拓扑排序介绍
拓扑排序介绍
拓扑排序(Topological Order)是指，将一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)进行排序进而得到一个有序的线性序列。
这样说，可能理解起来比较抽象。下面通过简单的例子进行说明！
例如，一个项目包括A、B、C、D四个子部分来完成，并且A依赖于B和D，C依赖于D。现在要制定一个计划，写出A、B、C、D的执行顺序。这时，就可以利用到拓扑排序，它就是用来确定事物发生的顺序的。
在拓扑排序中，如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序结果中B出现在A的后面。
拓扑排序的算法图解
拓扑排序算法的基本步骤：
1. 构造一个队列Q(queue) 和 拓扑排序的结果队列T(topological)；
2. 把所有没有依赖顶点的节点放入Q；
3. 当Q还有顶点的时候，执行下面步骤：
3.1 从Q中取出一个顶点n(将n从Q中删掉)，并放入T(将n加入到结果集中)；
3.2 对n每一个邻接点m(n是起点，m是终点)；
3.2.1 去掉边<n,m>;
3.2.2 如果m没有依赖顶点，则把m放入Q;
注：顶点A没有依赖顶点，是指不存在以A为终点的边。
以上图为例，来对拓扑排序进行演示。
第1步：将B和C加入到排序结果中。
顶点B和顶点C都是没有依赖顶点，因此将C和C加入到结果集T中。假设ABCDEFG按顺序存储，因此先访问B，再访问C。访问B之后，去掉边<B,A>和<B,D>，并将A和D加入到队列Q中。同样的，去掉边<C,F>和<C,G>，并将F和G加入到Q中。
(01) 将B加入到排序结果中，然后去掉边<B,A>和<B,D>；此时，由于A和D没有依赖顶点，因此并将A和D加入到队列Q中。
(02) 将C加入到排序结果中，然后去掉边<C,F>和<C,G>；此时，由于F有依赖顶点D，G有依赖顶点A，因此不对F和G进行处理。
第2步：将A,D依次加入到排序结果中。
第1步访问之后，A,D都是没有依赖顶点的，根据存储顺序，先访问A，然后访问D。访问之后，删除顶点A和顶点D的出边。
第3步：将E,F,G依次加入到排序结果中。
因此访问顺序是：B -> C -> A -> D -> E -> F -> G
拓扑排序的代码说明
拓扑排序是对有向无向图的排序。下面以邻接表实现的有向图来对拓扑排序进行说明。
1. 基本定义
// 邻接表中表对应的链表的顶点
typedef struct _ENode
{
int ivex; // 该边所指向的顶点的位置
struct _ENode *next_edge; // 指向下一条弧的指针
}ENode, *PENode;
// 邻接表中表的顶点
typedef struct _VNode
{
char data; // 顶点信息
ENode *first_edge; // 指向第一条依附该顶点的弧
}VNode;
// 邻接表
typedef struct _LGraph
{
int vexnum; // 图的顶点的数目
int edgnum; // 图的边的数目
VNode vexs[MAX];
}LGraph;
(01) LGraph是邻接表对应的结构体。 vexnum是顶点数，edgnum是边数；vexs则是保存顶点信息的一维数组。
(02) VNode是邻接表顶点对应的结构体。 data是顶点所包含的数据，而firstedge是该顶点所包含链表的表头指针。
(03) ENode是邻接表顶点所包含的链表的节点对应的结构体。 ivex是该节点所对应的顶点在vexs中的索引，而nextedge是指向下一个节点的。
2. 拓扑排序
/*
* 拓扑排序
*
* 参数说明：
* G -- 邻接表表示的有向图
* 返回值：
* -1 -- 失败(由于内存不足等原因导致)
* 0 -- 成功排序，并输入结果
* 1 -- 失败(该有向图是有环的)
*/
int topological_sort(LGraph G)
{
int i,j;
int index = 0;
int head = 0; // 辅助队列的头
int rear = 0; // 辅助队列的尾
int *queue; // 辅组队列
int *ins; // 入度数组
char *tops; // 拓扑排序结果数组，记录每个节点的排序后的序号。
int num = G.vexnum;
ENode *node;
ins = (int *)malloc(num*sizeof(int)); // 入度数组
tops = (char *)malloc(num*sizeof(char));// 拓扑排序结果数组
queue = (int *)malloc(num*sizeof(int)); // 辅助队列
assert(ins!=NULL && tops!=NULL && queue!=NULL);
memset(ins, 0, num*sizeof(int));
memset(tops, 0, num*sizeof(char));
memset(queue, 0, num*sizeof(int));
// 统计每个顶点的入度数
for(i = 0; i < num; i++)
{
node = G.vexs[i].first_edge;
while (node != NULL)
{
ins[node->ivex]++;
node = node->next_edge;
}
}
// 将所有入度为0的顶点入队列
for(i = 0; i < num; i ++)
