卷积

作者：镜面狐
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最近在看Feedback Control of Dynamic Systems，趁此机会复习了一下卷积。

先看下图，左边是输入信号，右边是输出信号：

(a)中，输入信号p(t)经过系统后得到输出信号h(t)；
(b)中，输入信号较之于(a)延迟了τ，表示为p(t-τ)，由于是LTI（线性时不变系统），输出信号也延迟τ，变为h(t-τ)；
(c)、(d)两图阐释了LTI的叠加原理：若以p(t)+p(t-τ)为输入，则输出为h(t)+h(t-τ)；

假设现在有一个输入信号u(t)，将其表示为若干个我们刚刚见过的p(t)的叠加




那么u(t)通过上文的系统后，会得到什么呢？
假设可得y(t)，根据叠加原理：




但我们仍有一些不太满意的地方，用p(t)表示的u(t)并不是精确的u(t)啊，那些小长条的面积比u(t)的面积可少了不少呢。除非Δ尽可能的小，长条尽可能的窄。

诶，这不就是积分么？

所以：


这就是卷积，与其理解成翻转，不如理解成延迟后叠加。

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作者：林扬飞
链接：https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/27993829
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卷积在信号与系统这门课程里面使用得比较多，可以说卷积就是信号与系统这门课程的一道坎，把卷积的概念弄清楚了，信号与系统其他一些概念都很明了了。因此，结合信号系统来更为形象地理解什么是卷积。

• 系统
  

从一些生活中的例子说起吧。往一片平静的水面投入一块石头，水面的涟漪随时间推移扩散开去，慢慢地水面又恢复平静。如果把水面看做一个“系统”的话，投入石块就相当于给这个“系统”一个“激励”，水面产生波纹就相当于这个“系统”的“响应”。又比如敲锣，当外力敲打锣面产生“激励”，锣面的“响应”就是产生振动发出声音，由于阻力作用，声音越来越弱。其实，系统在生活中无处不在，把这些例子抽象出来，就可以用这个图来表示：

• 响应
  

既然已经把系统抽象成这么一个接受输入，产生输出的“黑盒子”。那么，我们研究这个“黑盒子”特性一个很重要的办法就是给这个系统一个输入，然后去测量系统的输出是怎样的，进而分析出系统的特性。通常是在t=0时刻，往系统的输入断加入一个记为 单位冲激信号:


测得系统的响应为：


类似于敲锣的例子，敲打锣面就是上面第一幅图所示的冲激信号，锣面发生振动的幅度就如同上面第二幅图所示。通过这种方法反映了系统的特性，如果用一个输入-输出对应的函数来表示系统，上面这个图形对应的函数就称为系统函数。当然，实际的系统输入并不是一个的单位冲激信号这么简单，但无论多么复杂的输入信号，我们都可以将其分解为一个个连续的冲激信号，下面3幅图就分别显示了t=0s,t=0.2s,t=0.4s时给系统输入单位冲激信号，系统的响应：

由于3个单位冲激信号有0.2s的延时，因此系统的3个响应图形也响应有0.2s的延时，最后我们将蓝、红、绿3个响应图形相加起来就得到了3个单位冲激信号通过系统的输出：由于3个单位冲激信号有0.2s的延时，因此系统的3个响应图形也响应有0.2s的延时，最后我们将蓝、红、绿3个响应图形相加起来就得到了3个单位冲激信号通过系统的输出：

• 卷积
  

前面所讲从系统的抽象以及系统的响应都是概念性的，那么系统输入和输出的数值具体怎么计算，这时卷积就派上用场了。卷积可以理解为一种计算系统输入和输出数值的工具，用符号'*'表示卷积，那么就得到关系式：输入*系统=输出。上面的图2在t=0.4s时的数值，是由图1中蓝、红、绿分别对应的3个单位冲激响应相加得来，蓝、红、绿3个信号进入系统的时间分别为：t=0s，t=0.2s，t=0.4s，仔细观察，在图1中3个冲激信号对应系统响应的值分别为系统响应在t=0.4s，t=0.2s，t=0s的值，对应的时间顺序刚好相反，这就揭示的卷积的计算方法：翻转、平移、相乘、积分（或求和），（看到维基百科有个很好的动态图：http://zh.wikipedia.org/wiki/卷积）。归纳的讲，t时刻卷积的值就是t时刻以及t时刻之前信号对系统产生响应值的总和。