前面。则这个排序算法是稳定的！
归并排序实现
下面给出归并排序的三种实现：C、C++和Java。这三种实现的原理和输出结果都是一样的，每一种实现中都包括了"从上往下的归并排序"和"从下往上的归并排序"这2种形式。
归并排序C实现
实现代码(merge_sort.c)
1 /**
2 * 归并排序：C 语言
3 *
4 * @author skywang
5 * @date 2014/03/12
6 */
7
8 #include <stdio.h>
9 #include <stdlib.h>
10
11 // 数组长度
12 #define LENGTH(array) ( (sizeof(array)) / (sizeof(array[0])) )
13
14 /*
15 * 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个
16 *
17 * 参数说明：
18 * a -- 包含两个有序区间的数组
19 * start -- 第1个有序区间的起始地址。
20 * mid -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。
21 * end -- 第2个有序区间的结束地址。
22 */
23 void merge(int a[], int start, int mid, int end)
24 {
25 int *tmp = (int *)malloc((end-start+1)*sizeof(int)); // tmp是汇总2个有序区的临时区域
26 int i = start; // 第1个有序区的索引
27 int j = mid + 1; // 第2个有序区的索引
28 int k = 0; // 临时区域的索引
29
30 while(i <= mid && j <= end)
31 {
32 if (a[i] <= a[j])
33 tmp[k++] = a[i++];
34 else
35 tmp[k++] = a[j++];
36 }
37
38 while(i <= mid)
39 tmp[k++] = a[i++];
40
41 while(j <= end)
42 tmp[k++] = a[j++];
43
44 // 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。
45 for (i = 0; i < k; i++)
46 a[start + i] = tmp[i];
47
48 free(tmp);
49 }
50
51 /*
52 * 归并排序(从上往下)
53 *
54 * 参数说明：
55 * a -- 待排序的数组
56 * start -- 数组的起始地址
57 * endi -- 数组的结束地址
58 */
59 void merge_sort_up2down(int a[], int start, int end)
60 {
61 if(a==NULL || start >= end)
62 return ;
63
64 int mid = (end + start)/2;
65 merge_sort_up2down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid]
66 merge_sort_up2down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end]
67
68 // a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间，
69 // 将它们排序成一个有序空间a[start...end]
70 merge(a, start, mid, end);
71 }
72
73
74 /*
75 * 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组；
76 * 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。
77 *
78 * 参数说明：
79 * a -- 待排序的数组
80 * len -- 数组的长度
81 * gap -- 子数组的长度
82 */
83 void merge_groups(int a[], int len, int gap)
84 {
85 int i;
86 int twolen = 2 * gap; // 两个相邻的子数组的长度
87
88 // 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。
89 for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap))
90 {
91 merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1);
92 }
93
94 // 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。
95 // 将该子数组合并到已排序的数组中。
96 if ( i+gap-1 < len-1)
97 {
98 merge(a, i, i + gap - 1, len - 1);
99 }
100 }
101
102 /*
103 * 归并排序(从下往上)
104 *
105 * 参数说明：
106 * a -- 待排序的数组
107 * len -- 数组的长度
108 */
109 void merge_sort_down2up(int a[], int len)
110 {
111 int n;
112
113 if (a==NULL || len<=0)
114 return ;
115
116 for(n = 1; n < len; n*=2)
117 merge_groups(a, len, n);
118 }
119
120 void main()
121 {
122 int i;
123 int a[] = {80,30,60,40,20,10,50,70};
124 int ilen = LENGTH(a);
125
126 printf("before sort:");
127 for (i=0; i<ilen; i++)
128 printf("%d ", a[i]);
129 printf("\n");
130
131 merge_sort_up2down(a, 0, ilen-1); // 归并排序(从上往下)
132 //merge_sort_down2up(a, ilen); // 归并排序(从下往上)
133
134 printf("after sort:");
135 for (i=0; i<ilen; i++)
136 printf("%d ", a[i]);
137 printf("\n");
138 }
1 /**
2 * 归并排序：C++
3 *
4 * @author skywang
5 * @date 2014/03/12
6 */
7
8 #include <iostream>
9 using namespace std;
10
11 /*
12 * 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个
13 *
14 * 参数说明：
15 * a -- 包含两个有序区间的数组
16 * start -- 第1个有序区间的起始地址。
17 * mid -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。
18 * end -- 第2个有序区间的结束地址。
19 */
20 void merge(int* a, int start, int mid, int end)
21 {
22 int *tmp = new int[end-start+1]; // tmp是汇总2个有序区的临时区域
23 int i = start; // 第1个有序区的索引
24 int j = mid + 1; // 第2个有序区的索引
25 int k = 0; // 临时区域的索引
26
27 while(i <= mid && j <= end)
28 {
29 if (a[i] <= a[j])
30 tmp[k++] = a[i++];
31 else
32 tmp[k++] = a[j++];
33 }
34
35 while(i <= mid)
36 tmp[k++] = a[i++];
37
38 while(j <= end)
39 tmp[k++] = a[j++];
40
41 // 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。
42 for (i = 0; i < k; i++)
43 a[start + i] = tmp[i];
44
45 delete[] tmp;
46 }
47
48 /*
49 * 归并排序(从上往下)
50 *
51 * 参数说明：
52 * a -- 待排序的数组
53 * start -- 数组的起始地址
54 * endi -- 数组的结束地址
55 */
56 void mergeSortUp2Down(int* a, int start, int end)
57 {
58 if(a==NULL || start >= end)
59 return ;
60
61 int mid = (end + start)/2;
62 mergeSortUp2Down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid]
63 mergeSortUp2Down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end]
64
65 // a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间，