if(ins[i] == 0)
queue[rear++] = i; // 入队列
while (head != rear) // 队列非空
{
j = queue[head++]; // 出队列。j是顶点的序号
tops[index++] = G.vexs[j].data; // 将该顶点添加到tops中，tops是排序结果
node = G.vexs[j].first_edge; // 获取以该顶点为起点的出边队列
// 将与"node"关联的节点的入度减1；
// 若减1之后，该节点的入度为0；则将该节点添加到队列中。
while(node != NULL)
{
// 将节点(序号为node->ivex)的入度减1。
ins[node->ivex]--;
// 若节点的入度为0，则将其"入队列"
if( ins[node->ivex] == 0)
queue[rear++] = node->ivex; // 入队列
node = node->next_edge;
}
}
if(index != G.vexnum)
{
printf("Graph has a cycle\n");
free(queue);
free(ins);
free(tops);
return 1;
}
// 打印拓扑排序结果
printf("== TopSort: ");
for(i = 0; i < num; i ++)
printf("%c ", tops[i]);
printf("\n");
free(queue);
free(ins);
free(tops);
return 0;
}
说明：
(01) queue的作用就是用来存储没有依赖顶点的顶点。它与前面所说的Q相对应。
(02) tops的作用就是用来存储排序结果。它与前面所说的T相对应。
拓扑排序的完整源码和测试程序
c实现代码：
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<malloc.h>
#define MAX 100
typedef struct ENode
{
int ivex;
struct ENode *next_edge;
}ENode;
typedef struct VNode
{
char data;
struct ENode *first_edge;
}VNode;
typedef struct LGraph
{
int vexnum;
int edgnum;
VNode vexs[MAX];
}LGraph;
int get_position(LGraph g,char ch)
{
int i;
for(i=0;i<g.vexnum;i++)
if(ch==g.vexs[i].data)
return i;
return -1;
}
LGraph* create_graph()
{
char vexs[]= {'A','B','C','D','E','F','G'};
char edges[][2]= {{'A','C'},{'B','A'},{'B','D'},{'C','F'},{'C','G'},{'D','E'},{'D','F'}};
int vlen=sizeof(vexs)/sizeof(vexs[0]);
int elen=sizeof(edges)/sizeof(edges[0]);
int i,p1,p2;
ENode *node2;
LGraph *pG;
if((pG=(LGraph*)malloc(sizeof(LGraph)))==NULL)
return NULL;
memset(pG,0,sizeof(pG));
pG->edgnum=elen;
pG->vexnum=vlen;
for(i=0;i<pG->vexnum;i++)
{
pG->vexs[i].data=vexs[i];
pG->vexs[i].first_edge=NULL;
}
for(i=0;i<pG->edgnum;i++)
{
p1=get_position(*pG,edges[i][0]);
p2=get_position(*pG,edges[i][1]);
node2=(ENode*)malloc(sizeof(ENode));
node2->ivex=p2;
node2->next_edge=NULL;
if(pG->vexs[p1].first_edge==NULL)
pG->vexs[p1].first_edge=node2;
else
{
ENode *tmp=pG->vexs[p1].first_edge;
while(tmp->next_edge)
{
tmp=tmp->next_edge;
}
tmp->next_edge=node2;
}
}
return pG;
}
void print_graph(LGraph G)
{
int i;
printf("List Graph:\n");
ENode *node=NULL;
for(i=0;i<G.vexnum;i++)
{
printf("%d(%c): ", i, G.vexs[i].data);
node=G.vexs[i].first_edge;
while(node)
{
printf("%d(%c) ", node->ivex, G.vexs[node->ivex].data);
node=node->next_edge;
}
printf("\n");
}
}
int topological_sort(LGraph G)
{
int i,j;
int index = 0;
int head = 0; // 辅助队列的头
int rear = 0; // 辅助队列的尾
int *queue; // 辅组队列
int *ins; // 入度数组
char *tops; // 拓扑排序结果数组，记录每个节点的排序后的序号。
int num = G.vexnum;
ENode *node;
ins = (int *)malloc(num*sizeof(int)); // 入度数组
tops = (char *)malloc(num*sizeof(char));// 拓扑排序结果数组
queue = (int *)malloc(num*sizeof(int)); // 辅助队列
memset(ins, 0, num*sizeof(int));
memset(tops, 0, num*sizeof(char));
memset(queue, 0, num*sizeof(int));
// 统计每个顶点的入度数
for(i = 0; i < num; i++)
{
node = G.vexs[i].first_edge;
while (node != NULL)
{
ins[node->ivex]++;
node = node->next_edge;
}
}
// 将所有入度为0的顶点入队列
for(i = 0; i < num; i ++)
if(ins[i] == 0)
queue[rear++] = i; // 入队列
while (head != rear) // 队列非空
{
j = queue[head++]; // 出队列。j是顶点的序号
tops[index++] = G.vexs[j].data; // 将该顶点添加到tops中，tops是排序结果
node = G.vexs[j].first_edge; // 获取以该顶点为起点的出边队列
// 将与"node"关联的节点的入度减1；
// 若减1之后，该节点的入度为0；则将该节点添加到队列中。
while(node != NULL)
{
// 将节点(序号为node->ivex)的入度减1。
ins[node->ivex]--;
// 若节点的入度为0，则将其"入队列"
if( ins[node->ivex] == 0)
queue[rear++] = node->ivex; // 入队列
node = node->next_edge;
}
}
if(index != G.vexnum)
{
printf("Graph has a cycle\n");
free(queue);
free(ins);
free(tops);
return 1;
}
// 打印拓扑排序结果
printf("== TopSort: ");
for(i = 0; i < num; i ++)
printf("%c ", tops[i]);
printf("\n");
free(queue);
free(ins);
free(tops);
return 0;
}
int topologicalOrder(LGraph G)
{
int i,j;
int index=0;
int front=0;
int rear=0;
int *queue;
int *ins;
char *tops;
int num=G.vexnum;
ENode *node;
ins=(int *)malloc(num*sizeof(int));
tops=(char *)malloc(num*sizeof(char));
queue=(int *)malloc(num*sizeof(int));
memset(ins,0,num*sizeof(ins));
memset(tops,0,num*sizeof(tops));
memset(queue,0,num*sizeof(queue));
for(i=0;i<num;i++)
{
node=G.vexs[i].first_edge;
//统计每个结点的入度数
while(node)
{
ins[node->ivex]++;
node=node->next_edge;
}
}
//将入度数为0的结点加入到queue中
for(i=0;i<num;i++)
{
if(ins[i]==0)
queue[rear++]=i;
}
while(front!=rear)
{
j=queue[front++];
tops[index++]=G.vexs[j].data;
node=G.vexs[j].first_edge;
while(node)
{
ins[node->ivex]--;
if(ins[node->ivex]==0)
queue[rear++]=node->ivex;
node=node->next_edge;
}
}
if(index!=G.vexnum)
{
printf("Graph has a cycle\n");
free(queue);
free(ins);
free(tops);
return 1;
}
// 打印拓扑排序结果
printf("TopSort: ");
for(i = 0; i < num; i ++)
printf("%c ", tops[i]);
printf("\n");
free(queue);
free(ins);
free(tops);
return 0;
}
int main()
{
LGraph *pG;
pG=create_graph();
print_graph(*pG);
topologicalOrder(*pG);
}
运行结果：