66 // 将它们排序成一个有序空间a[start...end]
67 merge(a, start, mid, end);
68 }
69
70
71 /*
72 * 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组；
73 * 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。
74 *
75 * 参数说明：
76 * a -- 待排序的数组
77 * len -- 数组的长度
78 * gap -- 子数组的长度
79 */
80 void mergeGroups(int* a, int len, int gap)
81 {
82 int i;
83 int twolen = 2 * gap; // 两个相邻的子数组的长度
84
85 // 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。
86 for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap))
87 {
88 merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1);
89 }
90
91 // 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。
92 // 将该子数组合并到已排序的数组中。
93 if ( i+gap-1 < len-1)
94 {
95 merge(a, i, i + gap - 1, len - 1);
96 }
97 }
98
99 /*
100 * 归并排序(从下往上)
101 *
102 * 参数说明：
103 * a -- 待排序的数组
104 * len -- 数组的长度
105 */
106 void mergeSortDown2Up(int* a, int len)
107 {
108 int n;
109
110 if (a==NULL || len<=0)
111 return ;
112
113 for(n = 1; n < len; n*=2)
114 mergeGroups(a, len, n);
115 }
116
117 int main()
118 {
119 int i;
120 int a[] = {80,30,60,40,20,10,50,70};
121 int ilen = (sizeof(a)) / (sizeof(a[0]));
122
123 cout << "before sort:";
124 for (i=0; i<ilen; i++)
125 cout << a[i] << " ";
126 cout << endl;
127
128 mergeSortUp2Down(a, 0, ilen-1); // 归并排序(从上往下)
129 //mergeSortDown2Up(a, ilen); // 归并排序(从下往上)
130
131 cout << "after sort:";
132 for (i=0; i<ilen; i++)
133 cout << a[i] << " ";
134 cout << endl;
135
136 return 0;
137 }
归并排序Java实现
实现代码(MergeSort.java)
1 /**
2 * 归并排序：Java
3 *
4 * @author skywang
5 * @date 2014/03/12
6 */
7
8 public class MergeSort {
9
10 /*
11 * 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个
12 *
13 * 参数说明：
14 * a -- 包含两个有序区间的数组
15 * start -- 第1个有序区间的起始地址。
16 * mid -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。
17 * end -- 第2个有序区间的结束地址。
18 */
19 public static void merge(int[] a, int start, int mid, int end) {
20 int[] tmp = new int[end-start+1]; // tmp是汇总2个有序区的临时区域
21 int i = start; // 第1个有序区的索引
22 int j = mid + 1; // 第2个有序区的索引
23 int k = 0; // 临时区域的索引
24
25 while(i <= mid && j <= end) {
26 if (a[i] <= a[j])
27 tmp[k++] = a[i++];
28 else
29 tmp[k++] = a[j++];
30 }
31
32 while(i <= mid)
33 tmp[k++] = a[i++];
34
35 while(j <= end)
36 tmp[k++] = a[j++];
37
38 // 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。
39 for (i = 0; i < k; i++)
40 a[start + i] = tmp[i];
41
42 tmp=null;
43 }
44
45 /*
46 * 归并排序(从上往下)
47 *
48 * 参数说明：
49 * a -- 待排序的数组
50 * start -- 数组的起始地址
51 * endi -- 数组的结束地址
52 */
53 public static void mergeSortUp2Down(int[] a, int start, int end) {
54 if(a==null || start >= end)
55 return ;
56
57 int mid = (end + start)/2;
58 mergeSortUp2Down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid]
59 mergeSortUp2Down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end]
60
61 // a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间，
62 // 将它们排序成一个有序空间a[start...end]
63 merge(a, start, mid, end);
64 }
65
66
67 /*
68 * 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组；
69 * 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。
70 *
71 * 参数说明：
72 * a -- 待排序的数组
73 * len -- 数组的长度
74 * gap -- 子数组的长度
75 */
76 public static void mergeGroups(int[] a, int len, int gap) {
77 int i;
78 int twolen = 2 * gap; // 两个相邻的子数组的长度
79
80 // 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。
81 for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap))
82 merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1);
83
84 // 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。
85 // 将该子数组合并到已排序的数组中。
86 if ( i+gap-1 < len-1)
87 merge(a, i, i + gap - 1, len - 1);
88 }
89
90 /*
91 * 归并排序(从下往上)
92 *
93 * 参数说明：
94 * a -- 待排序的数组
95 */
96 public static void mergeSortDown2Up(int[] a) {
97 if (a==null)
98 return ;
99
100 for(int n = 1; n < a.length; n*=2)
101 mergeGroups(a, a.length, n);
102 }
103
104 public static void main(String[] args) {
105 int i;
106 int a[] = {80,30,60,40,20,10,50,70};
107
108 System.out.printf("before sort:");
109 for (i=0; i<a.length; i++)
110 System.out.printf("%d ", a[i]);
111 System.out.printf("\n");
112
113 mergeSortUp2Down(a, 0, a.length-1); // 归并排序(从上往下)
114 //mergeSortDown2Up(a); // 归并排序(从下往上)
115
116 System.out.printf("after sort:");
117 for (i=0; i<a.length; i++)
118 System.out.printf("%d ", a[i]);
119 System.out.printf("\n");
120 }
121 }
上面3种实现的原理和输出结果都是一样的。下面是它们的输出结果：
before sort:80 30 60 40 20 10 50 70
after sort:10 20 30 40 50 60 70 80
